理想变压器和全耦合变压器

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8-4.理想变压器和全耦合变压器 理想变压器和全耦合变压器理想变压器也是一种耦合元件。 理想变压器也是一种耦合元件。它是实际 变压器在理想条件下的电路模型。 变压器在理想条件下的电路模型。理想变压器 的电路符号如下图，在如图同名端、 的电路符号如下图，在如图同名端、电压和电 流参考方向下，理想变压器的伏安关系为： 流参考方向下，理想变压器的伏安关系为：i1 i2

+

u1-

*n:1

*

+

u2-

u 1 =n u2 i1 1 = i2 n

理想变压器的唯一参数是变比(或匝比 理想变压器的唯一参数是变比 或匝比): n 或匝比

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有理想变压器的伏安关系可以看出， 有理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压 器已经没有电感或耦合电感的作用了， 器已经没有电感或耦合电感的作用了，故理想 变压器的电路模型也可以画出受控源的形式： 变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：i1 i2 i1 i2i2 n+ u1-n

+

u1-

*

*n:1

+ -

+ -

+

u2 u1

u2-

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理想变压器可以看成是耦合电感或空芯 变压器在理想条件下的极限情况: 变压器在理想条件下的极限情况 (1)耦合电感无损耗，即线圈是理想的； 耦合电感无损耗，即线圈是理想的； 耦合电感无损耗 (2)耦合系数 耦合系数k=1,即是全耦合 耦合系数 ，M = L L2 1

;

(3)自感系数 1和L2 均为无限大，但 L1 / L2等 自感系数L 均为无限大， 自感系数 于常数， 于常数， 互感系数 M = L1L2 也为无限大。 也为无限大。

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由于同名端的不同， 由于同名端的不同，理想变压器还有另一个 电路模型， 电路模型，其伏安关系为i1 i2

+

u1-

* *n:1

+

u2-

u 1 = n u2 i1 1 = i2 n

当线圈的电压、 当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两 种情况，这两种VCR仅差一个符号。 仅差一个符号。 种情况，这两种 仅差一个符号

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8 -4 -1 理想变压器伏安关系推导 下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压 器着手推导理想变压器的VCR:当线圈的电压、 器着手推导理想变压器的 ：当线圈的电压、 电流参考方向关联时只有这两种情况， 电流参考方向关联时只有这两种情况，由耦合 线圈的VCR: 线圈的 ：

d d d di di2 1 11 12 1 v1 = = ± =vL1 ±vM1 = L ±M 1 dt dt dt dt dt

d 2 d 22 d 21 di2 di 1 v2 = = ± =vL2 ±vM2 = L2 ±M dt dt dt dt dt 这里仅讨论第一种(相加的 情况。 相加的)情况 这里仅讨论第一种 相加的 情况。当耦合系数 k=1时： 时

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电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈 相交链， 相交链，即：φ11 = φ21,φ22 = φ12 , 若 初、次级 线圈 的匝数分别为N 的匝数分别为 1和N2,则两线圈的总磁链分别 为： 1 = 11 + 12 = N1(φ11 +φ1

2) = N1(φ11 +φ22) = N1φ

2 = 22 + 21 = N2 (φ22 +φ21) = N2 (φ11 +φ22) = N2φ

φ 式中， 称为主磁通， 式中， = φ11 + φ22称为主磁通，由电磁感应定 律，初、次级电压分别为 u1 N1 d 1 dφ = =n 故得： u1 = = N1 故得：dt dt d 2 dφ u2 = = N2 dt dt

u2

N2

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di1 di2 由耦合电感VCR的第一式： u1 = L 的第一式： 由耦合电感 的第一式 +M 1 dt dt

从

∞

积分， 到 t 积分，有t

得： i1 = 1

M ∫ u1(τ )dτ L1 i2 L ∞ 1

∞

∫ u (τ )dτ = L i + Mi1 11

t

2

L M L N1 1 1 = =n 得： = = M L2 L2 N2

i 1 由自感、互感的定义： 由自感、互感的定义： N1φ11 = L i1,N1φ12 = M 2 N2φ21 = M 1,N2φ22 = L2i2 it

得：

1 1 i1 = ∫ u1(τ )dτ ni2 L ∞ 1

**

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L 由于u 为有限值， 由于 1为有限值，当L1 →∞, 1 = n 保持不变，即 保持不变， L2

1 满足理想化的第三个条件， 满足理想化的第三个条件，有 i1 = i2 n

类此，可以推导出同名端不同的另一种情况。 类此，可以推导出同名端不同的另一种情况。 由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变 由理想变压器的伏安关系，可以得出： 压器是一种无记忆元件，也称即时元件。 压器是一种无记忆元件，也称即时元件。如代 入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为： 入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：

1 p = u1i1 + u2i2 = (nu2 )( i2 ) + u2i2 = 0 n可见：理想变压器既不耗能，也不储能。 可见：理想变压器既不耗能，也不储能。

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为了方便， 为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的 两种伏安关系合并成一种，且不带负号。 两种伏安关系合并成一种，且不带负号。两线 圈的电压(标同名端处假设为正极 电流(一侧 标同名端处假设为正极)、 圈的电压 标同名端处假设为正极 、电流 一侧 流入另一侧流出)应如下图假设 应如下图假设： 流入另一侧流出 应如下图假设： i1 i2 i1 i2 + + + * * *

u1-

u2 u1-

*

u2+ -

i i1

n:1

+

1

ni1+ +

i1u2 nu2-

n:1

ni1*

nu2-

*

*n:1

*n:1

u2+

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8 -4-2 全耦合变压器的电路模型 实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件， 实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而 不满足第三个条件，那就是全耦合变压器。 不满足第三个条件，那就是全耦合变压器。两 线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有** 线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有 式，有1 1 i1 = ∫ u1(τ )dτ ni2 = iφ + i1 L ∞ 1t

可见， 可见，全耦合变压 器的初级电流有两 部分组成， 部分组成，其中 iφ 称为激磁电流。 称为激磁电流。其 等效电路模型如图 所示。 所示。

i1

i1'L 1

i2

+

u1-

iφ

*

*n:1

+

u2-

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L 上图中， 称为激磁电感。 上图中， 1 称为

激磁电感。这也说明理想变 极限情况), 压器由于 L 为无穷大 极限情况 ，故不需要 1 为无穷大(极限情况 激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。 激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。

工程上为了近似获得理想变压器的特性， 工程上为了近似获得理想变压器的特性，通常 很高的磁性材料做变压器的芯子。 采用导磁率µ 很高的磁性材料做变压器的芯子。 而在保持匝比不变得情况下，增加线圈的匝数， 而在保持匝比不变得情况下，增加线圈的匝数， 并尽量紧密耦合， 接近于1。 并尽量紧密耦合，使k接近于 。同时使 L1, L2, M 接近于 非常非常大，认为增大到无限大。 非常非常大，认为增大到无限大。

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8-5 含理想变压器电路的分析计算由于全耦合变压器的等效电路中同样含有理想 变压器， 变压器，激磁电感 ( 即初级电感 ) 可以认为是 外接电感， 外接电感，故本节也包括了全耦合变压器电路 的分析计算。 的分析计算。

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8-5-1 理想变压器的阻抗变换 由理想变压器的伏安关系可知， 由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以 倍的关系变换电压、 以n倍的关系变换电压、电流外，还可以有 2 倍的关系变换电压 电流外，还可以有n 倍的关系变换阻抗。 倍的关系变换阻抗。 如：从初级看进去的等效电阻为

u1 nu2 2 u2 2 Ri = = =n = n RL i1 1 i i2 2 i1 n i2 + + + i1 RL * * u1 n2RL u2 u1n:1

-

-

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显然，输入电阻仅与匝比有关， 显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无 关。 对于正弦稳态电路， 对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参 考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为： 考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：

& & U1 = nU2 ,& I1 & nI1

& & I2 = nI1+ & I1 & nI1

+& nU2

*

*n:1

+ -

& & U2 nU2

* *n:1

& U2

-

+

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若次级接负载阻抗， 若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效 阻抗为 Zi = n2 ZL 上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广： 上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广： 1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级； 并联阻抗可以从次级搬移到初级； 2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。 串联阻抗可以从初级搬移到次级。 串联阻抗可以从初级搬移到次级 阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。 阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。

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1. 并联阻抗可以从次级搬移到初级； 并联阻抗可以从次级搬移到初级；& a I1 & I2 & I2 ' c

& I1 a

& I1'

& I2 ' c

+& U1

+ I2" & * *& n:1 (a)

U2 Z 2

N d

+& U1

b

b& & U1 = nU2

n Z2

2

* * & U2 n:1 (b)

+

N

d

由图(a): 由图 ：

1 & 1 & & & I1 = I2 = (I2"+I2 ' ) n n & & 1 U2 U1 & & = ( + I2 ' ) = 2 + I1' n Z2 n Z2 1 & & I1' = I2 ' 得图(b)。上式中： 得图 。上式中： n

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2.串

联阻抗可以从初级搬移到次级。 串联阻抗可以从初级搬移到次级。 串联阻抗可以从初级搬移到次级& I1 a & I2 c

a

& I1

& I2 c

+& US

b

Z1 + * * + & & U2 U1 (a) n:1

+N& US

* *n:1

+ 1 Z1 2 & n U2 d

N

b(b)

d

由图(a): 由图

& & I2 = nI1 & = 1 U = 1 (U Z I ) & & & U2 1 S 1 1 n n & 1 & I2 1 & Z1 & ) = US 2 I2 = (US Z1 n n n n

得图(b)。 得图 。

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应该指出： 应该指出：阻抗的 n2 倍与元件的 n2 倍是不一 样的。 样的。 电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反 电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反:

n × R = (n R)2 2

n ×( jωL) = jω(n L)2 2

1 1 = n × 1 jωC jω( 2 C) n2

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利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。例如： 利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。例如：a& USZ1

c Z3

+ b aZ2

* *n:1 d

N

简化为& US

c Z3

+ -

* *b n:1

1 Z 2 1 n

1 Z2 2 n

N

d

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