2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷

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2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷

一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1.(4分)集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7},则A∩B= . 2.(4分)不等式<1的解集为 .

3.(4分)已知函数f(x)=2x﹣1的反函数是f﹣1(x),则f﹣1(5)= . 4.(4分)已知向量为 .

5.(4分)已知i是虚数单位,复数z满足

,则|z|= .

,则向量在向量的方向上的投影

6.(4分)在(2x+1)5的二项展开式中,x3的系数是 .

7.(5分)某企业生产的12个产品中有10个一等品,2个二等品,现从中抽取4个产品,其中恰好有1个二等品的概率为 .

8.(5分)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上增函数,若f(a+1)≤f(4),则实数a的取值范围是 . 9.(5分)已知等比数列最小值为 .

10.(5分)圆锥的底面半径为3,其侧面展开图是一个圆心角为此圆锥的表面积为 .

11.(5分)已知函数f(x)=sinωx(ω>0),将f(x)的图象向左平移

个单的扇形,则

前n项和为Sn,则使得Sn>2018的n的

位得到函数g(x)的图象,令h(x)=f(x)+g(x),如果存在实数m,使得对任意的实数x,都有h(m)≤h(x)≤h(m+1)成立,则ω的最小值为 . 12.(5分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M、N是双曲线的两个动点,动点P满足

,直线OM与直线ON斜率之积为2,已知

平面内存在两定点F1、F2,使得||PF1|﹣|PF2||为定值,则该定值为 .

二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)

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13.(5分)若实数x,y∈R,则命题甲“条件.

A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要

D.既非充分又非必要

”是命题乙“”的( )

14.(5分)已知△ABC中,是AC边上的动点,则

,AB=AC=1,点P是AB边上的动点,点Q

的最小值为( )

A.﹣4 B.﹣2 C.﹣1 D.0

15.(5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:°C)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0°C的保鲜时间是192小时,在22°C的保鲜时间是48小时,则该食品在33°C的保鲜时间是( )小时. A.22 B.23 C.24 D.33

16.(5分)关于x的方程x2+arcsin(cosx)+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3,则x12+x22+x32=( ) A.1

三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)

17.(14分)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1. (1)求异面直线BC1与CD1所成的角; (2)求三棱锥B﹣D1AC的体积.

B.2

C.

D.2π2

18.(14分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知

,且

(1)求C;

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(2)若c2=7b2,且

,求b的值.

(n∈N*,p

19.(14分)已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和∈R).

(1)求p的值及{an}的通项公式;

(2)在等比数列{bn}中,b2=a1,b3=a2+4,令列{cn}的前n项和Tn. 20.(16分)已知椭圆设点A(0,b),在△AF1F2中,(1)求椭圆Γ的方程;

(k∈N*),求数

(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,

,周长为

(2)设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点,若直线AB与AC的斜率之和为﹣1,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标;

(3)记第(2)问所求的定点为E,点P为椭圆Γ上的一个动点,试根据△AEP面积S的不同取值范围,讨论△AEP存在的个数,并说明理由.

21.(18分)已知函数f(x)的定义域为D,值域为f(D),即f(D)={y|y=f(x),x∈D},若f(D)?D,则称f(x)在D上封闭. (1)分别判断函数f(x)=2017x+log2017x,说明理由; (2)函数

的定义域为D=[a,b],且存在反函数y=f﹣1(x),若函

在(0,1)上是否封闭,

数f(x)在D上封闭,且函数f﹣1(x)在f(D)上也封闭,求实数k的取值范围; (3)已知函数f(x)的定义域为D,对任意x,y∈D,若x≠y,有f(x)≠f(y)恒成立,则称f(x)在D上是单射,已知函数f(x)在D上封闭且单射,并且满足fx(D)?D,其中fn+1(x)=f(fn(x))(n∈N*),f1(x)=f(x),证明:存

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在D的真子集,Dn?Dn﹣1?…?D3?D2?D1?D,使得f(x)在所有Di(i=1,2,3,…,n)上封闭.

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参考答案与试题解析

一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1.(4分)集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7},则A∩B= {1,3} . 【解答】解:∵集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7}, ∴A∩B={1,3}. 故答案为:{1,3}.

2.(4分)不等式<1的解集为 (1,+∞)∪(﹣∞,0) . 【解答】解:原不等式等价于

,即x(x﹣1)>0,

所以不等式的解集为(1,+∞)∪(﹣∞,0); 故答案为:(1,+∞)∪(﹣∞,0)

3.(4分)已知函数f(x)=2x﹣1的反函数是f﹣1(x),则f﹣1(5)= 3 . 【解答】解:令f﹣1(5)=a, 则f(a)=2a﹣1=5, 解得:a=3, 故答案为:3.

4.(4分)已知向量﹣1 .

【解答】解:向量=(1,﹣2),=(3,4),则向量在向量方向上的投影为:||cos<,>=故答案为:﹣1

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,,则向量在向量的方向上的投影为

==﹣1.

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5.(4分)已知i是虚数单位,复数z满足【解答】解:∵复数z满足∴z化为4z=即z=∴|z|=

故答案为:.

, ,

=. =

,则|z|= .

6.(4分)在(2x+1)5的二项展开式中,x3的系数是 80 . 【解答】解:设求的项为Tr+1=C5r(2x)5﹣r, 今r=2,

∴T3=23C52x3=80x3. ∴x3的系数是80. 故答案为:80

7.(5分)某企业生产的12个产品中有10个一等品,2个二等品,现从中抽取4个产品,其中恰好有1个二等品的概率为 .

【解答】解:某企业生产的12个产品中有10个一等品,2个二等品, 现从中抽取4个产品, 基本事件总数n=

=495,

=240, .

其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m=∴其中恰好有1个二等品的概率为p==故答案为:

=

8.(5分)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上增函数,若f(a+1)≤f(4),则实数a的取值范围是 [﹣5,3] .

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【解答】解:函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上增函数, 可得f(x)=f(|x|),

则f(a+1)≤f(4),即为f(|a+1|)≤f(4), 可得|a+1|≤4, 即﹣4≤a+1≤4, 解得﹣5≤a≤3,

则实数a的取值范围是[﹣5,3]. 故答案为:[﹣5,3].

9.(5分)已知等比数列最小值为 10 .

【解答】解:根据题意,等比数列

为{an},

前n项和为Sn,则使得Sn>2018的n的

其首项a1=,公比q==3,

其前n项和Sn==

(3n﹣1),

若Sn>2018,即3n﹣1>18×2018又由n∈N*, 则n≥10, 故答案为:10.

10.(5分)圆锥的底面半径为3,其侧面展开图是一个圆心角为此圆锥的表面积为 36π .

【解答】解:设此圆锥的母线长为l,

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得, 2π×3=解得l=9,

∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π.

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的扇形,则

×l,

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故答案为:36π.

11.(5分)已知函数f(x)=sinωx(ω>0),将f(x)的图象向左平移

个单

位得到函数g(x)的图象,令h(x)=f(x)+g(x),如果存在实数m,使得对任意的实数x,都有h(m)≤h(x)≤h(m+1)成立,则ω的最小值为 π . 【解答】解:函数f(x)=sinωx(ω>0),将f(x)的图象向左平移得到函数g(x)=sin(ωx+=cosωx的图象,

令h(x)=f(x)+g(x)=sinωx+cosωx=

sin(ωx+

),

个单位

如果存在实数m,使得对任意的实数x,都有h(m)≤h(x)≤h(m+1)成立, ∴?

≤1,∴ω≥π,则ω的最小值为π,

故答案为:π.

12.(5分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M、N是双曲线的两个动点,动点P满足

,直线OM与直线ON斜率之积为2,已知

平面内存在两定点F1、F2,使得||PF1|﹣|PF2||为定值,则该定值为 2【解答】解:设动点P(x,y),M(x1,y1 )、N(x2,y2 ), ∵直线OM与ON的斜率之积为2, ∴

?

=2,

所以2x1x2﹣y1y2=0,①, ∵动点P满足

∴(x,y)=(2x1﹣x2,2y1﹣y2 ), 则x=2x1﹣x2,y=2y1﹣y2,

∵M、N是双曲线上的点,∴2x12﹣y12=4,2x22﹣y22=4. ∴2x2﹣y2=2(2x1﹣x2)2﹣(2y1﹣y2)2

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=4(2x12﹣y12 )﹣(2x22﹣y22 )﹣4(2x1x2﹣y1y2 ) =4×4﹣4﹣4(2x1x2﹣y1y2 )=12﹣4(2x1x2﹣y1y2 ), 把①代入上式得:2x2﹣y2=12, 即

=1,

所以点P是双曲线﹣=1上的点,

因为即﹣

=1的两个焦点为:F1(﹣3

,0)、F2(3

,0),

所以||PF1|﹣|PF2||为定值2故答案为:2

二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13.(5分)若实数x,y∈R,则命题甲“条件.

A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要

D.既非充分又非必要

”是命题乙“

”的( )

【解答】解:由甲推不出乙,比如x=1,y=7,故不是充分条件, 由乙可推出甲,是必要条件, 故选:B.

14.(5分)已知△ABC中,是AC边上的动点,则

,AB=AC=1,点P是AB边上的动点,点Q

的最小值为( )

A.﹣4 B.﹣2 C.﹣1 D.0 【解答】解:∵△ABC中,

,AB=AC=1,

以A为原点,以AB所在的直线为x轴,以AC所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

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则B(1,0),C(0,1)

设P的坐标为(m,0)0≤m≤1,Q的坐标为(0,n),0≤n≤1, ∴∴故

=(﹣1,n),

=(m,﹣1),

=﹣m﹣n=﹣(m+n)≥﹣2,当且仅当m=n=1时取等号, 的最小值为﹣2,

故选:B.

15.(5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:°C)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0°C的保鲜时间是192小时,在22°C的保鲜时间是48小时,则该食品在33°C的保鲜时间是( )小时. A.22 B.23 C.24 D.33

【解答】解:某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:°C)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数), 该食品在0°C的保鲜时间是192小时,在22°C的保鲜时间是48小时, ∴

,解得e11k=,

∴该食品在33°C的保鲜时间:y=e33k+b=(e11k)3×eb=()3×192=24(小时). 故选:C.

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16.(5分)关于x的方程x2+arcsin(cosx)+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3,则x12+x22+x32=( ) A.1

B.2

C.

D.2π2

【解答】解:令f(x)=x2+arcsin(cosx)+a,

可得f(﹣x)=(﹣x)2+arcsin(cos(﹣x))+a=f(x), 则f(x)为偶函数, ∵f(x)=0有三个实数根, ∴f(0)=0,即0+

+a=0,故有a=﹣

, 关于x的方程即x2+arcsin(cosx)﹣=0,

∴x2 =0, 且

+arcsin(cosx1)﹣

=0,

x32+arcsin(cosx3)﹣=0,

x1=﹣x3, 由y=x2和y=

﹣arcsin(cosx),

当x>0,且0<x<π时, y=

﹣arcsin(cosx)=

﹣arcsin(sin(

﹣x))=

﹣(

则﹣π<x<0时,y=﹣arcsin(cosx)=﹣x,

由y=x2和y=

﹣arcsin(cosx)的图象可得:

它们有三个交点,且为(0,0),(﹣1,1),(1,1), 则x12+x22+x32=0+1+1=2. 故选:B.

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﹣x))=x,

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三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)

17.(14分)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1. (1)求异面直线BC1与CD1所成的角; (2)求三棱锥B﹣D1AC的体积.

【解答】解:(1)∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD1∥BC1, ∴∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角.(2分) ∵AB=2,AD=1,A1A=1. ∴在等腰△ACD1中,∴cos∠CD1A=

=

=

,…(4分)

∴异面直线BC1与CD1所成的角(2)==

.…(1分)

…(4分)

.…(3分)

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18.(14分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知

,且

(1)求C; (2)若c2=7b2,且,求b的值.

【解答】解:(1)由

∴2ccosC+acosB+bcosA=0,

由正弦定理得:2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0, ∴2sinCcosC+sin(A+B)=0; 2sinCcosC+sinC=0; 由sinC≠0, ∴, ∴

(2)由c2=a2+b2﹣2abcosC, ∴7b2=a2+b2﹣2abcosC, ∴a2+ab﹣6b2=0, ∴a=2b; 由

知, ,

∴,

∴b=2.

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19.(14分)已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和∈R).

(1)求p的值及{an}的通项公式;

(2)在等比数列{bn}中,b2=a1,b3=a2+4,令列{cn}的前n项和Tn.

【解答】解:(1)根据题意,等差数列{an}中

(n∈N*,p

(k∈N*),求数

当n≥2时,有an=Sn﹣Sn﹣1=pn2+2n﹣[p(n﹣1)2+2(n﹣1)]=2pn﹣p+2, 则an+1=2p(n+1)﹣p+2, ∴an+1﹣an=2p=2, ∴p=1,

an=3+(n﹣1)2=2n+1, (2)∵b2=a1=3,b3=a2+4=9, ∴q=3,

当n=2k,k∈N*时,

Tn=a1+b2+a3+b4+…+a2k﹣1+b2k=(a1+a3+…+a2k﹣1)+(b2+b4+…+b2k)=(3+7+…+4k﹣1)+(3+27+…+32k﹣1) =

当n=2k﹣1,k∈N*时,n+1是偶数,

=

=

∴.

20.(16分)已知椭圆设点A(0,b),在△AF1F2中,

(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,

,周长为

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(1)求椭圆Γ的方程;

(2)设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点,若直线AB与AC的斜率之和为﹣1,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标;

(3)记第(2)问所求的定点为E,点P为椭圆Γ上的一个动点,试根据△AEP面积S的不同取值范围,讨论△AEP存在的个数,并说明理由.

【解答】(1)解:由又△AF1F2周长为联立①②,解得∴椭圆方程为

,∴. ;

,得

…②

,∴…①

(2)证明:设直线l方程:y=kx+m,交点B(x1,y1),C(x2,y2) 由

,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.

依题:kAB+kAC=﹣1,即:∵y1=kx1+m,y2=kx2+m, ∴

,得

,则m=﹣2k﹣1.

∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点(2,﹣1); (3)解:lAE:x+y﹣1=0,设直线l:y=﹣x+t与椭圆

相切,

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由,得.

由△=4t2﹣5(t2﹣1)=0,得t=

得两切线到lAE:x+y﹣1=0的距离分别为∴当当当当当

时,△AEP个数为0个; 时,△AEP个数为1个;

时,△AEP个数为2个;

时,△AEP个数为3个;

时,△AEP个数为4个.

21.(18分)已知函数f(x)的定义域为D,值域为f(D),即f(D)={y|y=f(x),x∈D},若f(D)?D,则称f(x)在D上封闭. (1)分别判断函数f(x)=2017x+log2017x,说明理由; (2)函数

的定义域为D=[a,b],且存在反函数y=f﹣1(x),若函

在(0,1)上是否封闭,

数f(x)在D上封闭,且函数f﹣1(x)在f(D)上也封闭,求实数k的取值范围; (3)已知函数f(x)的定义域为D,对任意x,y∈D,若x≠y,有f(x)≠f(y)恒成立,则称f(x)在D上是单射,已知函数f(x)在D上封闭且单射,并且满足fx(D)?D,其中fn+1(x)=f(fn(x))(n∈N*),f1(x)=f(x),证明:存在D的真子集,Dn?Dn﹣1?…?D3?D2?D1?D,使得f(x)在所有Di(i=1,2,3,…,n)上封闭.

【解答】解:(1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),值域为(﹣∞,+∞),(取一个具体例子也可),

所以f(x)在(0,1)上不封闭.…(结论和理由各1分) t=x+1∈(1,2)

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g(x)在(0,1)上封闭…(结论和理由各1分) (2)函数f(x)在D上封闭,则f(D)?D. 函数f﹣1(x)在f(D)上封闭,则D?f(D), 得到:D=f(D).…(2分)则f(a)=a,f(b)=b

在D=[a,b]单调递增. 在[﹣1,+∞)两不等实根.

故,解得.

另解:令故解得

在[﹣1,+∞)两不等实根.

k+1=t2﹣t在t∈[0,+∞)有两个不等根,

(3)如果f(D)=D,则fn(D)=D,与题干矛盾. 因此f(D)?D,取D1=f(D),则D1=f(D),则D1?D.

接下来证明f(D1)?D1,因为f(x)是单射,因此取一个p∈D{D1, 则p是唯一的使得f(x)=f(p)的根,换句话说f(p)?f(D1). 考虑到p∈D\\D1,即

因为f(x)是单射,则f(D1)?f(D\\{p})=f(D)\\{f(p)}=D1\\{f(p)}?D1 这样就有了f(D1)?D1.

接着令Dn+1=f(Dn),并重复上述论证证明Dn+1?Dn.

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本文来源:https://www.bwwdw.com/article/z0g.html

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