奥数：初中奥数系列：A 03.学生版

全等三角形

中考要求

内容 基本要求 略高要求 较高要求 会利用全等三角形了解全等三角形的概念，了解掌握两个三角形全等的条件和性质；的知识解释或证明相似三角形和全等三角形之会应用三角形全等的性质和判定解决经过图形变换后得间的关系 有关问题 到的图形与原图形 对应元素间的关系 全等三角形 例题精讲

常见辅助线的作法有以下几种：

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的

“对折”．

2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三

角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等

变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”

或“翻转折叠”.

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延

长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

特别声明：本讲为全等三角形常用辅助线作法，有些例题涉及到等腰三角形以及特殊四边形的性质，

所以建议在讲之前对等腰三角形和特殊四边形的基本性质要有所了解。

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模块一、借助角平分线造全等

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线。

2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形。 3． OA?OB，这种对称的图形应用得也较为普遍。

AOBPOAPBOAPB

【例1】 如图，△ABC中，AD平分?BAC，DG?BC且平分BC，DE?AB于E，DF?AC于F.

（1）说明BE?CF的理由；（2）如果AB?a，AC?b，求AE、BE的长.

A

EBGCFD

【例2】 如图，已知△ABC中，?BAC?90?，AB?AC，BE平分?ABC，CE?BD 求证：BD?2CE.

ADEBC

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【例3】 如图，BC?BA，BD平分?ABC，且AD?CD，求证：?A??C?180?.

ADBC

【例4】 如图，AC平分?BAD，CE?AB，且?B??D?180?，求证：AE?AD?BE.

ADEBC

【例5】 (2006年北京中考题)已知?ABC中，?A?60?，BD、CE分别平分?ABC和?ACB，BD、 CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

AEB

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ODC

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