高考数学一轮复习第十四章坐标系与参数方程练习文 - 图文

拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。第十四章 坐标系与参数方程

考纲解读

考点 内容解读 1.了解坐标系的作用及直角坐标系内的伸缩变Ⅱ,22; 换 2017课标全国2.了解极坐标的概念,会在极坐标系中刻画点1.坐标系 的位置,能进行极坐标与直角坐标之间的互相2016课标全国转化 Ⅰ,23; 3.能在极坐标系中求简单图形的极坐标方程 2015课标Ⅰ,23 2017课标全国Ⅰ,22; 1.了解参数方程和参数的意义 2016课标全国2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线2.参数方的参数方程 程 3.理解直线参数方程中参数的几何意义,并能Ⅲ,23; 用参数方程解决相关的问题 2015课标Ⅱ,23 2014课标Ⅰ,23

分析解读

坐标系与参数方程是高考数学的选考部分,其中极坐标与直角坐标的互化,直线与圆的参数方程及应用是高考的重点,难度不大,题型一般为解答题,分值为10分,但部分省份可能以填空题的形式出现.本章也是对前面所学的解析几何、平面几何、三角函数等知识的综合应用和进一步的深化,考查学生的转化与化归思想的应用.

Ⅰ 2016课标全国题、 Ⅱ,23; 填空★★★ Ⅱ Ⅲ,22; 解答题 ★★★ 要求 高考示例 2017课标全国常考题型 预测热度

1

(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得 2

消去k得x-y=4(y≠0).

2

所以C的普通方程为x-y=4(y≠0).

(2)C的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=4(0<θ<2π,θ≠π).

2

2

2

22

联立

故tan θ=-,

得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).

从而cosθ=,sinθ=,

代入ρ(cosθ-sinθ)=4得ρ=5, 所以交点M的极径为

.

五年高考

考点一 坐标系

1.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为 .

2

2

2

2

22

2

答案 x+y-2y=0

22

2.(2014陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点是 . 答案 1

到直线ρsin=1的距离

3.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.

(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;

(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.

解析 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)+y=4(x≠0).

2

2

.

(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积

S=|OA|·ρB·sin∠AOB

=4cos α·

=2≤2+.

当α=-时,S取得最大值2+所以△OAB面积的最大值为2+

. .

4.(2016课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.

(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为

(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;

(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. 解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程:x+(y-1)=a.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)

3

2

2

2

将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ-2ρsin θ+1-a=0.(4分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组

22

(6分)

若ρ≠0,由方程组得16cosθ-8sin θcos θ+1-a=0,(8分) 由已知tan θ=2,可得16cosθ-8sin θcos θ=0,从而1-a=0, 解得a=-1(舍去)或a=1.

a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上. 所以a=1.(10分)

5.(2013辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin

2

2

2

2

θ,ρcos=2.

(1)求C1与C2交点的极坐标;

(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为的值.

解析 (1)圆C1的直角坐标方程为x+(y-2)=4, 直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.

2

2

(t∈R为参数),求a,b

解

得

所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)

(注:极坐标系下点的表示不唯一.)

(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.

由参数方程可得y=x-+1,

所以

4

解得a=-1,b=2.(10分) 考点二 参数方程

1.(2014湖南,12,5分)在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为 .

答案 x-y-1=0

2.(2017课标全国Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为数方程为(t为参数).

(1)若a=-1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为

,求a.

解析 (1)曲线C的普通方程为+y2

=1. 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.

由解得或

从而C与l的交点坐标为(3,0),.

(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,

故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d=.

当a≥-4时,d的最大值为,

由题设得=,

所以a=8;

当a<-4时,d的最大值为,

由题设得=,所以a=-16.

(θ为参数),直线l的参

5

综上,a=8或a=-16.

3.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)+y=25.

(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;

2

2

(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=

2

,求l的斜率.

解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ+12ρcos θ+11=0.(3分) (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).

设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ+12ρcos α+11=0.(6分) 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|=

=

.(8分)

2

由|AB|=得cosα=,tan α=±

2

.(9分)

所以l的斜率为或-.(10分)

4.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原

点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

=2.

解析 (1)C1的普通方程为+y=1. C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分) (2)由题意,可设点P的直角坐标为(

cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离

2

d(α)的最小值,d(α)==.(8分)

当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为5.(2016江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]

,此时P的直角坐标为.(10分)

6

在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为

为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.

(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ

解析 椭圆C的普通方程为x+=1.

2

将直线l的参数方程代入x+=1,

2

得+=1,即7t+16t=0,解得t1=0,t2=-.

2

所以AB=|t1-t2|=.

6.(2015课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1:

极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2(1)求C2与C3交点的直角坐标;

(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的cos θ.

(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.

解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为x+y-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x+y-2

2

2

2

2

x=0.

联立解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0), 其中0≤α<π.

因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2

cos α,α).

所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4.

当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.

7

教师用书专用(7—11)

7.(2013湖南,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:数)平行,则常数a的值为 . 答案 4

8.(2015陕西,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

(s为参数)和直线l2:(t为参

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为标系,☉C的极坐标方程为ρ=2(1)写出☉C的直角坐标方程;

sin θ.

(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐

(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标. 解析 (1)由ρ=2ρ=2

2

sin θ,得

ρsin θ,

2

2

从而有x+y=2所以x+(y-2

2

y,

)=3.

(2)设P,又C(0,),

则|PC|=

故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P点的直角坐标为(3,0).

=,

9.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).

(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.

解析 (1)曲线C的参数方程为直线l的普通方程为2x+y-6=0.

(θ为参数).

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为

8

d=|4cos θ+3sin θ-6|,

则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,

且tan α=.

当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.

当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.

10.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos

θ,θ∈.

(1)求C的参数方程;

(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=

2

2

x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.

解析 (1)C的普通方程为(x-1)+y=1(0≤y≤1). 可得C的参数方程为

(t为参数,0≤t≤π).

(2)设D(1+cos t,sin t).

由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.

因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=,t=.

故D的直角坐标为,即.

11.(2013课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

已知动点P,Q都在曲线C:(1)求M的轨迹的参数方程;

(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.

解析 (1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).

9

M的轨迹的参数方程为(2)M点到坐标原点的距离d=

=

(α为参数,0<α<2π).

(0<α<2π).

当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.

三年模拟

A组 2016—2018年模拟·基础题组

考点一 坐标系

1.(人教A选4—4,一,3,A5,变式)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cos θ(ρ≥0),则曲线C1与曲线C2交点的极坐标为 .

答案 ,(k∈Z)

2.(2018衡水中学、郑州一中12月联考,22)已知直线l的参数方程是极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程;

(t为参数),以坐标原点为

(2)若直线θ=与曲线C交于点A(不同于原点),与直线l交于点B,求|AB|的值. 解析 (1)ρ=2cos θ可化为ρ=2ρcos θ, 根据极坐标与直角坐标的互化公式可得x+y=2x, ∴曲线C的直角坐标方程为x+y=2x.

2

2

2

2

2

直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程为x-y-1=0,

化为极坐标方程为ρcos=.

(2)将θ=代入ρ=2cos θ,可求得|OA|=1,

将θ=代入ρcos=,可求得|OB|=1+,

10

根据题意可知O、A、B三点共线,且|AB|=|OA|+|OB|=2+∴|AB|=2+

.

,

3.(2018广东广州12月调研,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),将曲线C1

经过伸缩变换后得到曲线C2,在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为

ρcos θ-ρsin θ-10=0.

(1)说明曲线C2是哪一种曲线,并将曲线C2的方程化为极坐标方程;

(2)已知点M是曲线C2上的任意一点,求点M到直线l的距离的最大值和最小值.

解析 (1)因为曲线C1的参数方程为(α为参数),伸缩变换为

所以曲线C2的参数方程为所以C2的普通方程为x'+y'=4. 表示圆心在坐标原点的圆.

2

2

所以C2的极坐标方程为ρ=4,即ρ=2. (2)直线l的普通方程为x-y-10=0.

2

由(1)知曲线C2表示圆心为原点,半径为2的圆,且圆心到直线l的距离d=因为5

>2,所以圆C2与直线l相离.

+2,最小值为d-r=5

=5,

所以圆C2上的点M到直线l的距离的最大值为d+r=5-2.

4.(2017山西太原模拟,22)设直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox

轴为极轴,选择相同的单位长度建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|.

.

解析 (1)由ρ=

2

2

得ρsinθ=8cos θ,

2

2

∴ρsinθ=8ρcos θ,∴y=8x,∴曲线C表示顶点在原点,焦点在x轴正半轴的抛物线.

11

(2)由(t为参数)得y=2x-4,代入y=8x,得x-6x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则

·|x1-x2|=

·

=

×

=10.

22

x1+x2=6,x1·x2=4,∴|AB|=考点二 参数方程

5.(2018山西康杰中学等六校12月联考,22)在直角坐标系xOy中,已知点P(0,),曲线C的参数方程为

(φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

2ρcos=.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.

解析 (1)由2ρcosρcos θ+ρsin θ=

=得 x+y-=0.

,即

由(φ为参数)得+=1.

所以曲线C的普通方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y-=0.

(2)由(1)知:直线l的倾斜角为,所以直线l的参数方程为代入曲线C的普通方程可得t+2t-8=0. 设方程的两根为t1,t2,则|PA|·|PB|=|t1t2|=8.

2

(t为参数),

6.(2018河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t参数,m∈R),以原点O为极

点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程; (2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离为2

2

(0≤θ≤π).

,求m的值.

解析 (1)由曲线C1的参数方程消去参数t,可得C1的普通方程为x-y+m=0. 由曲线C2的极坐标方程得3ρ-2ρcosθ=3,θ∈[0,π],

2

2

2

12

∴曲线C2的直角坐标方程为+y=1(0≤y≤1). (2)设曲线C2上任意一点P(

cos α,sin α),α∈[0,π],

2

则点P到曲线C1的距离d==.

∵α∈[0,π],∴cos∈,

∴2cos当m+

∈[-2,<0时,m+

],

;

=-4,即m=-4-

当m-2>0时,m-2=4,即m=6. ∴m=-4-或m=6.

7.(2017安徽黄山二模,22)已知曲线C的极坐标方程为ρ=(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求|PA|·|PB|的取值范围.

,过点P(1,0)的直线l交曲线C于A,B两点.

解析 (1)由ρ=得ρ(1+sinθ)=2,故曲线C的直角坐标方程为+y=1.

222

(2)由题意知,直线l的参数方程为(cosα+2sinα)t+2tcos α-1=0, 设A,B对应的参数分别为t1,t2,

2

2

2

(t为参数),将代入+y=1得

2

则t1t2=,

则|PA|·|PB|=|t1t2|==∈,

∴|PA|·|PB|的取值范围为.

8.(2017广东广州联考,22)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相同的长度单

位,已知直线l的参数方程为(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρcosθ=4sin θ.

2

13

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.

解析 (1)由(t为参数)消去t得xcos θ-ysin θ+sin θ=0.

所以直线l的普通方程为xcos θ-ysin θ+sin θ=0, 由ρcosθ=4sin θ得(ρcos θ)=4ρsin θ, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得x=4y, 所以曲线C的直角坐标方程为x=4y.

(2)将直线l的参数方程代入x=4y,得tsinθ-4tcos θ-4=0, 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,

2

2

2

2

2

2

2

则t1+t2=,t1t2=-,

所以|AB|=|t1-t2|===,

∵0<θ<π,∴当θ=时,|AB|取最小值4.

9.(2016辽宁五校协作体联考,23)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

2

(t为参数),以坐标

原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ-4ρcos θ=0. (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值范围.

解析 (1)直线l的参数方程为将t=x+3代入y=

(t为参数),

x-y+3

=0.

t,得直线l的普通方程为

2

曲线C的极坐标方程为ρ-4ρcos θ=0,

将x=ρcos θ,ρ=x+y代入即得曲线C的直角坐标方程为(x-2)+y=4. (2)设点P(2+2cos θ,2sin θ),θ∈R,则

2

2

2

2

2

d==,

∵θ∈R,∴d的取值范围是

.

14

B组 2016—2018年模拟·提升题组

(满分:40分 时间:40分钟)

解答题(每小题10分,共50分)

1.(2018河南百校联盟12月联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).

以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C2:ρ=2(1)求曲线C1的普通方程及C2的直角坐标方程;

sin.

(2)设P(k,2k),若曲线C1与C2只有一个公共点Q(Q与P不重合),求|PQ|.

解析 (1)由(t为参数)消去参数t得曲线C1的普通方程为x+y-3k=0.

由ρ=2

2

2

sin

2

可得ρ=2ρsin θ+2ρcos θ,

2

2

2

由ρ=x+y,ρcos θ=x,ρsin θ=y得C2的直角坐标方程为x+y-2x-2y=0. (2)曲线C1为直线,曲线C2表示以C2(1,1)为圆心,

为半径的圆,

,

若曲线C1与C2只有一个公共点Q,则圆心C2(1,1)到直线x+y-3k=0的距离为

即=,解得k=0或k=.

当k=0时,P,Q重合于点(0,0),不满足题意,舍去.

当k=时,P的坐标为,易知点P在直线C1上,|PC2|==.

所以|PQ|==.

2.(2017豫北名校联盟联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(1)求曲线C的普通方程;

(θ为参数).

(2)经过点M(2,1)(平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A,B两点,若M恰好为线段AB的三等分点,求直线l的斜率.

15

解析 (1)由曲线C的参数方程得(θ为参数),

所以曲线C的普通方程为+=1. (2)设直线l的倾斜角为θ1,

则直线l的参数方程为代入曲线C的普通方程,

(t为参数).

得(cosθ1+4sinθ1)t+(4cos θ1+8sin θ1)t-8=0, 设A,B对应的参数分别为t1,t2,

222

所以

由题意可知t1=-2t2.

所以12sinθ1+16sin θ1cos θ1+3cosθ1=0, 即12tanθ1+16tan θ1+3=0.

2

22

解得tan θ1=.

所以直线l的斜率为.

3.(2017河北衡水中学二调,22)已知直线l:(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;

(t为参数),曲线C1:(θ为参数).

(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值. 解析 (1)l的普通方程为y=

(x-1),C1的普通方程为x+y=1,

2

2

联立得方程组解得或所以l与C1的交点为A(1,0),B,

16

所以|AB|==1.

(2)由题意知C2的参数方程为(θ为参数),

所以点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d==,

因此当sin=-1时,d取得最小值且最小值为(-1).

4.(2016广东肇庆三模,23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为

2

(t为参数),以坐标原点为极点,x

轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ+2ρcos θ-4=0. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程;

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

解析 (1)由曲线C1的参数方程为(t为参数),可得C1的普通方程为y=x,

2

将代入上式整理得ρsinθ=cos θ,

2

2

即C1的极坐标方程为ρsinθ-cos θ=0.

(2)将曲线C2的极坐标方程ρ+2ρcos θ-4=0化为直角坐标方程为x+y+2x-4=0, 将y=x代入上式得x+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),

当x=1时,y=±1,所以C1与C2交点的平面直角坐标为A(1,1),B(1,-1),

2

2

2

2

2

∵ρA==,ρB==,tan θA=1,tan θB=-1,ρ≥0,0≤θ<2π,∴θA=,θB=.

故C1与C2交点的极坐标为,.

C组 2016—2018年模拟·方法题组

方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法

1.(2018湖北八校12月联考,22)已知曲线C的极坐标方程为ρ=极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.

2

,以极点为平面直角坐标系的原点,

17

(1)求曲线C的普通方程;

(2)A,B为曲线C上两点,若OA⊥OB,求+的值.

解析 (1)由ρ=

2

得ρcosθ+9ρsinθ=9,

2222

将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得曲线C的普通方程是+y=1.

2

(2)因为ρ=

2

,所以=+sinθ,

2

设A(ρ1,α),由OA⊥OB知B点的坐标可设为,

所以+=+=+sinα+

2

+cosα=+1=.

2

2.(2017四川广安等四市一模,22)在平面直角坐标系中,曲线C1:(α为参数)经过伸缩变换

后的曲线为C2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C2的极坐标方程;

(2)设曲线C3的极坐标方程为ρsin=1,且曲线C3与曲线C2相交于P,Q两点,求|PQ|的值.

解析 (1)由题意得曲线C2的参数方程为则曲线C2的直角坐标方程为(x'-1)+y'=1, 所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos α.

(2)由(1)知曲线C2是以(1,0)为圆心,1为半径的圆, 易知曲线C3的直角坐标方程为x-y-2=0,表示直线,

2

2

(α为参数),

所以曲线C2的圆心(1,0)到直线C3的距离d==,所以|PQ|=2=.

3.(2017山西太原一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为

2

2

其中φ为参数,曲线

C2:x+y-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于

18

点A,B(均异于原点O). (1)求曲线C1,C2的极坐标方程;

(2)当0<α<时,求|OA|+|OB|的取值范围.

22

解析 (1)C1的普通方程为+y=1,

C1的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ-2=0, C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.

2

2

2

2

2

(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|=

2

2

2

,

联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|=4sinα,

则|OA|+|OB|=令t=1+sinα,

2

22

+4sinα=

2

+4(1+sinα)-4.

2

则|OA|+|OB|=+4t-4,

22

当0<α<时,t∈(1,2).

设f(t)=+4t-4,

易得f(t)在(1,2)上单调递增, ∴|OA|+|OB|∈(2,5).

方法2 参数方程与普通方程的互化方法

4.(2017江西南昌十校二模,22)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面

2

2

直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).

(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;

(2)设曲线C经过伸缩变换求|FA|·|FB|.

解析 (1)直线l的普通方程为2

得到曲线C',过点F(,0)作倾斜角为60°的直线交曲线C'于A,B两点,

x-y+2=0,

19

曲线C的直角坐标方程为x+y=4.

22

(2)∵

∴C'的直角坐标方程为+y=1.

2

易知直线AB的参数方程为(t为参数).

将直线AB的参数方程代入+y=1,

2

得t+

2

t-1=0,

则t1·t2=-,

∴|FA|·|FB|=|t1·t2|=.

方法3 与参数方程有关问题的求解方法

5.(2018四川成都七中一诊,22)已知曲线C:(α为参数)和定点A(0,),F1、F2是此曲线的左、右

焦点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线AF2的极坐标方程;

(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点,求|MF1|-|NF1|的值.

解析 (1)可化为+=1,表示椭圆,焦点为F1(-1,0)和F2(1,0).

经过A(0,)和F2(1,0)的直线方程为x+=1,即

ρcos θ+ρsin θ=

,

.

x+y-=0,

∴极坐标方程为

(2)由(1)知,直线AF2的斜率为-

因为l⊥AF2,所以l的斜率为, ∴l的倾斜角为30°,

20

∴l的参数方程为(t为参数),

2

将其代入椭圆C的直角坐标方程,整理得13t-12t-36=0.

∵M,N在点F1的两侧,∴|MF1|-|NF1|=|t1+t2|=.

21

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