中考数学复习专题精品导学案：第19讲解直角三角形含详解

2013年中考数学专题复习第十九讲 解直角三角形

【基础知识回顾】

一、 锐角三角函数定义：

在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数

【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关

2、取值范围】 二、特殊角的三角函数值：

在理解的基础上结合表格进行记忆

2、当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 3、几个特殊关系：⑴sinA+cosA= ,tanA=

2

sinA

⑵若∠A+∠B=900，则sinA= cosA.tanB= 】 三、解直角三角形：

1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形

2、解直角三角形的依据：

RT∠ABC中，∠C900 三边分别为a、b、c ⑴三边关系： ⑵两锐角关系

⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA

【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是

当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念

⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图：

斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=

h

l

⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向）

3、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：

⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）

⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案

【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】

对应训练

对应训练

考点三：化斜三角形为直角三角形

对应训练

3．（2012 重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．

考点四：解直角三角形的应用

例4 （2012 张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=米，请据此解答如下问题：

（1）求该岛的周长和面积；） （2）求∠ACD的余弦值． 考点：解直角三角形的应用．

分析：（1）连接AC，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45°米，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可．

解：（1）连接AC

∵AB=BC=15千米，∠B=90°

∴∠BAC=∠ACB=45°

又∵∠D=90°

∴

∴周长

=AB+BC+CD+DA=30+3

（千米） 面积=S△ABC+18 6 ≈157（平方千米）

（2）cos∠

ACD=

CD1

AC5

点评：本题考查了解直角三角形的应用，与时事相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练 6．（2012 益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．

（1）求B、C两点的距离；

（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？

（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732

，

，60千米/小时≈16.7米/秒）

考点：解直角三角形的应用．专题：计算题． 分析：（1）由于A到BC的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC

的距离；

（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可． 解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30， ∴BC=AC tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．

法二：在BC上取一点D，连接AD，使∠DAB=∠B，则AD=BD， ∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°， 在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=30，∠CDA=30°， ∴AD=60，

（米）

（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时） ∴此车没有超过限制速度．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键．

【聚焦山东中考】

A．不变 B．缩小为原来的

C．扩大为原来的3倍 D．不能确定 3

2．A

分析：由于△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A的正弦函数值也不变．

解答：解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变． 故选A．

点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了相似三角形的判定与性质．

5．（2012 潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°． （1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：

； ）

（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．

5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；

（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速． 解答：解：（1）由題意得， 在Rt△ADC中，

AD=

CD=36.33，

tan30

在Rt△BDC中，

BD=

CD=12.11，

tan30则AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2（米）。

（2）∵汽车从A到B用时2秒， ∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒）， ∵12.1×3600=43560，

∴该车速度为43.56千米/小时， ∵大于40千米/小时，

∴此校车在AB路段超速．

点评：此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用． 6．（2012 青岛）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上） （1）求教学楼AB的高度；

（2）学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）． （参考数据：sin22°≈

3152

，cos22°≈，tan22°≈） 8165

6．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=求出即可；

（2）利用Rt△AME中，cos22°=

AM

，ME

ME

，求出AE即可． AE

解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M． 设AB为x．

Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x，

∴BC=BF+FC=x+13，

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2， tan22°=

AM

， ME

则x-2 x+13 =2 5 ， 解得：x=12．

即教学楼的高12m．

（2）由（1）可得ME=BC=x+13=12+13=25． 在Rt△AME中，cos22°=

ME

． AE

∴AE=ME cos22° ≈25 15 16 ≈27， 即A、E之间的距离约为27m．

点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=

AM

是解题关键． ME

【备考真题过关】

A．1

B C

D．2

5．（2012 乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（ ）

A．

1 B

C D．1

2

A．点B到AO的距离为sin54° B．点B到AO的距离为tan36° C．点A到OC的距离为sin36°sin54° D．点A到OC的距离为cos36°sin54°

6．考点：解直角三角形；点到直线的距离；平行线的性质．

分析：根据图形得出B到AO的距离是指BO的长，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出BO=ABsin36°，即可判断A、B；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出AD=AOsin36°，AO=AB sin54°，求出AD，即可判断C、D．

A．24米 B．20米 C．16米 D．12米

7．D

考点：解直角三角形的应用． 专题：探究型．

分析：直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．

解答：解：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，

∴AB=BC tan27°，

把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，

AB≈24×0.51≈12米． 故选D．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

8．（2012 广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1

BC=50m，则应水坡面AB的长度是（ ）

A．100m B

．

C．150m

D．

8．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

分析：根据题意可得出AB的长即可．

解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1

BC ，把

BC=50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算AC∴

BC ， AC

3

∵BC=50m， ∴m， ∴AB=

，

故选：A．

点评：此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．

1．（2012 泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）

2．（2012 深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）

3．（2012 福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）

二、填空题

4．（2012 广西）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是 12 米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）

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考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。 分析： 在直角三角形 ABC 中，根据 BC=8,∠ ACB=56°即可求得 AB 的长. 解答： 解：由题意知 BC=8,∠ C=56°, 故 AB=BC tan56°≈8×1.483≈12 米， 故答案为 12. 点评： 本题考查了解直角三角形的应用， 解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选 择合适的边角关系求解.810360

三、解答题 13.(2012 铜仁地区)如图，定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 α 的邻边与对边的比叫做 角 α 的余切， 记作 ctanα, 即 ctanα= 问题： = (1

)ctan30° (2)如图，已知 tanA= =

AC , 根据上述角的余切定义， 解下 列 BC

;

3 ,其中∠A 为锐角， 试求 ctanA 的值. 4

13.考点：锐角三角函数的定义；勾股定理. 专题：新定义. 分析：(1)根据直角三角形的性质用 AC 表示出 AB 及 AC 的值，再根据锐角三角函数的 定义进行解答即可； (2)由于 tanA= 解答即可.数学题_数学网 课件、教案、试卷，全免费下载

3 ,所以可设 BC=3,AC=4,则 AB=5,再根据锐角三角函数的定义进行 4

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解答：解：(1)∵Rt△ABC 中，α=30°, ∴BC=

1 AB, 2

∴AC=

1 3 2 2 AB , AB BC = AB AB 4 2AC 3. BC

= ∴ctan30°

故答案为： 3 ;

(2)∵tanA=

3 , 4

∴设 BC=3,AC=4,则 AB=5, ∴ctanA=

AC 4 . BC 3

点评： 本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质， 熟知锐角三角函数的定义是 解答此题的关键. 14.(2012 巴中)一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，AB∥CF, ∠F=∠ACB=90° ,∠E=30° ,∠A=45° ,AC=12 2 ,试求 CD 的长.

14.考点：解直角三角形. 分析：过点 B 作 BM⊥FD 于点 M,根据题意可求出 BC 的长度，然后在△EFD 中可求出 ∠EDF=60° ,进而可得出答案.

解答：

解：过点 B 作 BM⊥FD 于点 M,

在△ACB 中，∠ACB=90° ,∠A=45° ,AC=12 2 , ∴BC=AC=12 2 , ∵AB∥CF, ∴BM=BC× sin45° =12 2 ×

2 =12 2

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