第十九章全等三角形知识点总结

第十九章 全等三角形

知识点结构梳理

一、全等形： 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 二、全等三角形：

（1） 定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。表示方法： ABC全等

于 DEF （2） 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 三、三角形全等的判定：

1 边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。 2 角边角（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 3 角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。 4 角角边（AAS）：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。 5 斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。 四、角的平分线的性质

1.角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2.角的平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

随堂练习 基础题

1．下列命题正确的是( )

A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相同的两个三角形 C．两个周长相等的三角形是全等三角形 D．全等三角形的周长、面积分别相等

2. 如图1，ΔABD≌ΔCDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：( )

A、ΔABD和ΔCDB的面积相等 B、ΔABD和ΔCDB的周长相等 C、∠A+∠ABD =∠C+∠CBD D、AD//BC，且AD = BC

3．（2009年江苏省）如图2，给出下列四组条件： ①AB?DE，BC?EF，AC?DF； ②AB?DE，?B??E，BC?EF； ③?B??E，BC?EF，?C??F；

④AB?DE，AC?DF，?B??E． 其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

图2

4.如图2，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )

(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF

5.（2009年海南省中考卷第5题）已知图5中的两个三角形全等，则∠?度数是（ ）

图5

A.72° B.60° C.58° D.50°

6. （2009年广西钦州）如图6，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形

共有（ ）

A．2对 C．4对 AO

DB．3对 D．5对

BC图6

?A?110°，?B?40°，则?C1= ．7．（2009年清远）如图7，若△ABC≌△ ABC111，且

A

B

C 图7

B1

A1

B C1

B? A?

A

C 图8

8、（2009陕西省太原市）如图8，△ACB≌△A?C?B?，?BCB?=30°，则?ACA?的度数为（ ） A．20° B．30° C．35° D．40°

9、（09湖南怀化）如图9，已知AB?AD，?BAE??DAC，要使 △ABC≌△ADE，可补充的条件是 （写出一个即可）．

A

C E D

B

图9

10、（2009年遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.

11、（2009年宜宾）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD。 求证：∠C=∠A.

CDBA第13（3）题 图

12、(2009武汉)如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．

求证：△ABC≌△DEF．

A D B

13、（2009年漳州）如图，在等腰梯形ABCD中，E为底BC的中点，连结AE、DE．求证：△ABE≌△DCE． B

E A

C D F

E C

14、（2009年黄石市）如图，C、F在BE上，?A??D，AC∥DF，BF?EC． 求证：AB?DE．

A

E

B C F D

15、（09湖北宜昌）已知：如图2，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．

AB(1) 求证：AE=BE；

(2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．

E

提升题

CD1. 如图，长方形ABCD中(AD>AB)，M为CD上一点，若沿 着AM折叠，点N恰落在BC上，则∠ANB+∠MNC=____________；

002．（2009年邵阳市）如图，将Rt△ABC(其中∠B＝34，∠C＝90）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1

的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ） A.56 B.68 C.124 D.180 B C1 0000340 C A

B1

3. (2009年陕西省)如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．

求证：FA＝AB．

AE?AF．4. （09湖南怀化）如图9，P是∠BAC内的一点，PE?AB，PF?AC，垂足分别为点E，F，

求证：（1）PE?PF；

（2）点P在∠BAC的角平分线上．

5.（2009年茂名市）如图，方格中有一个△ABC，请你在方格内，画出满足条件

并判断△AA1B1?AB，BC?A1??A的△A1B1C1，11?BC，1B1C1与△ABC是否一定全等？

B

A C

6.(2009年云南省)如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：△ABC≌△DCB ；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，

并证明你的结论．

A D

M B C

N

7. 如图，在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN 和EM相交于点C． 求证：点C在∠AOB的平分线上．

O D C E N B M A 8.（2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点

Q在矩形内． 求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

P A Q

B

D C

9. （2009年甘肃白银）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上

一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD?DB?DE

222

10. （2009年长沙）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF，求证：AF?CE．

A

E B

F C

D

11. (2009宁夏) 如图：在Rt△ABC中，?ACB?90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．

C E

求证：EC∥AB．

B A D

，AB?BC，E为AB边上一点，12.(2009武汉)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?ABC?90°?BCE?15°，且AE?AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论： ①△ACD≌△ACE； ②△CDE为等边三角形； ③是（ ）

A．只有①②

EHSAH?2； ④△EDC?．其中结论正确的BES△EHCCH

A C D．①②③④

B．只有①②④ C．只有③④

A

H E

B

D O

D P B C

13、(2009年牡丹江市)尺规作图作?AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于

1CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法2得△OCP≌△ODP的根据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

14、(2009年湖州)如图：已知在△ABC中，

AB?AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E，F.

（1） 求证：△BED≌△CFD；

（2）若?A?90°，求证：四边形DFAE是正方形.

A E B

F D

C

15、（2009年广西梧州）如图（7），△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于 点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．

ADMOEN（1）求证：AD＝CE；

BC图（7）

（2）填空：四边形ADCE的形状是 ★ ．

16、（2009年清远）如图，已知正方形ABCD，点E是AB上的一点，连结CE，以CE为一边，在CE的上方作正方形CEFG，连结DG． 求证：△CBE≌△CDG

F G D A E

C 图

B

考验题

1、(2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。 （1） 求证：BD=CD；

（2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

【形．

2、(2009年南充)如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求证：AF?BF?EF．

A E F B

D

G

C

3、如图19，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，

（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有

x或y的代数式表示）

（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律。

C 图19

B 1 A

2 E A′

D 4、（09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB

分别与线段CF， AF相交于P，M．

C(1)求证：AB=CD；

P(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由．

EDMFA

B

ABC?2，5、（2009烟台市）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，?BCD?90°，且CD?2AD，tan?过点D作DE∥AB，交?BCD的平分线于点E，连接BE．

（1）求证：BC?CD；

（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG.．求证：CD垂直平分EG. （3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．

A E B C D G

°，6、（2009年山西省）在△ABC中，AB?BC?2，?ABC?120将△ABC绕点B顺时针旋转角

AC、BC于D、F两点． ?(0°???90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，AC11分别交

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；

C D F B C C1

A1A D E B F A1A

C1

E （2）如图2，当??30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED的长．

7.(2009年湖州)若P为△ABC所在平面上一点，且?APB??BPC??CPA?120°，则点P叫做△ABC的费马点.

，PA?3，PC?4，则PB的值为________； （1）若点P为锐角△ABC的费马点，且?ABC?60°（2）如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′. 求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA?PB?PC.

A B?

B

C

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