华南理工大学有限元考试试题

华南理工大学广州学院有限单元法期末试题大纲

一、选择题：

1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为________________。

（A）配点法 （B）子域法 （C）伽辽金法

2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。

（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数 （B）单元结点自由度数 （C）场变量个数

4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解 （B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡 （D）没有规律

5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是______完全多项式。

（A）m-1次 （B）m次 （C）2m-1次

6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进行回代计算。

（A）上三角矩阵 （B）下三角矩阵 （C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。

（A）对称应力 （B）反对称应力 （C）对称位移 （D）反对称位移

8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号 （B）单元组集次序 （C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n

10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。 （A）对称性 （B）稀疏性 （C）奇异性

C B B C B C D C C C

二、填空题：（课本···黑色字体）····仿题

1、有限元网格划分的过程中应注意：网格数目、网格疏密、单元阶次、网格质量

2、网格分界面和分界点

应使网格形式满足边界条件特点，而不应让边界条件来适应网格。 3、位移协调性

位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递相邻单元。为保证位移协调，一个单元的节点必须同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点。 4、网格布局

当结构外形对称时，其网格也应划分对称网格。

5、单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。

6、单元刚度矩阵中对角线上的元素为正、单元刚度矩阵为对称矩阵、单元刚度矩阵为奇异矩阵

7、四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。 8、等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。 利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。

9、在用有限元法分析实际工程问题中，常见的问题有： 分析， 分析， 分析， 分析， 分析， 技术等。

4.用商业有限元软件ANSYS进行静力强度分析的基本步骤是： ，

， 。

10、举例列出静力分析所使用的单元类

型： ， ， ， ， 等。

11、在用ANSYS软件分析考虑自重的结构静力问题时，材料参数中的 ， ， 和 是必须输入的。 12、在进行有限元分析时，利用 ，在满足计算精度要求的前提下， 可以减少计算工作量。

三、简答题：（1）

1．试说明弹性力学有限单元法解题的主要步骤。

答：应用有限元法解决具体问题的主要步骤有：(1)根据实际结构的工作情况，确定其计算简图，也即创建力学模型。其中包括：如何简化实际问题的几何形状、

尺寸、边界上的约束条件、所承受的外载荷等。材料性质是否均匀，是否要考虑体力，要不要分区计算等。(2)将建立的力学模型进行离散化，即划分单元网格。根据问题的几何特点和精度要求等因素选择单元形式和插值函数，将物体划分为单元并形成网格，这样原来的连续体离散为在节点处相互联结的有限单元组合体。接着对所有节点和单元进行编号。(3)计算单元的刚度矩阵并组集形成总i刚度矩阵。(4)按静力等效原则，将作用在各单元上的载荷等效到各节点上，形成等效节点载荷列阵。(5)由总刚度矩阵和等效节点载荷列阵形成所有节点的力平衡方程组。(6)引入强制（给定位移）边界条件，修改步骤(5)得到的方程组，使之具有确定的解，然后选择合适的方法解这个方程组，得到各节点的位移。(6)得到各节点的位移后，根据有关计算公式就可以求出应变和应力。(7)进行其它必要的后处理。

2．有限单元法的单元刚度矩阵具有什么特征？

答：单元刚度矩阵的特性主要有：(1)对称性，即单元刚度矩阵是对称矩阵。(2)奇异性，即单元刚度矩阵的系数行列式的值等于零。(3)主元恒正，即单元刚度矩阵或者它的分块矩阵的主对角元素（主元）恒为正值。 3．保证有限单元法的解收敛有哪些准则？

答：准则1：完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式，或者说试探函数中必须包含本身和直至m阶导数为常数的项。当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是完备的。

准则2：协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直至m-1阶的连续导数。当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是完备的。 当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于精确解。

5、（13分）回答下列问题：

（1） 弹性力学平面问题8节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚阵元素

是多少？

（2） 弹性力学空间轴对称问题三角形3节点单元，其单元自由度是多少？单

元刚阵元素是多少？

（3） 弹性力学空间问题20节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚阵元

素是多少？

（4） 平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度是多少？单元刚

阵元素是多少？

答：

（1）弹性力学平面问题8节点等参元，自由度16个，刚阵元素16×16＝256； （2）空间轴对称三角形3节点单元，单元自由度6个，单元刚度元素36个； （3）空间问题20节点等参元，其单元自由度60个，单元刚度元素3600个；

（4）平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度6个，单元刚度元素是36个。

6、（10分）线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是如何采用弹性力学问题基本方程？

答：弹性力学有限元的基本过程是：

21. 假设单元的位移场模式 2. 代入到几何方程得到 3. 代入到物理方程得到

3a3a1 2a1a 2a3a1 24. 代入到虚功方程，得到单元刚度方程 5. 叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程

a3a12 3a16. 引入位移边界条件后，解第5步得到的方程组，可以得到结点位移

简答题（2）

1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。

2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 3、简述有限单元法的收敛性准则。

4、考虑下列三种改善应力结果的方法（1）总体应力磨平、（2）单元应力磨平和（3）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高>低）和计算速度（快>慢）进行排序。

1、答：（答对前3个给4分）

（1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布 2、答：

一般原则有

(1)广义坐标的个数应该与结点自由度数相等； (2)选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备； (3)多项式的选取应由低阶到高阶；

(4)尽量选取完全多项式以提高单元的精度。 3、答：

完备性要求，协调性要求 (2分) 具体阐述内容 (3分) 4、答：

计算精度 （1）>（3）>（2） 计算速度 （2）>（3）>（1）

a

四．计算题（共40分，每题20分）

1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E，泊松比??0；

单元的边长及结点编号见图中所示。求

2(1) 形函数矩阵N

(2) 应变矩阵B和应力矩阵S (3) 单元刚度矩阵Ke

31

a

图1

2、图2（a）所示为正方形薄板，其板厚度为t，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为1N/m2，同时在y方向相应的两顶点处分别承受大小为2N/m且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为E，泊松比??0。试求

(1) 利用对称性，取图（b）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个

面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。

(2) 设单元结点的局部编号分别为i、j、m，为使每个单元刚度矩阵Ke相

同，试在图（b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵Ke。

(3) 计算等效结点荷载。

(4) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。

（a）

图2

（b）

a

四．计算题 1、解：

设图1所示的各点坐标为

点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0）

1于是，可得单元的面积为 A?a2，及

2(1) 形函数矩阵N为 (7分)

1N1?2(0?ax?ay)aN??IN1IN2IN3?1 N1?2(0?0x?ay) ；

a ??N1N2N3?1N1?2(a2?ax?0y)a(2) 应变矩阵B和应力矩阵S分别为 (7分)

?a0??00??-a0?1?，B?1?0a?，B?1?00?；B1?2?0-a23??? B??B1B2B3? a?a2?a2?????-aa???a0???0-a??

?????a000?????-a?0?0a?，S3?E?0S1?E-a?，S2?E222a?a?a???111?-a?a0??0a??2?2??2?

(3) 单元刚度矩阵Ke

?3??1??K11K12K13???1eT??EtK?BDBtA?K21K22K23???4?0???K31K32K33????2??1

2、解：

(1) 对称性及计算模型正确

(2) 正确标出每个单元的合理局部编号

(3) 求单元刚度矩阵Ke

(4) 计算等效结点荷载

?0?S?D?B1B2B3? 0?；

? ??S1S2S3?1-a?2? (6分)

?1?10?21?31?20?1??1100?1??

?20200?00020???1?1001?

(5分)

(3分)

(4分) (3分)

(5) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。 (5分)

?10?1?101??20?200???31?2?1??Ke?Et??430?1?对 ?????2?200??6?1?2Et?614??对 6??称 ?称 20?1??00???v?1???32??10?20????v2??u???0??3???1?10????3?u???v????1?t6?2??5??02????u??6?????1?2??1N/m1j2m1N/m2ji① imj3③ m4② ijm5④ i6

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