2015届高考数学一轮复习（回扣主干知识+提升学科素养）第八章 第八节 曲线与方程教案 文

第八节 圆锥曲线的综合问题

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1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．

??Ax＋By＋C＝0，2即?消去y，得ax＋bx＋c＝0. ?Fx，y＝0，?

2

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0?直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切； Δ<0?直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

2．圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

2

|AB|＝1＋k|x1－x2|

2＝1＋k·x1＋x22－4x1x2

11

＝ 1＋2·|y1－y2|＝ 1＋2·y1＋y22－4y1y2.

kk

直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？

提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交．

2

1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax相切，则a等于( ) 111

A. B. C. D．4 234

??x－y－1＝0，解析：选C 由?2

?y＝ax，?

消去y得ax2

??a≠0，

－x＋1＝0，所以?

?1－4a＝0，?

解得a1

＝. 4

1

bx2y2

2．直线y＝x＋3与双曲线2－2＝1的交点个数是( )

aabA．1 B．2 C．1或2 D．0

解析：选A 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．

2

3．设抛物线x＝4y的焦点为F，经过点P(1,5)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.

解析：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝10，由抛物线定义得|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝10＋2＝12.

答案：12

babax2y2

4．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值

5m范围是________．

解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上．则m≥1，且m≠5.

答案：m≥1且m≠5 5．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原

54

点，则△OAB的面积为________．

解析：由c＝5－4＝1，知椭圆右焦点为(1,0)，则直线方程为y＝2(x－1)，联立方程得

x2y2

xy??＋＝1，?54??y＝x－，

22

5

解得x1＝0，x2＝，

3

4

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－2，y2＝.

3

11105

∴S△＝×1×|y1－y2|＝×1×＝.

22335答案： 3

压轴大题巧突破(二)

直线与圆锥曲线的综合应用

[典例] (2013·湖北高考)

(13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为 2m,2n(m＞n) ，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.

(1)当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；

(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．

2

mn

[化整为零破难题]

(1)基础问题1：椭圆C1、C2的标准方程各是什么？

x2y2x2y2

C1：2＋2＝1，C2：2＋2＝1，其中a>m>n>0.

aman基础问题2：直线l与y轴重合时S1，S2各等于什么？

112211

S2＝|AB||ON|＝a|AB|.

22

基础问题3：|BD|，|AB|各等于何值？ |BD|＝m＋n，|AB|＝m－n.

(2)基础问题1：设直线l为y＝kx，则M、N到直线l的距离各是多少？

|ak||ak|

M到l的距离d1＝，N到l的距离d＝. 222

1＋k1＋kS1＝|BD||OM|＝a|BD|，

k2

S1

S2

11S1|BD|S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，＝.

22S2|AB|

|BD|

基础问题3：与xA、xB有何关系？

|AB|

|BD|xA＋xB＝＝λ. |AB|xA－xB2?

基础问题4：如何用xA、xB、a、m、λ来表示k

2

x2k2x2x2k2x2x2AABBA－xBA(xA，kxA)、B(xB，kxB)分别在C1、C2上，所以2＋2＝1，2＋2＝1，∴2＋

amana222222xA－λxBmxA－xB222

＝0，依题意得xA>xB>0，所以xA>xB，所以k＝2. 22

maλ2x2B－xA基础问题2：S1、S2各等于什么？等于什么？

基础问题5：如何求λ的取值？

2

m2x2xAxA＋xBxAλ＋1λ＋1A－xB2

由k>0，得2>0，解得1<<λ，由＝λ，＝，即1<<λ，222aλxB－xAxBxA－xBxBλ－1λ－1

得λ>1＋2.

[规范解答不失分]

依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

x2y2x2y2

C1：2＋2＝1，C2：2＋2＝1.其中a＞m＞n＞0，

amanmλ＝＞1.1分

n(1)如图1，若直线l与y轴重合，则|BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m1111

－n；S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|.

2222S1|BD|m＋nλ＋1所以＝＝＝，3分

S2|AB|m－nλ－1S1λ＋12若＝λ，则＝λ，化简得λ－2λ－1＝0， S2λ－1

由λ＞1，可解得λ＝2＋1.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝2＋1.5分

3

(2)法一：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k＞0)，(Ⅰ)

点M(－a,0)，N(a,0)到直线l的距离分别为d1，d2，则

|－ak－0|ak|ak－0|ak因为d1＝＝，d＝＝， 22222

1＋k1＋k1＋k1＋k所以d1＝d2.6分

11S1|BD|又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以＝＝λ，

22S2|AB|

即|BD|＝λ|AB|.

由对称性可知|AB|＝|CD|，(Ⅱ)

所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|， |AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，

|AD|λ＋1于是＝. ①7分

|BC|λ－1

将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得

aman，xB＝222. 2ak＋mak＋n根据对称性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是(Ⅲ)

2

|AD|1＋k|xA－xD|2xA＝＝ 2

|BC|1＋k|xB－xC|2xBma2k2＋n2＝ . ②9分 na2k2＋m2xA＝22从而由①和②式可得 a2k2＋n2λ＋1

. ③10分 222＝ak＋mλλ－

λ＋1

令t＝，(Ⅳ)

λλ－

由(1)可知当λ＝1＋2，即t＝1时，直线l与y轴重合，不符合题意，故t≠1.

n2λ2t2－12

于是由③可解得k＝2. 2a－tn2λ2t2－22

因为k≠0，所以k＞0，于是③式关于k有解，当且仅当2＞0，等价于(t2

a－t11λ＋1?21?－1)?t－2?＜0，由λ＞1，可解得＜t＜1，即＜＜1，由λ＞1，解得λ

λ?λλλλ－?＞1＋2，12分

所以当1＜λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2； 当λ＞1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.13分

法二：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2，根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k＞0)，(Ⅰ)

点M(－a,0)，N(a,0)到直线l的距离分别为d1，d2，则

|－ak－0|ak|ak－0|ak因为d1＝＝，d＝＝， 22222

1＋k1＋k1＋k1＋k所以d1＝d2.6分

4

11S1|BD|又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以＝＝λ.

22S2|AB||BD|1＋k|xB－xD|xA＋xB因为＝＝＝λ， 2

|AB|x－xAB1＋k|xA－xB|xAλ＋1所以＝.8分

xBλ－1

由点A(xA，kxA)，B(xB，kxB)分别在C1，C2上，可得

2

x2k2x2x2k2x2AABB2＋2＝1，2＋2＝1， aman222xA－x2k2x2BA－λxB两式相减可得2＋＝0，

am2

依题意xA＞xB＞0，(Ⅴ)

22

所以xA＞xB.

2

m2x2A－xB2

所以由上式解得k＝2.10分 2aλ2x2B－xA2

m2x2xAA－xB2

因为k＞0，所以由2＞0，可解得1＜＜λ. 222

aλxB－xAxBλ＋1

从而1＜＜λ，解得λ＞1＋2，所以

λ－1

当1＜λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2； 当λ＞1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.13分 [易错警示要牢记] 易错点一 (Ⅰ)处没有注意对称性，k∈R，使后面求解受阻 易错点二 (Ⅱ)处不注意对称性，则|AD|与|BC|的比值不易求出，从而思路受阻 易错点三 (Ⅲ)处不注意对称性，则变量xA、xB、xC、xD较多运算较大，也易出错 易错点四 (Ⅳ)处如果不换元，则运算量较大，易出现错误 (Ⅴ)处如果不注意xA>xB，则对λ的范围的限制条件发生变化，从而造成结果易错点五 出错

5

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