第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理

第五章弹性力学的求解方法和一般性原理

内容介绍 知识点

弹性力学基本方程 边界条件

位移表示的平衡微分方程 应力解法

体力为常量时的变形协调方程 物理量的性质 逆解法和半逆解法 解的迭加原理

学习思路:

通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。

弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。

由于基本方程与15个未知量的内在联系，例如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。基于上述的理由，为简化求解的难度，可以选取部分未知量作为基本未知量求解。

根据基本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。 上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。

混合解法 应变能定理 解的唯一性原理 圣维南原理

弹性力学基本求解方法 位移解法 位移边界条件 变形协调方程

学习要点：

1. 弹性力学基本方程； 2. 本构方程； 3. 边界条件； 4. 弹性力学边值问题；

首先将弹性力学基本方程综合如下： 1. 平衡微分方程

用张量形式描述 2. 几何方程

用张量形式描述 变形协调方程

当然，具体求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以而且必须做出必要的简化。根据几何方程和本构方程可见，位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。

假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。

基于上述的理由，为简化求解的难度，选取部分未知量作为基本未知量。 若以位移函数作为基本未知量求解，称为位移解法； 若以应力函数作为基本未知量，称为应力解法；

若以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，称为混合解法。 在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题， 数学上称为偏微分方程的边值问题。

按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。

第一类边值问题： 已知弹性体内的体力Fbx，Fby，Fbz和其表面的面力Fsx，Fsy，Fsz，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为面力边界条件。

第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量Fbx，Fby，Fbz以及表面的位移分量

， 求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量， 这时的边界条

件为位移边界条件。

第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量Fbx，Fby，Fbz，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称为混合边值问题。

以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。 4．边界条件：

如果物体表面的面力Fsx，Fsy，Fsz为已知，则边界条件应为：

称为面力边界条件，用张量符号表示为

如果物体表面的位移已知，则边界条件应为

称为位移边界条件。除了面力边界条件和位移边界条件，还有混合边界条件。 综上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程。

这里没有考虑变形协调方程，原因是位移已经作为基本未知量。对于任意的单值连续的位移函数，如果设其有三阶的连续导数，则变形协调方程仅仅是几何方程微分的结果，自然地满足，所以位移作为基本未知量时，不需要考虑变形协调方程。

要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。

弹性力学的任务

就是在

给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。

位移解法是以位移函数作为基本未知函数求解的，所以需要通过几何方程将位移函数表达为应变分量，再通过物理方程将其表达为应力分量，代入平衡微分方程即可得到位移解法的基本方程。

首先，根据物理方程和几何方程，可以得到由位移分量表达的应力分量，即

其中

将上述位移表示的应力分量代入平衡微分方程，整理后可得

这里是拉普拉斯运算符号，即

上述方程是以位移表示的平衡微分方程，称为拉梅（Lamé）方程，它可以表示为张量形式

或表达为矢量形式

上式中 为拉普拉斯算符矢量。

对于边界条件， 如果物体表面的位移已知，则直接由位移形式给定，即使用位移边界条件。

如果给定的边界条件是物体表面的面力， 则面力边界条件式需用位移分量表示， 将应力分量代入物理方程，整理可得位移分量表示的面力边界条件：

或表达为张量形式

显然，如果给定的边界条件是面力边界条件，那么位移解法的边界条件表达式十分复杂，因此求解的难度将是比较大的。

总之，如果以位移函数作为基本未知函数求解弹性力学问题，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。

位移分量求解后，则可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。

以应力作为基本未知函数求解弹性力学问题时，应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。

但是仅此还不够，仅仅满足上述条件的应力分量并不是真正的应力。因为这组应力分量求出的应变分量代入几何方程，将可能得到一组矛盾方程，不可能求出单值连续的位移分量。要使这组方程不矛盾，则要求应力分量不仅满足平衡微分方程和面力边界条件，而且应力分量对应的应变分量必须满足变形协调方程。

这个问题也可以从物理上解释，应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件，只能保证物体的平衡，但是不能保证物体的连续。只有这组应力分量求出的应变分量满足变形协调方程时，才能保证变形后的物体是连续的。

当位移分量作为基本未知函数求解时，变形协调方程是自然满足的。如果位移表示基本未知量，只有应力作为基本未知函数求解时，变形协调方程作为一组补充方程是必须的。

因此，对于应力解法，应力分量必须满足平衡微分方程和变形协调方程。 由于变形协调方程是由应变分量表达的，在应力解法中，需要将其转换为由应力分量表达。 将物理方程改写为

其中

将上式代入变形协调方程的第一，四两式，可得

轮换x，y，z可得其余四个方程。由此可得应力表达的变形协调方程。 下面我们对应力分量表示的变形协调方程的第二式

作简化。

首先对平衡微分方程的第二和第三两式分别对z，y求偏导数，然后相加可以得到

将上式与变形协调方程的第二式相加后并整理，可得

上式为简化后的方程，轮换x，y，z以后，可得另外两个类似的公式。 综上所述，我们一共得到以下六个关系式：

上述方程即为应力分量表达的变形协调方程，通常称为贝尔特拉米--米切尔方程。

如果弹性体体力为常量，则应力分量表达的变形协调方程可以简化为

上述方程为应力分量表达的变形协调方程，通常简称为应力协调方程。但是应该注意：应力是不需要协调的，其实质仍为应变分量所满足的变形协调关系。 如果用张量形式表达，则上述公式可写作

总而言之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。 混合解法以六个应力分量和三个位移分量作为基本未知量求解弹性力学问题。通过物理方程中消去应变分量，其基本方程为平衡微分方程和由应力分量表达的几何方程，即

这里有三个平衡微分方程和六个几何方程，共计九个方程对应九个未知函数，加上给定的边界条件，则可得到唯一的解。

弹性力学的基本求解方法的应用要根据问题性质，主要是根据边界条件选择使用。

对于面力边界条件问题，使用应力解法； 位移边界条件应用位移解法；

混合解法主要应用于混合边界条件，即弹性体的部分边界位移已知，部分边界面力已知的问题。

本节将从位移表达的平衡微分方程和应力表达的变形协调方程入手，推导体力为常量时的应力分量，应变分量，位移分量，以及体积应力和体积应变所遵循的规律，为进一步分析和理解弹性力学问题作必要的准备。

将位移分量表示的平衡微分方程的三个公式分别对x，y，z 求偏导数， 然后相加可得

由于

所以

即

由体积应力和体积应变的关系，可得

由上述公式可知，如果体力为常量，体积应力和体积应变均满足拉普拉斯（Laplace)方程，即体积应力函数和体积应变函数均为调和函数。 为了证明弹性力学解的唯一性定理，首先证明一个重要的定理，即应变能定理。 应变能定理是指：弹性体在外力作用下处于平衡状态时，物体内存储的弹性势能，即应变能，等于外力由原始位置到平衡位置所做的功。假如外力是由零连续变化到其最终数值的，则在加载的过程中，物体始终是处于平衡状态的。 以下证明弹性体的应变能定理。设弹性体处于体力Fbx, Fby, Fbz和面力Fsx, Fsy, Fsz的作用下，弹性体内产生位移u，v，w。则外力在位移过程中作功为

将面力边界条件代入上式的第二个积分，并利用高斯积分公式，可得

因此

由此可以证明，外力所做的功等于弹性体存储的弹性势能。

对于一般的工程构件，即弹性体，由于偏微分方程边值问题在数学上求解的困难，因此直接根据给定的边界条件求解弹性力学的基本方程是十分困难的。 为了避开偏微分方程边值问题直接求解的困难，在弹性力学问题的求解中，经常采用的方法是逆解法和半逆解法。

逆解法就是根据研究问题的性质和研究对象特点，确定基本未知量，写出相应的基本方程并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，根据边界条件确定表面作用面力或者已知位移。由此确定假设函数可以求解的弹性力学问题。 半逆解法就是对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形的特点或者已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。 逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中作详细介绍。

逆解法和半逆解法的求解过程带有\试算\的性质，显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。

利用变形能定理，容易证明弹性力学解的唯一性定理。

唯一性定理认为：假如弹性体内受已知体力的作用，表面受已知面力作用，或者表面位移为已知；或者部分表面面力已知，部分表面位移已知。则弹性体处于平衡状态时，弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是唯一的。如果弹性体表面有部分或全部位移已知，则位移分量也是唯一的。 下面我们证明解的唯一性定理。

假设在同一体力Fbx, Fby, Fbz的作用下， 并在同一边界条件下有两组不同的弹性力学解，有两组不同的位移分量，应变分量和应力分量，即

第一组为 第一组为

为了证明这两组解相同，假设这两组解的差为一组新的解答，有

由于第一组应力和第二组应力均为弹性力学的解，其应力应满足平衡微分方程。因此，两组平衡微分方程相减可得

因此，第三组应力满足体力为零的平衡微分方程。

解的迭加原理：弹性力学解的迭加原理是指在线弹性条件下，对于满足小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力共同作用于弹性体的解答。

以下我们简单证明解的迭加原理。

设弹性体在第一组外力，体力Fbx，Fby，Fbz和面力Fsx，Fsy， Fsz作用下， 产生的应力分量为? ij；

同一弹性体在第二组外力，体力F'bx，F'by，F'bz和面力F'sx，F'sy，F'sz作用下，产生的应力为?'ij。

显然上述两组外力所产生的两组应力均应满足平衡微分方程和应力表示的变形协调方程，以及对应的边界条件。由于基本方程和边界条件都是线性的，因此迭加后的应力显然满足两组外力共同作用时的平衡微分方程和边界条件。即迭加后的应力满足全部基本方程和边界条件，是两组外力共同作用时的弹性力学解答。因此可以证明弹性力学解满足迭加原理。

应该注意的是由于全部基本方程和边界条件是由变形前的坐标描述的，因此只有在小变形的条件下才可以使用迭加原理。即变形对外力作用点位置的改变可以忽略不计。

弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解基本方程。由于偏微分方程边值问题的性质，弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移是按一定的规律分布的。对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难满足这个要求的。这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。

为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。

圣维南局部影响原理其主要内容为：物体表面某一小面积上作用的外力力系，如果被一个静力等效的力系所替带，那么物体内部只能导致局部应力的改变。而在距离力的作用点较远处，其影响可以忽略不计。

根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。 局部影响原理是在实验中被多方证明的。例如用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于一组平衡力系。实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用区域比较远处，几乎没有应力产生。

这一结论也可以通过有限元程序计算分析得到。对于矩形板，在等效力系一个集中力F；两个集中力F/2和分布载荷F/l的作用，计算数据表明：静力等效的力系只能导致弹性体局部应力的改变。而在距离力的作用点较远处，其影响可以忽略不计。

圣维南局部影响原理也可以表述为：如果物体的任一部分作用一个平衡力系，则此平衡力系在物体内产生的应力分布，仅局限于该力系作用的局部区域，在离该区域比较远处，这种影响便急剧减少。

学习思路:

通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。

弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。

由于基本方程与15个未知量的内在联系，例如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。基于上述的理由，为简化求解的难度，可以选取部分未知量作为基本未知量求解。

根据基本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。 上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。 学习要点：

1. 弹性力学基本方程； 2. 本构方程；

3. 边界条件； 4. 弹性力学边值问题；

学习思路:

以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的方法称为位移法。 位移解法的基本方程是位移表示的平衡微分方程。位移分量求解后，则可以通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。

如果问题的边界条件为位移边界条件，边界条件描述比较简单。如果问题为面力边界条件，由于边界条件是通过位移函数的导数描述的，因此应用困难。

总之若以位移为基本未知函数求解时，归结为在给定的边界条件下求解位移表

示的平衡微分方程，即拉梅方程。 学习要点：

1. 位移表示的应力分量； 2. 位移表示的平衡微分方程； 3. 位移边界条件。 学习思路:

如果选用应力分量或者应力函数作为基本未知量求解弹性力学问题称为应力解法。

应力解法的基本方程不仅有平衡微分方程，而且有变形协调方程。因为仅仅满足平衡微分方程的应力分量并不一定是真实应力，这组应力分量求出的应变分量代入几何方程，将可能得到一组矛盾方程，这就不可能求出单值连续的位移分量。

由于变形协调方程是应变表示的，在应力解法中，需要转化为基本未知量应力分量表示。

利用平衡微分方程的求导形式简化变形协调方程，可以得到应力分量表示的变形协调方程。

总之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程。

学习要点：

1. 应力解法的基本方程； 2. 变形协调方程的简化；

3. 应力分量表达的变形协调方程； 4. 体力为常量时的变形协调方程 学习思路:

如果选取应力分量和位移分量作为基本未知量求解弹性力学问题，称为混合解法。

基本方程为平衡微分方程和应力分量表达的几何方程。

混合解法三个平衡微分方程和六个几何方程，共计九个方程对应九个未知函数，加上给定的边界条件，则可得到唯一的解。 学习要点：

1. 弹性力学的混合解法。 学习思路:

本节讨论体力为常量条件下，弹性力学的基本未知量的特性。通过这些物理量性质的研究，将有助于今后进一步探讨弹性力学问题。

从位移表达的平衡微分方程和应力表达的变形协调方程入手，可以得到体积应力函数和体积应变函数均为调和函数；而位移分量，应变分量和应力分量均为双调和函数。 学习要点：

1. 体积应力和体积应变； 2. 位移分量； 3. 应力和应变分量。 学习思路:

本节通过应变能原理推导弹性力学的解的唯一性定理。

弹性力学解的唯一性定理：假如弹性体内受已知体力的作用，物体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部分表面面力已知，部分表面位移已知。则弹性体处于平衡状态时，弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是唯一的。对于表面有部分或全部位移已知的，则位移分量也是唯一的。 解的唯一性定理证明可以根据不同的方法证明。

解的唯一性定理的意义是为弹性力学问题的求解提供了重要的理论依据。由于偏微分方程边值问题求解的困难，因此在弹性力学问题分析中，经常需要使用逆解法或半逆解法。而解的唯一性定理为这些方法奠定了基础。 学习要点：

1. 应变能定理； 2. 解的唯一性原理；

3. 解的唯一性原理与边界条件。 学习思路:

由于偏微分方程边值问题求解困难，因此直接由给定的边界条件求解弹性力学的基本方程几乎是不可能的。所以对于弹性力学问题的求解，经常采用的方法是逆解法和半逆解法。

逆解法就是根据问题的性质，确定基本未知量，写出相应的基本方程并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移，然后确定假设的函数。

半逆解法就是对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。

逆解法和半逆解法将在以后的章节中作介绍。其求解过程带有“试算”的性质，显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。

解的迭加原理：弹性力学解的迭加原理是指在线弹性条件下，对于满足小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力同时作用于弹性体的解答。 学习要点： 学习思路:

求解弹性力学问题就是在给定的边界条件下求解基本方程。一般来讲，对于弹性力学解，物体表面的外力是按一定的规律分布的，而实际问题中表面力很难与它一致。这样，弹性力学问题的求解和应用将受到极大的限制。为了扩大解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。

圣维南原理的主要内容为：物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等效的力系所替代，只能产生局部应力的改变，而在离这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。

圣维南原理是一个被实验和理论计算多方面证明的原理，这一原理在弹性力学的分析中广泛应用。可以说，没有局部影响原理，弹性力学问题的分析寸步难行。 学习要点：

1. 局部影响原理。

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