物理习题

练 习 题 一

1-1理想流体在同一流管中做定常流动时（ C ）

A.管中各点流体的速度相同； B.管中各点的压强相同； C.通过管道中任意横截面上流体的流量相同； D.管中各点流体的速率相同

解答：由于题目中没有给出管道粗细的变化情况，所以管中各点流体的速度 压强都不能确定相同。A、B、D都不能确定成立。 根据连续性原理v1S1?v2S2，只有C成立。

1-2理想流体是（ B ）

A.不可压缩的流体； B.不可压缩无黏滞性的流体 C.不可压缩有黏滞性的流体； C.可压缩无黏滞性的流体

答：由理想流体的定义：理想流体是不可压缩无黏滞性的流体。所以选B。

1-3 如图所示，若管中流有理想流体，管的两段水平部分落差为h，S、P、v分别代表横截面积、压强和流速，且有S1=S2，则有( D )成立。 A.P1-P2 = 0-，v1-v2 >0 0 B.P1-P2< 0-，v1-v2 >0 C.P1-P2> 0-，v1-v2 = 0 D.P1-P2< 0-，v1-v2 = 0

解：根据连续性原理v1S1?v2S2 ?S1=S2 ?v1?v2v1-v2 = 0 再根据伯努利方程P1?11?v12??gh1?P2??v22??gh2 22得：P1??gh1?P2??gh2 P1?P2??g(h2?h1)???gh＜0 所以选择D

1-4如图, 已知三管的截面积分别为S1=100cm2,

S2= 40cm2, S3= 80cm2. 在截面S1, S2两管中的流速分别为v1= 40cm?s?1, v2= 30cm?s?1。则S3管中的流速为 ；S2管中的流体的流量为 。

解：根据v1S1?v2S2?v3S3

S1 S2 v1 S3 v3 题1-4图

v2 有40?100?30?40?v3?80

?1得S3管中的流速为v3?35cm?s

S2

管中的流体的流量为

Q2?v2S2?30?10?4?40?10?2?1.2?10?3(m3?s?1)

1-5在水平流管中作稳定流动的理想流体，截面积大的地方流速____________，流速小的地方压强___________。

答：在水平流管中作稳定流动的理想流体，根据连续性原理，截面积大的地方流速小。根据伯努利方程，流速小的地方压强大。

1-6 有一密闭的大水箱，箱内上部气体的压强为P，下部盛有水。在箱的侧面，距水面h处开一小孔，问此小孔处的流速为多大？

解：小孔流速。如图 1—6 所示 , 设液面的面积为 SA,小孔的面积为SB （SA远远大于SB ）, 液面下 降的速率为vA, 小孔的流速为 vB , 小孔到液面的距 离为 h 。任选液面上的一点 A 到小 孔 B 连接一条流 线 , 可以列出伯努利方程 :

1—6题图

PA?11?vA2??ghA?PB??vB2??ghB 22由连续性方程有

vASA?vBSB

考虑到SA远远大于SB, 可以认为vA?0 。另外 B 点与大气相通， PB?P0，已知A 点的大气压PA?P P0为大气压强。将这些都代入伯努利方程 , 得

1-7 一个大水池水深H=10m，在水面下h=3m处的侧壁开一个小孔，求(1)从小孔射出的水流在池底的水平射程R是多少？(2) h为多少时射程最远?最远射程为多少？

解：(1) 根据小孔流速v?2gh

从小孔射出的水流落在与池底的水平处的高度h??H?h?7（m） 所

用

时

间

vB?2?(P??gh?P0)t?2h?2(H?h)?gg水平射程

R?vt?2gh?2(H?h)?9.17(m) g2(H?h)?2h(H?h) g(2) R?vt?2gh?当h?

H=5（m）时射程最远。 最远射程为Rmax?10（m） 21-8 欲用内径为1cm的细水管将地面上内径为2cm的粗水管中的水引到5m高的楼上。

－

已知粗水管中的水压为4×105Pa，流速为4m·s1。若忽略水的黏滞性，问楼上细水管出口处的流速和压强为多少？

解：设1代表粗管口，2代表细管口

根据连续性原理得:v1s1?v2s2 4???12?v2???()2 v2?16（ms）

-1

12根据伯努利方程得：p1? p2?p1?1212?v1??gh1?p2??v2??gh2 221212?v1??v2??g(h2?h1)?2.3?105（Pa） 22

1-9理想流体在一水平管道中流动,A处和B处的横截面分别为SA和SB。 B管口与大气

Q211相通,压强为P0.若在A处用一细管与一容器相连,试证明，当h满足关系h?(2?2)时,

2gSASBA处的压强刚好能将比水平管低h处的同种液体吸上来，其中Q为液体的体积流量。 解： 由伯努力方程知: PA+ρVA/2 = PB+ρVB/2

而, PA +ρgh = P0 PB= P0 代入,得: gh = ( VA - VB)/2

又, Q = VBSB = VASA 有： VA= Q/SA VB= Q/SB

2

2

2

2

Q211故: h?(2?2)

2gSASB

1-10下面是一个测定农药、叶肥等液体黏滞系数的简易方法。在一个宽大玻璃容器底部连接一根水平的细玻璃管，测定单位时间内由细管流出的液体质量即可知?。若已知细管内直径d=0.1cm，细管长l＝10cm，容器内液面高h=5cm，液体密度为1.9×103kg·m3，测得1min内自细管流出的液体质量m=0.66×10-3kg，问该液体的?为多少？

－

0.66?10?3??5.8?10?9(m3s?1) 解：由题意 QV?3?60?1.9?10Qm根据泊肃叶公式

4?R4(P?P)?d(?gh)12QV??8?l16?8??l

得液体的黏滞系数：

3.14?(0.1?10?2)?4?1.9?103?9.8?5?10?2????0.04(Pa?s)?9?216?8QV?l16?8?5.8?10?10?10

1-11如果液体的黏滞系数较大，可采用沉降法测定黏滞系数。现使一个密度为2.55×3－10kg·m3，直径为6mm的玻璃球在甘油中由静止落下，测得小球的收尾速度为3.1cm·s-1。

－

已知甘油的密度为1.26×103kg·m3。问甘油的黏滞系数为多少?

解：玻璃球受力 G重力?f粘滞阻力?f浮力

?d4(?gh)434?r?g?6??rvT??r3?0g 33其中, ?为玻璃小球密度,g为重力加速度，?0为甘油的密度，r为玻璃球的半径，vT即

为小球的收尾速度 。 得甘油的黏滞系数为

2(???0)gr2???0.82(Pa?s)9vT练 习 题 二

2-1接触角为锐角时，液体（ ）

A.润湿固体 B.不润湿固体 C.完全润湿固体 D.完全不润湿固体

解答：由定义，接触角为锐角时，液体润湿固体。本题选A。

2-2两个半径不同的肥皂泡，用一细导管连通后，最终结果是（ ）。 A.两个肥皂泡最终一样大 B.大泡变大，小泡变小 C.大泡变小，小泡变大 D.不能判断

解答：由附加压强公式Ps?4? 球形液膜的曲率半径越大，附加压强就越小，因而R其内部的压强就越小。小泡内的压强大于大泡内的压强。一旦两泡连通，在压强差的作用下，小泡内的气体不断流向大泡，直至两泡的曲率半径相同为止。所以选B。

2-3两个完全相同的毛细管，插在两个不同的液体中，两个毛细管（ ）。 A.两管液体上升高度相同 B.两管液体上升高度不同 C.一个上升，一个下降 D.不能判断 解答：根据毛细管中液体上升的公

h?2?cos??gr式：

得知，液体上升还是下降由两种液体接触角?决定，在没给定接触角的情况下无法判断。所以选D

2-4一小孩吹了一个半径R为3cm的肥皂泡，他至少需要做 功；这肥皂泡的内外压强差为 。（已知：肥皂水的表面强力系数α=8.6×10N?m?1）。 解：（1）小孩吹的肥皂泡作的功，至少等于这个肥皂泡的表面能。

根据公式?E?A???S （其中?S?2?4?R2） 得作功至少为

-2

A???8?R2?8.6×10-2N.m-1?8?3.14?(3?10?2)2m?1.94?10?3(J)

（2）泡的内外压强差由附加压强公式求得：

4?4?8.6?10?2-1Ps???11.5(Pa?m) ?2R3?10

-2

2-5一半径为0.2mm的毛细管,插入表面张力系数α=5.0×10N?m?1的液体中,接触角逐θ=45°,则毛细管中液体将 （填上升或下降），上升或下降的高度

-3

为 。液体的密度ρ=1.0×10kg·m-3。 解：（1）因为接触角θ=45°，润湿管壁，液体上升。

（2）上升的高度由公式得 h?2?cos??gr 2?5.0?10?2cos450h??3.6?10?2(m)3?3 1.0?10?9.8?0.2?10

-2

2-6有一长4cm的金属丝从液表面层拉出，液体的表面张力系数α=8.6×10N?m?1。要把金属丝完全拉离液面（忽略金属丝的重力），最小需要拉力为 N。 解：根据表面张力的公式F?f?2?l?2?8.6?10

2-7 把一个半径为5cm的金属细圆环从液体中拉出，圆环环绕的平面与液体表面平行。已知，刚拉出圆环时需用力28.3×10-3N。若忽略圆环的重力，该液体的表面张力系数为多少?

?2?4?10?2?6.88?10?3(N)

G28.3?10?3??4.5?10?2(N?m?1) 解：G?f??l ???2l2?2?3.14?5?102-8 用液滴法测农药的表面张力系数时，巳知移液管管口内半径为0.35mm，滴出的318个药滴的重量为4.9×10-2N，求该农药的表面张力系数。

G4.9?10?2??7.01?10?2(N?m?1) 解：G?f??l ???3l318?2?3.14?0.35?10

QP?CPM?M(T2?T1)??0.0147?8.31(136.5?273)??1985J ?32?14?102 ?E?CV?(T2?T1)?0.0145?8.31(136.5?273)??1418J

2?14?10?32 A?Q??E??1985?(?1418)??567J 4-14 Q?0，1mol气体做功

A???E?CV(T1?T2)? 考虑 ??1? 所以 A?iR(T1?T2) 2i?2i2?? iiiR(T1?T2)

??14-15 （1）a?b系统做功 A??M?RT1lnV2320??8.31?300ln2?17280J V132/0 系统吸热 Q?A?1728J （2） d?a 系统吸热 Q?//M?CV(T2?T1)?3205??8.31(300?200)?20775J 322 （3） c?d系统做功 A??M?RT2lnV1320??8.31?300ln0.5??11520J V232 （4） 系统完成一个循环从高温热源吸取热量 Q1?Q?Q?38055J 做净功 A?A??A??5760J 热效率 ??///A5760??15.1% Q1380554-16 （1） 1）a?b

P1V1?P2V2

P1V11.013?106?10 P2???5.065?104Pa

V220 2） b?c V0.43T1V1??1?T2V2??1

T1V20.4400?200.4?23 V3?4.88?10m ??T2300P2V2T25.07?104?20?280 P3????1.453?104Pa ?2T1V3400?4.88?10 3） d?a由前

V2V3 ?V1V4V3V14.88?10?2?10 V4???2.44?10?2m3

V220

4） c?d P3V3?P4V4

P3V31.453?104?4.88?10?24P4???2.906?10Pa ?2V42.44?10 （4） ??1?T2280?1??30% T1400MRT1lnV1V?P1V1ln2?5.065?104?20ln2?702.16J V2V1 （3） Q1?A1?? （2） A?Q1??702.16?30%?210.67J

4-17

P?5.0?104kW,T1?1000K,T2?300K(1)?c?1?T2300?1??70%T11000(2)?实?70%?70%?49%5.0?104(3)Q1???1.02?108J?实0.49P(4)Q2?mC?tQ21.02?108?0.51o?t???1.24C6mC10?10?4.18

4-18

??T2263??10.52

T1?T2288?263 Q2?A???1000?10.52?10520J

4-19

T1Q2300?5.0?3.35?105??1.84?106J解1： (1)Q1?T2273(2)A?Q1?Q2?1.84?106?5.0?3.35?105?0.165?106JT2273(1)????10.1解2： T1?T2300?273(2)5.0?3.35?105A???0.165?106J?10.1Q2

(3)Q1?A?Q2?0.165?106?5.0?3.35?105?1.84?106J4-20 （1）设混合后温度为t，则

m1c(t1?t)?m2c(t?t2) t?m1t1?m2t20.30?90?0.70?20??41oC

m1?m20.30?0.70 ?S1??TT1m1cdtT314?mcln?0.30?4.18ln??181.8J/K TT1363dtT314?mcln?0.70?4.18ln?202.5J/K TT1293 ?S2??TT21m2c ?S??S1??S2??101.8?202.5?20.7J/K

练 习 题 五

5-1在一个带正电的金属球附近，放一个带正电的点电荷q，测得q所受的力为F。若考虑q的带电量不是足够小，则以下判断中正确的是 B 。

A．

FF大于该点场强E B. 小于该点场强E qqC.

F等于该点场强E D. 无法判断 q 分析: 应考虑q产生的场强。

5-2 下列说法中，正确的是（ D ）。

A.带负电的点电荷，在电场中从a点移到b点，若电场力做正功，则a、b两点的电势关系为Ua＞Ub

B．由点电荷电势公式U?q4??0r可知，当r →0时，则U →∞

C．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，其电势就越低

D．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，电场强度的量值就越小 分析: 无论电荷Q的正负如何，电场强度的量值为E?Q4??0r2。

5-3 真空中一半径为R的球面均匀带电Q，在球心O处有一带电量为q的点电荷。设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O距离为r的P点处的电势为（ B ）。

qQ(?) A. B.

4??0rR4??0rqC.

1r R q?Q1qQ?q(?) D.

4??0r4??0rR

5-3题图

分析: U???q4??0rrdr??0dr??2rR?Q4??0r2Rdr??qQ??? 2?4??0r?rR?15-4一点电荷q位于一立方体中心，立方体边长为a， 则通过立方体一面的电通量是

q 。 6?0分析: 立方体六个面的总电通量为Φe?q?0L，一个面为Φe?q 6?0??5-5静电场的环路定理的数学表达式为 ?E?dl?0 ，其物理意义是：静电场的电场

强度沿任意闭合路径的线积分为零；该定理表明静电场是 保守力 场。

5-6 在静电场中，一质子（带电量为e =1.6×10-19C）沿四分之一的圆弧轨道从A点移动到B点（如5-6题图所示），电场力做功8.0×10-15J。则当质子沿四分之三圆弧轨道从B点回到A点时，电场力做功A=-8.0×10-15J。设A点电势为零，则B点电势UB=-5×104V。

分析: 因电荷绕场一周电场力做功为零，所以AAB??ABA； ∵ e?UA?UB??AAB ∴ UB?UA?B A O r AAB??5?104?V? e5-6题图

5-7 在静电场中，某空间内电势处处是300V ，该空间内的电场强度是_0_；若某处电

势从200V经过1m均匀变化到300V ，该处的电场强度是_100V/m_。 分析: E??U； d+ q l O l - q x l + q P 5-8 由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。图5-2所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的q和l均为已

l - q 5-8题图 知，对图5-2中的P点(OP平行于正方形的

一边)，证明当x??l时

Ep? 3pl

4??0x4其中，p=ql 称电偶极矩。

解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P点产生的场强分别为E左和E右，由教材例题5-3可知

E左?p4??0?x?p4??0?x?l32l32? ?方向向下? ?方向向上?

E右?其中，p=ql。

P点处的合场强为

?E?E右?E左?p4??0?x?l32??p4??0?x?l32??2l?p3xl?2?234??0?x2??l??2??23

由于

x??l 上式可简化为 2

E?证毕。

3pl ?方向向上?

4??0x4dE dE合

dE/ P θ a x dx/ 0 l 5-9题图

dx 5-9 一个均匀带电细棒长为l，带电总量为q。证明，在棒的垂直平分线上离棒为a处的电场强度为

E?12??0al?4a

22 q证明：由题设条件可知，细棒的电荷线密度为

??ql。在5-9题图中，对称的取距离中点O为x处的电荷元dq ，dq??dx?qdx/l。两个电荷元在P点产生的电场强度dE和dE?的水平分量相互抵消，在P点产生的合场强为dE和dE?沿竖直向上的分量之和。即

dE合?2dEcos???2dqa124??0?a2?x2??a2?x2?aqdx2??0l ?a?x2232?

于是，整个细棒在P点处的场强为

E?? 0dE合?? 0积分该式，整理后可得

l 2l 2aqdx2??0l ?a?x2232?

E?

12??0al2?4a2，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处

q5-10 一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为的任一点P的电场强度；（2）当R→∞时，P点的

电场强度为多少?（3）当x??R时，P点的电场强度又为多少?

解：（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为r+dr的细圆环，如5-10题图所示。利用教材中例题5-2的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为

?dr r R θ x P dE// dE⊥ dE dE?x? dS4??0?x?r2232??x? 2? rdr4??0?x?r2232?

5-10题图 于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为

x?Rrdr?x

E?dE??[1?]223/2221/20 2?02?0(r?x)(R?x)??（1） 当

R??时，

x??0E? 。此时，上式可化为 221/22?0(R?x)即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。

（3）当x??R时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P点电场强度为

?4?R2q E??4??0x24??0x2

5-11 大多数生物细胞的细胞膜可以用两个分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。在5-11题图中，设半径为R1和R2的球壳上分别带有电荷Q1和Q2，求：

（1）I、II 、III三个区域中的场强；（2）若Q1 =－Q2，各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线 (即E－r 关系曲线)。从这个结果，你可以对细胞膜的电场强度分布有个概略的了解。

解：（1）在区域I，做半径为r﹤R1的球形高斯面。因为高斯面内无电荷，根据高斯定理

III II I R1 Q2 Q1 R2 ??E?dS???q01内

可得区域I中的电场强度为

E1= 0

在区域II，以R1?r?R2为半径做球形高斯面。因为此高斯面内的电荷为Q1，高斯定理可写为

5-11题图

??E?dS?由此可解得区域II的电场强度为

Q1?0

E2?Q14??0r2

在区域III，做半径r﹥R2的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为Q1+Q2，由高斯定理可解得该区域的电场强度为

Q?Q2 E3 =1 24??0r（2）当Q1 =－Q2时，根据以上结果知 区域I的场强为 E1= 0 区域II的场强为 E2?E Q14??0r22 0 R1 R2 r Q14??0r2

5-11题E－ r关系曲线

区域III的场强为 E3= 0

根据上述结果可画出5-11题E?r关系曲线。

5-12 实验表明，在靠近地面处有相当强的大气电场，电场强度方向垂直地面向下，大小约为100N?C；在离地面1.5 km高的地方，电场强度方向也是垂直地面向下的，大小约为25N?C。（1）计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度；（2）若地球上的电荷全部分布在地球表面，求地球表面的电荷面密度；

6（3）已知地球的半径为6?10m，地球表面的总电量为多少?

-1解：（1）由题中条件，在距离地面高度为1.5km处的大气电场E2?25N?C，地面附

-1-1近的大气电场为E1?100N?C。

从1.5km高处至地面做圆柱形高斯面，如5-12题 a图所示。由于圆柱形高斯面的上

-1底面和下底面相等，设为S，则穿过此高斯面的电通量为

Φe???E?dS?ES?E2S

1由高斯定理得

E1S?E2S?即

?q?0

H E2

?q??0?E1?E2?S

其中，?q为高斯面内的所有电荷的代数和。于是，高斯面内的平均电荷体密度为

1.5km 5-12题a图

???q?q?0?E1?E2???VHSH8.85?10?12?75?

1.5?10?3?4.43?10?13?C?m-3?

（2） 在地球表面附近做如5-12题b图所示的圆柱形 高斯面，高斯面的上底面S1在地球表面附近，下底面S2在地球内部。上地面处的场强为E1，并且S1=S2＝S。由于地球（导体）内部场强为零，设地球表面的电荷面密度为? 。通过该高斯面的电通量为

由高斯定理可得

?E1S?? S?0 由此解出

S ??E?dS??E1S

E1

? ??E1S??100?8.85?10?12??8.9?10?10?C?m?2?

（3） 地球表面的总电量为

5-12题b图

?10625q??S??8.9?10?4?(6?10)??4.0?10(C) ?负号表示地面带负电。

5-13 随着温度的升高，一般物质依次表现为固态、液态和气态。当温度继续升高时，气体中的大量分子将由于激烈碰撞而离解为电子和正离子，这种主要由带电离子组成的状态为物质的第四态，处于该态的物质称等离子体。如果气体放电时形成的等离子体圆柱内的体电荷分布有如下关系

?e?r???0?1??ra????22

其中，?e为电荷体密度，?0为圆柱轴线上的?e值，a为常量，求电场强度分布。 解：在等离子体中取如5-13题图所示的圆柱形闭合高斯面，高斯面的半径为r，高为L。

由于高斯面内的电荷分布是不均匀的，为了求出高斯面内的总电荷，在其中取一个半径为

r?，厚为dr?，长为L的带电薄层，如5-13题图中阴影部分所示。该带电薄层上所带的电

量即为

??r?2?r?Ldr?? dq??e于是，高斯面内所包围的总电量

?02?r?Ldr??1??r?a????22dr′

r′ r L

q??dq??r?02?r?Ldr??1??r?a????220???0La22?a?1????r?由于穿过高斯面的电通量为 由高斯定理可写出

5-13题图

??E?dS?E2?rL

q? E2?rL将前述的q带入，化简后可得

?0

a2?0rE(r)? 222?0?a?r?

5-14 测定土壤颗粒所带电量的方法之一是沉降法。在该法中，使土壤颗粒在已知黏滞系数??的液体中沉降，测出其收尾速度(即最后的稳定速度) v1。然后，再通过极间电压施加一个如5-14题图所示的静电场(假定土壤颗粒带正电荷)。调节电场强度E使颗粒达到新的收尾速度v2，这时有下列关系成立：

q?6?? r?v1?v2?

E其中，r为土粒的半径，q为土粒所带电量。请证明这个关系。

解：当未施加电场时带电土壤颗粒 在重力作用下沉降，根据斯托克斯公式 -Q 可得

mg?6?r??1

+Q

E v

5-14题图

施加电场后，土壤颗粒的受力为

mg?qE?6?r??2

将以上两式联立求解，可得

q?证毕。

6? ? r?v1?v2?

E5-15为了将混合在一起的带负电荷的石英颗粒和带正电荷的磷酸盐颗粒分开，可以使之沿重力方向垂直通过一个电场区域来达到。如果电场强度E?5?105NC?1，颗粒带电率为10CKg，并假设颗粒进入电场区域的初速度为零。欲将石英颗粒和磷酸盐颗粒分离100 mm以上，问颗粒通过电场区域的距离至少应为多少?该题说明了在农业上很有实用价值的静电分选技术的原理。

解：正、负带电颗粒在运动过程中受水平方向的电场力和竖直方向的重力作用，其运动轨迹如5-15题图所示。

对带正电荷的颗粒，满足

++++++++-qE -qE -mg mg -h ---l - 5-15题图

?5?1q?E?m?a?

对带负电荷的颗粒，满足

q?E?m ?a?设颗粒带电率?，质量为m?的颗粒带电为q??m??，由此可算出

a??同理可算出

q?E?5 (m?s-2) m?a??q?E?5 (m?s-2)=a??a m?于是，颗粒的水平位移为

l12?a t 221g t2 2竖直位移为 h?联立上两式消去时间t可得带电颗粒通过电场距离为

h?g l ?9.8?10?2(m) 2 a-305-16 水分子的电偶极矩为6.13?10C?m，如果这个电偶极矩是由一对点电荷±e引6-1起的(e为电子电量)，那么，它们的距离是多少?如果电偶极矩的取向与强度为10N?C的

电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量(用eV表示)? 解：（1）由电偶极矩的定义

pe?ql

得

pe6.13?10?30?11l???3.83?10(m) ?19q1.6?10（2）若使电偶极矩倒转需要能量为A，则

A?q?E?l?q?E?l?2eEl2?1.6?10?19?106?3.83?10?11 ?1.6?10?19?7.66?10?5(eV)

5-17 一个细胞的膜电势差为50mV，膜厚度为30?10?10m。若假定膜中场强为匀强电场，问电场强度为多大?当一个钾离子(K?)通过该膜时需作多少功?

解：依题意得

U50?10?3??1.67?107(V?m?1) E??10d30?10若令一个钾离子(K)通过该膜时需做功A，则

?A?qU?1.6?10?19?50?10?3?8?10?21(J)

5-18 动物的一些神经纤维可视为半径10?4m、长0.1m的圆柱体，其内部的电势要比周围流体的电势低0.09V，有一层薄膜将神经纤维和这些流体隔开。存在于薄膜上的Na?泵(一种运输Na?的特种蛋白)可以将Na?输送出纤维。若已知每平方厘米薄膜每秒钟可送出

3?10?11mol的Na?，问 (1) 每小时有多少库仑的电荷被送出纤维? (2) 每小时必须反抗电

场力作多少功?

解：（1）已知圆柱体半径r?10?2cm，圆柱体长度L?10cm，t?3600s，

v?3?10?11mol?s-1?cm-2，阿伏伽德罗常数N?6.02?1023，每个电荷的电量e?1.6?10?19C。因此，每小时被送出神经纤维的电荷量为

q?2?rLtvNe?2?3.14?10?2?10?3600?3?10?11?6.02?1023?1.6?10?19 ?6.54?10?3(C)（2）每小时反抗电场力做功A

A = qU = 6.54×10-3×0.09 = 5.89×10-4( J )

5-19 计算练习5-11中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电势。

解：（1）根据题5-4所得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电场分布，可得区域I的电势为

U1?? E?dr r ???E1dr?? r R1 R2 R1E2dr??E3dr

R2 ? ??由此解得

R2Q14??0r R1dr??2Q1?Q2dr R24??r20 ?U1?区域Ⅱ的电势分布为

1?Q1Q2???? 4??0?R1R2?1?Q1Q2???? 4??0?rR2?U2?? E?dr?? r ? R2 rE2dr??E3dr? R2 ?区域Ⅲ的电势分布为

U3?? E?dr?? E3dr? r r ? ?Q1?Q2

4??0r（2）若Q1??Q2，则区域Ⅰ的电势为

U1?? E?dr r ???E1dr?? r R1 R2 R1E2dr??E3dr R2 ????区域Ⅱ的电势为

R2Q14??0r2 R1dr

Q1?11????4??0?R1R2?U2?? E?dr?? r ? R2 rE2dr?Q1?11???? 4??0?rR2?区域Ⅲ的电势为

U3?? E?dr?? E3dr?0

r r ? ?5-19核技术应用中常用的盖革—米勒(G-M)计数管，其外形结构如5-21题图所示，它实质上是一个用玻璃圆筒密封的共轴圆柱形电容器。设导线(正极)的半径为a，金属圆筒(负极)的半径为R，正、负极之间为真空。当两极加上电压U时，求导线附近的电场强度和金属圆筒内表面附近的电场强度。

解：设正极的线电荷密度为?，作半径为r(a?r?R)长度为L的圆柱高斯面，据高斯定理得距轴心为处的场强为：

E?? 2??0r①

两极间的电压为

U?? E?dr?? a R R a??Rdr?ln 2??0r2??0a金属圆筒（－） ②

联立①②式得

U E?rlnRa令r = a得正极附近的场强为

玻璃 导线（＋）

5-21题图

Er?a?U

alnRa令r = R得圆筒表面附近的场强为

Er?R?

U

RlnRa5-20 同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如5-22题图所示。设内圆柱体的电势为U1，半径为R1；外圆柱体的电势为U2，外圆柱体的内半径为R2，两圆柱体之间为空气。求两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势。

解：（1）设内圆柱体单位长度的电量为?。距轴心为r处场强为

5-22题图

R2 R1 在内外圆柱体之间做半径r(R1?r?R2)，长度为l的圆柱闭合高斯面，应用高斯定理可得

E?于是，两圆柱间电压为

? 2??0r①

?U?U1?U2?? R2 R1E?dr?R?ln2 2??0R1②

由①式解得??2??0rE，将其带入②式，可得

?U?U1?U2?rEln即

R2 R1E?U1?U2

rln(R2R1)则两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势与外圆柱体之间的电势差

为

Ur?U2?? R2 rE?dr ??R2rU1?U2U?U2dr?1 ln(R2r)

rln?R2R1?ln(R2R1)于是，两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势为

Ur?U1?U2 ln(R2r)?U2

ln(R2R1)类似地，两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势与内圆柱体之间的电 势差为

Ur?U1??E?dr ? r R1U1?U2 ln(R1r)

ln(R2R1)于是，两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1?r?R2)的电势也可表示为

Ur?U1?U2 ln(R1r)?U1

ln(R2R1)5-21动物体是利用叫做轴突(axon)的神经纤维中的电脉冲传递信息的。在结构上轴突由圆筒形细胞膜组成。设圆筒形细胞膜的内半径为RA，外半径为RB,细胞膜的相对介电常量为?r，求轴突单位长度的电容。

解：设分布在圆筒形细胞膜内半径上单位长度的电量为?，当内外半径之间 为空气时，由习题5-15可知，圆筒形细胞膜内外的电压为

?U?细胞电容为

C0?R?lnB 2??0RAq??U?l?ln?RBRA?2??0?2??0l

ln?RBRA?其中，l为圆筒形细胞膜的长度。当细胞膜的相对介电常量为?r时，细胞电容为

C??rC0?于是，轴突单位长度的电容为

2??0?rl

ln?RBRA?Cl?2??0?rC? lln?RBRA?

5-22一个球形电容器，内外壳半径分别为R1和R2，两极板间电介质的相对介电常量为

?，球形电容器内极板所带电量为q，试计算这一电容器所储存的能量。

解：在两极板间以半径r 作一个闭合球形高斯面，由高斯定理可得两极板 之间的场强为

E?电容器两极板间的电压为

U?则电容器所储存的能量为

q4?? r2

? R2 R1E?dr??R2q4??rR1dr?2q?11???? 4?? ?R1R2?1q2R2?R1We?qU?

28??R2R1或

5-23两个同轴圆柱面长为l，半径为R1和R2（R1?R2，且R1、R2远小于 l），两圆柱面间充满空气。（1）当内外柱面分别均匀带电?Q和?Q时，求圆柱面间储存的电场能。（2）由能量关系推算此电容器的电容。

解：（1）由5-15题可知两个圆柱面间场强为

R21?q2?R2?R1?12q?2We?????EdV????4?rdr?2?R1228??R1R24??r??V2

E?两圆柱面间电压为

Q2??0rl

R1 U?? R2 R1E?dr??R2Q2??0rlR1dr

?r R2 l 5-25题图

＝

Q2??0llnR2 R1于是，两圆柱面之间储存的电场能为

R1Q2We?QU?ln2

24??0lR1（2）由We?1CU2 得电容器电容为 2C?2WeR2Q?ln U24??0lR1

2

练习 题 六

6-1 在稳恒条件下通过一个电流管任意两个截面（面积不等）的电流强度（ A ）。 A．相等 B.不相等 C. 截面大的电流强度大，截面小的电流强度小 D.以上说法都不对

6-2直径为2mm的导线，如果流过它的电流强度是20A，且电流密度均匀，导线的电阻率ρ?3.14?10Ω?m，则导线内部的场强为应是（ D ）。

A．2.0V?m B.1.0V?m C.0.5V?m D.0.2V?m 分析: E??1?1?1?1?8UIRI?lI? ???2lllS?d?????2??146-3 大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性。已知地球表面附近空气的电导率??3?10解：已知??3?10曲面dS的电流强度为

?16??1?m?1，场强E?100N?C，地球半径R?6?10m。

若将大气电流视为恒定电流，计算由大气流向地球表面的总电流强度。

?14??1?m?1，E?100N?C?1。在地

E 球表面上取一个微元曲面dS，如图6-1所示。则由大气流向

dI?j?dS?jdS

（1）对上式积分可得大气流向地球表面的总电流强度为

dS I???j?dS???jdS?jS

SS因为

6-3题图

j??E?3?10?14?100?3?10?12(A?m-2)

地球表面积为

S?4?R2?4???6?106??4.52?1014?m2?

2于是，大气流向地球表面的总电流为

I?jS?3?10?12?4.52?1014?1.4?103(A)

6-4 截面积为10mm2的铜线中，允许通过的电流是60A，试计算铜线中的允许电流密度。设每个铜原子贡献一个自由电子，可算得铜线中的自由电子密度是8.5?10计算铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速度。

解：铜线截面积S?10mm?1.0?10m，允许通过的电流I?60A，则铜线中允许电流密度

2?5228m?3，试

j?I60??6.0?106(A?m?2) ?5S1.0?1028?3又知铜线中的自由电子密度n?8.5?10m，则铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速

度为

j6.0?106v???4.4?10?4(m?s?1) 28?19ne8.5?10?1.6?106-5 有一个灵敏电流计可以测量小到1028?3?10A的电流，当铜导线中通有这样小的电流时，

每秒内有多少个自由电子通过导线的任一个截面？如果导线的截面积是1mm2，自由电子的密度是8.5?10m，自由电子沿导线漂移1cm需要多少时间？

解：设导线中单位体积的电子数为n，导线截面积为S，电子运动的平均速度为v，则t时间内通过截面S的电子数N应为如图6-2所示的圆柱体内的电子数，即 S N?nSvt 由于I?nevS，即n?I(evS)，将其带入上式得

I IItN?nSvt??Svt?evSe6-5题图

由已知条件可知，铜导线中电流I?10电子数为

?10vt A，t＝1s，则每秒内通过导线任一个截面的自由

It10?10?1N???6.3?108(s?1) ?19e1.6?10又知导线的截面积S?1mm?1?10m，自由电子的密度n?8.5?10m， 则电子的平均漂移速率为

2?6228?3I10?10?15-1v???7.35?10(m?s) ?628?19Sne1?10?8.5?10?1.6?10于是，自由电子沿导线漂移l?1cm需要的时间为

l1?10?2t???1.4?1012(s) ?15v7.35?10

6-6 一个铜棒的截面积为20?80mm，长为2.0m，两端的电势差为50mV。已知铜的电导率??5.7?10s?m，铜内自由电子的电荷体密度为1.36?107?1210C?m?3。求：（1）

该铜棒的电阻；（2）电流；（3）电流密度；（4）铜棒内的电场强度；（5）铜棒中所消耗的功率；（6）棒内电子的漂移速度。

?解：铜棒的截面积S?20?80mm??5.7?107s?m?1，则

（1） 铜棒电阻为

21?.?6312，0长ml?2.0m，电导率

R?ρl1l2?5????2.2?10??? 7?3S?S5.7?10?1.6?10?2（2） 由于铜棒两端的电势差为U?50mV?5?10V，则电流为

U5?10?2??2.3?103?A? I??5R2.2?10（3） 由电流密度的定义可知电流密度为

I2.3?1036?2?1.4?10A?m j?? ???3S1.6?10（4） 棒内的电场强度

j1.4?106?2.5?10?2?V?m?1? E??7?5.7?10（5） 铜棒中所消耗的功率为

P?IR?2.3?102?32??2.2?10?5?1.1?102?W?

10?3（6） 由于自由电子的电荷体密度ne?1.36?10c?m，则电子的漂移速度 为

j1.4?106?4??1.0?10 v??m?s? 10ne1.36?106-7大多数生物细胞的形状类似圆球，这类细胞的细胞膜可视为一个同心球壳体系，如6-7题图所示。由于活体细胞内外均有许多带电粒子，这些粒子可通过细胞膜进行交换，形成跨膜电流。设细胞膜内半径为Ra，外半径为Rb，膜中介质的电阻率为?。求（1）细胞膜电阻；（2）若膜内外的跨膜电势为Uab，求跨膜电流的电流密度与半径r的关系。 解：（1）设想细胞膜是由许多个薄层圆形球面组成。以r代表其中任意一个薄层球面的半径，其面积dS?4?r，以dr表示薄层的厚度，如图6-3所示。由题意可知电流沿径向方向流动，该薄层的电阻应为dR???drS???dr胞膜的总电阻为

2d r r Rb Ra ?4?r?，则细

2R??dR??ρRaRaRbRbdr1?11?ρ?Rb?Ra??ρ? ???24?r4??RaRb?4?RaRb6-7题图

（2）由于膜内外的跨膜电势为Uab，跨膜电流

Iab?UabUab4?RaRbUab?? R??Rb?Ra?4?RaRb??Rb?Ra?2由于在距离球心r处的总电流Iab所通过的“截面积”S?4?r，则跨膜电流的电流密度与半径r的关系为

j?Iab4?RaRbUabUabRaRb??? S??Rb?Ra??4?r2?r2Rb?Ra6-8电缆的芯线是半径为r1?0.5cm的铜线，在铜线外面包有一层同轴的绝缘层，绝缘

层的外半径为r2?1.0cm，电阻率??1.0?1012??m。在绝缘层外面又用铅层保护起来

（见6-8题图）。

求（1）长l?1（2）当芯线与铅层间的电势差为100V000m的这种电缆沿径向的电阻；时，在这电缆中沿径向的电流多大？

l

d r I r (a) (b)

6-8题图

解：（1）设想整个绝缘层是由许多个薄圆桶形绝缘层叠合而成。如6-8题图所示，以r代表其中任意一个薄层的半径，该薄圆桶形绝缘层的表面积S?2?rl，以dr表示此薄层的厚度，则由电阻公式，该薄层的径向电阻应为

dR?ρdrdr ?ρS2?rlr2长l?1000m的这种电缆沿径向的总电阻为

R??dR??ρr1rρdr?ln2 2?rl2?lr1代入数据后，解得

1.0?10121.0?10?2R?ln()?1.1?108??? ?22??10000.5?10（2）当芯线与铅层间的电势差U?100V时，根据欧姆定律求得径向电流为 I?

练 习 题 八

8-1 一导体圆线圈在均匀磁场中运动，下列几种情况，能产生感应电流的是

（D ）。

A．线圈沿磁场方向平移 B．线圈沿垂直磁场方向平移

C．线圈以自身的直径为轴转动，转动轴与磁场方向平行 D．线圈以自身的直径为轴转动，转动轴与磁场方向垂直

8-2有一个铜环和木环，其尺寸完全一样。今用两根相同的磁铁，从相同起始距离，以相同的速度插入铜环和木环，则在插入过程中某一时刻（ B ）。

A．铜环中的磁通量大于木环中的磁通量 B．铜环中的磁通量小于木环中的磁通量

U100?7??9.1?10(A) 8R1.1?10C．两个环中的磁通量相等 D．无法判定

8-3两个单层密绕的螺线管，长度和匝数都相同，但截面半径不同，一个半径为R，另一个半径为2R。则两螺线管的自感系数之比为（C ）。

A.1∶2

B.1∶2

C.1∶4

D.4∶1

8-4如图所示，一圆形线圈，置于变化的磁场中，磁感应强度B随时间变化关系为B?B0(3t2?2t)当t?1秒时，图中1、2两点间的电压为 8πR2B0V。

8-5如图所示为“N”形导线在磁感应强度为B的磁场中运动，已知ab?cd=l，运动速度为v，感应电动势?ad? εi(ad)?Blv 。

8-6引起动生电动势的非静电力是洛仑兹力，其非静电性场强EK? v?B；；引起感生电动势的非静电力是 涡旋电场力力，涡旋电场是由 变化的磁场 激发的。

d b ωB R a b v O O v

B

B 1 2

题8-8图 a c 题8-5图 题8-6图 8-7 如图所示，长为l的一金属棒ab，水平放置在均匀磁场B中，金属棒可绕O点在水平面内以角速度ω旋转，o点离a端的距离为l/3．试求a，b两端的电势差，并指出哪端电势高。

ω解：建立如图的坐标系，在Ob棒上任一位置x处取一微a b v 元dx，该微元产生的动生电动势为 O x dx B 由于无限长载流直导线I在该处产生的磁感应强度为

x d?i?(v?B)?dx?(vBsin900)cosπ?dx???xBdx

Ob棒在磁场中运动时产生的动生电动势为

题8-7图

?Ob????xBdx???B(l)2??4?Bl2182l301223

其中负号表示电动势方向由b指向O，故O端电势较高。

同理（取向左为x轴正向）， Oa棒在磁场中运动时产生的动生电动势为

?Oa??(v?B)?dx????xBdx???B(?l)2??1?Bl218l30l301213

其中负号表示电动势方向由a指向O，故O端电势较高。

金属棒a，b两端的电势差

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