2019届高考理科数学第三次摸底考试

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数学试卷(理科)

命题人: 王玉霞、庄树前、盛世红、戴有刚 审题人：高长玉 邢昌振

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟． 注意事项：

1． 各题的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试卷上的无效． 2． 答题前，考生务必将自己的“姓名”，“班级”和“考号”写在答题纸上． 3． 考试结束，只交答题纸．

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．已知集合M＝?x|0?x?3?，N＝?x||x|?2?，则M∩N＝

A．｛x|1＜x＜3｝ B．｛x|0＜x＜3｝ C．｛x|2＜x＜3｝ D．?

2?i的虚部为 1?i331 A．? B． C． D． 2

2222．复数

x2y2??1上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为３，则P到另一焦点距离为 3．已知椭圆

2516 A．5 B．7 C．8 D．10 4．函数f?x??2与g?x???2的图像关于

x?xA．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称

?x?y?1?0?5．如果实数x、y满足条件?y?1?0 ，那么2x?y的最大值为

?x?y?1?0? A．1 B．0 C．?2 D． ?3

1??6．二项式?3x??展开式的常数项为 x??A．-540 B．-162 C．162 D．540

6

7．长方体ABCD?A1B1C1D1中， AB=1，AA1?2，E是侧棱BB1中点．则直线AA1与平面

A1D1E 所成角的大小是

A．30

o

B．45

o

C．60

o

D．90

o

8．方程x?1lg(x2?y2?1)?0所表示的曲线图形是 y O 1 x O 1 2y y y x O 1 2x O 1 2x A

B C D

9．已知数列?an?是正项等比数列，?bn?是等差数列，且a6?b7，则一定有 A．a3?a9?b4?b10 B．a3?a9?b4?b10 C．a3?a9?b4?b10

D．a3?a9?b4?b10

10．已知?,?是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若m??,m??，则???；

②若m??,n??,m//?，n//?,则?//?；

③如果m??,n??,m、n是异面直线，那么n与?相交； ④若????m,n//m，且n??,n??，则n//?且n//?. 其中正确的命题是

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

11.已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足

f(x))?ax，且f'(x)g(x)?f(x)g'(x，

g(x)15f(1)f(?1)5f(n)??. 则有穷数列{}( n?1,2,3,?,10）的前n项和大于的概率是

16g(1)g(?1)2g(n)A．

1234 B． C． D． 5555

x2y212. 已知抛物线y?2px(p?0)与双曲线2?2?1有相同的焦点F，点A是两曲线的

ab2交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为

第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）

A．

D．2?1

22?1 2B．

5?1 2C．3?1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上． 13．7位同学中需选派4位按一定的顺序参加某演讲比赛，要求甲，乙两人必须参加，那么不同的安排方法有____________种.

14．已知正方体ABCD?A1BC11D1棱长1，顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，则此半．球的体积是 .

15．已知an?n，把数列{an}的各项排列成如右侧的三角形状： 记A(m,n)表示第m行的第n个数，则A(10,2)? .

16．在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几何图形的4个顶点，这些几何图形是 ．（写出所有正确结论的编号）． ．．

①梯形； ②矩形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是等腰直角三角形的四面体.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分） 已知tan(a? a1

a2 a3 a4

a5 a6 a7 a8 a9

??????????????

?)?2,??(0,).

42?（I）求tan?的值； （II）求sin(2???3)的值.

18．（本题满分12分） 已知数列{an}是首项为a1?11,公比q?的等比数列，设bn?2?3log1an(n?N*)，444数列{cn}满足cn?3.

bn?bn?1（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{cn}的前n项和为Tn，求limTn.

n??

19．（本题满分12分）

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试. 假设某学生每次通过测试的概率都是

1，每次测试通过与否互相独立. 规定：若3前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试. (Ⅰ) 求该学生考上大学的概率.

(Ⅱ) 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望.

20．（本题满分12分）

D底面ABCD 如图，棱锥P?ABC的是矩形，PA⊥平面ABCD，

P ????????PA?AD?3,AB?4，Q为棱PD上一点，且DQ?2QP.

Q

（Ⅰ）求二面角Q?AC?D的余弦值； （Ⅱ）求点C到平面PBD的距离.

A

D C

B

21．（本题满分12分） 已知函数f(x)?lnx. x（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间及其极值;

（Ⅱ）证明：对一切x?(0,??)，都有x(x?1)e?

2xx?lnx成立. e

22．（本题满分12分）

已知抛物线x2?4y，过定点M0(0,m)(m?0)的直线l交抛物线于A、B两点. (Ⅰ)分别过A、B作抛物线的两条切线，A、B为切点，求证：这两条切线的交点P(x0,y0)在定直线y??m上.

(Ⅱ)当m?2时，在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线l对称，弦长|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用m表示），若不存在，请说明理由.

答案

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． CABCA ABDBD CD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上． 13． 240 14 6? 15 83 16．②③④ 2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分） （I）解：tan(???4)?tan??1，

1?tan?

由tan(???4)?2,可得tan??11?2. 解得tan??.

1?tan?3（II）解：由tan??1?10310,??(0,),可得sin??,cos??. 321010

34因此sin2??2sin?cos??,cos2??1?2sin2??,5531433?43sin(2??)?sin2?cos?cos2?sin?????.333525210???

18．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知，an?()(n?N*)

14n1bn?2?3log1an?3log1()n?3n，即bn?3n?2

444（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn?3n?2(n?N*)

?cn?311??

(3n?2)(3n?1)3n?23n?1111111Tn?(1?)?(?)???(?)?1?

4473n?23n?13n?1limTn?lim(1?n??n??1)?1 3n?119．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为A，则

2641611211232P(A)?C4()()()?()4???.

333324381243∴P(A)?1?P(A)?1?112131?. 243243（Ⅱ）该生参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5. ?1?1P(??2)????， P(?9?3?2241121?3)?C2...?，

33327332241628， 1?1??2?11?2?1P(??5)?C4???????. P(??4)?C3??????()4???813?3?33278181?3??3? 故ξ的分布列为：

ξ 2

3

4

5

P 1 94 2728 8132 81E??2?142832326?3??4??5??. 92781818120．（本题满分12分） 解法一：

（Ⅰ）在棱AD取三等分点M，使DM?2MA，则QM//PA，PA⊥平面ABCD，

QM⊥平面ABCD，过点M作MN?AC于N，连结QN，

则QN?AC，?QNM为所求二面角Q?AC?D的平面角. 在?QMN中，QM?2,P Q

MN?AM?CD4?，

AC5A N M O C

D

229， QN?QM?MN?522B

cos?QNM?MN229?. QN29229. 29所以，二面角Q?AC?D的余弦值为

P （Ⅱ）因为AO?OC，所以点C到平面PBD的距离等于

A到平面PBD的距离，PA⊥平面ABCD，

过点A作AG?BD于G，连结PG，则PG?BD，

A

H

D

G O C

BD⊥平面PAG，过点A作AH?PG于H，

则AH?平面PBD，AH为所求距离，

B

12PA?AG5?1241. AH??PG4134153?所以，求点C到平面PBD的距离为解法二：

1241. 41z P Q A

证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系， 则A（0，0，0）、D（0，3，0）、P（0，0，3）、 B(4，0，0)、C(4，3，0), 有已知得Q(0,1,2)，

????????得PD?(0,3,?3),AC?(4,3,0).

????????????设平面QAC的法向量为n1?(x,y,z)，则n1?PD?0,n1?AC?0，

3?x??y??0?y?2z?0?4即?，∴?，

14x?3y?0?0??z??y??2??令y??4，得到平面QAC的一个法向量为n1?(3,?4,2)

∵PA⊥平面ABCD，∴AP?(0,01)为平面ABCD的法向量.

??????n?AP2229?.， 设二面角P—CD—B的大小为?，依题意可得cos????1?????2929n1?AP????????（Ⅱ）由（Ⅰ）得PB?(4,0,?3),PD?(0,3,?3)

??????????????设平面PBD的法向量为n2?(x,y,z)，则n2?PB?0,n2?PD?0，

????4x?0?3z?0x?3即?，∴令，得到平面QAC的一个为法向量为n2?(3,4,4)

0?3y?3z?0????? ∵BC?(0,3,0)，

???????n?BC121241?. ∴C到面PBD的距离为d?2????4141n221．（本题满分12分） （Ⅰ）解：f'(x)?1?lnx1?lnxf'(x)??0，得x?e. ，令22xxx f'(x) f(x) (0,e) e 0 极大值 (e,??) ? ? 增 减

由上图表知：

f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,??). f(x)的极大值为f(e)?lne1?. ee2x（Ⅱ）证明：对一切x?(0,??)，都有x(x?1)e?则有(x?1)e?2xx?lnx成立 e1lnx? ex1112x，并且(x?1)e??成立，当且仅当x?1时eee由（Ⅰ）知，f(x)的最大值为f(e)?成立，

1lnx的最小值大于等于函数f(x)?的最大值，但等号不能同时成立. exx2x 所以，对一切x?(0,??)，都有x(x?1)e??lnx成立.

e函数(x?1)e?2x22．（本题满分12分）

121x，得y'?x，设A(x1,y1),B(x2,y2) 421过点A的切线方程为：y?y1?x1(x?x1)，即x1x?2(y?y1)

2 解：(Ⅰ)由y?同理求得过点B的切线方程为：x2x?2(y?y2)

∵直线PA、PB过P(x0,y0)，∴x1x0?2(y0?y1),x2x0?2(y0?y2) ∴点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线xx0?2(y0?y)上， ∵直线AB过定点M0(0,m)，∴0?2(y0?m)，即y0??m. ∴两条切线PA、PB的交点P(x0,y0)在定直线y??m上.

(Ⅱ) 设P(x3,y3),Q(x4,y4)，设直线l的方程为：y?kx?m，则直线PQ的方程为：

1y??x?n，

k1?4?y??x?n2?x?x?4n?0， k?k?x2?4y?4?4??x3?x4??,x3?x4??4n，?????16n?0 ①

k?k?2

设弦PQ的中点G(x5,y5)，则x5?x3?x4212??,y5??x5?n?2?n 2kkk∵弦PQ的中点G(x5,y5)在直线l上， ∴

22222?n?k?(?)?mn?k?(?)?m??m?2?，即 ② k2kkk2k2221?4?②代入①中，得???16(m?2?2)?0?2?m?2. ③

kk?k?1?1?|PQ|?1?????|x3?x4|?1?2?(x3?x4)2?4x3x4k?k?112?4??4??1?2?????16n?1?2?????16(m?2?2)kkk?k??k?11?1m?3??m?1?1?4?4?(m?3)2?m?2?4??2?????(2?m?2)kk2??2?k?k由已知m?2，当?22222

?m?2?0?2?m?3时， 弦长|PQ|中不存在最大值.

m?3?0?m?3，此时，弦长|PQ|中存在最大值， 2当m?3时，这时m?2?即当

1m?3??0时，弦长|PQ|中的最大值为2(m?1). 2k2

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