物理练习册答案

大学物理2

大学物理（二）练习册 参考解答

第12章 真空中的静电场

一、选择题

1(A)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)， 二、填空题

(1). 电场强度和电势，E F/q0，Ua W/q0

0a

E dl(U0=0).

(2). q2 q4 / 0， q1、q2、q3、q4 ；

(3). 0， / (2 0) ； (4). R / (2 0) ； (5). 0 ； (6).

11 ； 4 0 rr0 q

(7). －2³10 V； (8).

3

q0q 11

4 0 rarb

(9). 0，pE sin ； (10). 8 24xy i 12x2 40y j (SI) ；

三、计算题

∞

1. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 ，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．

O A

B

解：在O点建立坐标系如图所示． 半无限长直线A∞在O点产生的场强：

i j  E1

4 0R半无限长直线B∞在O点产生的场强：

i j E2

4 0R四分之一圆弧段在O点产生的场强：

i j E3

4 0R由场强叠加原理，O点合场强为：

i j E E1 E2 E3

4 0R

∞

A

B

∞

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2. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100

N/C；在离地面1.5 km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C．

(1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；

(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面

-122-1-2

的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量 0＝8.85³10 C²N²m)

∴

解：(1) 设电荷的平均体密度为 ，取圆柱形高斯面如图(1)(

底面，底面 S平行地面)上下底面处的

场强分别为E1和E2，则通过高斯面的电场强度通量为：

E

²dS ＝E2 S-E1 S＝(E2-E1) S 高斯面S包围的电荷∑qi＝h S

由高斯定理(E2－E1) S＝h S / 0

1h

-13

3

0 E2 E1 ＝4.43³10 C/m 2

(2) 设地面面电荷密度为 ．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止 (1) 于地面，取高斯面如图(2) 由高斯定理

E

²dS =

1 q

i

-E S=

1

S

∴ =－ 0 E＝－8.9³10-10 C/m3

(2)

3. 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为 = 0sin ，式中 0为一常数， 为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．

解：在 处取电荷元，其电荷为dq = dl = 0Rsin d

它在O点产生的场强为dE dq

4 2

0sin d 0R4 0R在x、y轴上的二个分量

dEx=－dEcos ， dEy=－dEsin 对各分量分别求和

E 0

x sin cos d ＝0 4 0R 0 E 0

y

4 sin2

d

0

R

0

80R

∴ E E 0

xi Eyj

8 j 0R

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4. 一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为： = 0cos ，式中 为半径R与x轴所夹的角，

试求圆柱轴线上一点的场强．

解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为

= 0cos Rd ， 它在O点产生的场强为：

0

cos d dE

2 02 0R它沿x、y轴上的二个分量为： 02

dEx=－dEcos = cos d

2 0

0

sin cos d dEy=－dEsin =

2 0

积分：Ex

2

02 0

02

cos d ＝

2

0

2 0

Ey

02 0

sin d(sin ) 0

0

i ∴ E Exi 2 0

5. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为

qrπR

4

(r≤R) (q为一正的常量)

= 0 (r>R)

试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势．

解：(1) 在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 dq = dV = qr 4 r2dr/( R4) = 4qr3dr/R4 则球体所带的总电荷为 Q

1

qr R

4

V

dV 4q/R

44

4

r

rdr q

3

(2) 在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有

4 rE1

21

0

r1

4 rdr

2

qr1

0R

得 E1

qr1

2

4

4 0Rq4 0r2

2

(r1≤R)，E1方向沿半径向外．

2

在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有 4 r2E2 q/ 0

得

E2

(r2 >R)，E2方向沿半径向外．

(3) 球内电势

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U1

q

Rr1

E1 dr

qr1

3

R

E2 dr

R

qr

2

4

r1

4 0R

dr

q4 0r

2

R

dr

3 0R12 0R

4

3

r1 r1 R 4 3 12 0R R

q

球外电势 U2

R

r2

E2 dr

q4 0r

2

r2

dr

q4 0r2

r2 R

6. 如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密度分布为 ＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正的常量．求： (1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小；

(2) 平板内任一点P处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？

解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E．

作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示．

按高斯定理E dS q/ 0，即

S

2SE

1

0

b

Sdx

kS

0

b

xdx

kSb2 0

2

E得到 E = kb2 / (4 0) (板外两侧) (2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该处场强为E ，如图所示．按高斯定理有

E E S

kS

0

x

xdx

kSb2 0

2

2

k 2b x (0≤x≤b) 得到 E 2 0 2

(3) E =0，必须是x

2

b

2

2

0， 可得x b/2

7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为 ．如图所示，试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电势为零)．

解：将题中的电荷分布看作为面密度为 的大平面和面密度为－ 的圆盘叠加的 结果．选x轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为

σx

i E1

2 0x

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圆盘在该处的场强为

σx 11

i  222 0 xR x

σx

∴ E E1 E2 i

22

2 0R x

E2

该点电势为 U

2 0

xdxR x

2

2

x

2 0

R

R x

22

-4

8．一真空二极管，其主要构件是一个半径R1＝5³10 m的

圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2＝4.5³10-3 m的同轴圆筒形阳极B，如图所示．陽極電勢比陰極高300 V，

忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本

-19电荷e＝1.6³10 C)

解：与阴极同轴作半径为r (R1＜r＜R2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为 ．按高斯定理有 2 rE = / 0

得到 E= / (2 0r) (R1＜r＜R2) 方向沿半径指向轴线．两极之间电势差

B RdrR2

ln UA UB E dr AR2 0R12 0r

21

得到

2 0

U

B

U

A

ln R2/R1

， 所以 E

U

B

U

A

ln R2/R1 r

1

在阴极表面处电子受电场力的大小为

U UA1

F eE R1 eB

c R2/R1 R1 ＝4.37³10 N 方向沿半径指向阳极．

四 研讨题

1. 真空中点电荷q的静电场场强大小为 E

14

-14

qr

2

式中r为场点离点电荷的距离．当r→0时，E→∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？

参考解答：

点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r→0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用．

若仍用此式求场强E，其结论必然是错误的．当r→0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的E就有确定值．

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2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场．

参考解答：

证：在电场中作如图所示的扇形环路abcda．在ab和cd段场强方向与路径方向垂直．在bc和da段场强大小不相等（电力线疏密程度不同）而路径相等．因而

ac

E dl dE dl bE dl 0

按静电场环路定理应有E dl 0，

此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场．

3. 如果只知道电场中某点的场强，能否求出该点的电势？如果只知道电场中某点的电势，能否求出该点的场强？为什么？

参考解答：

零势点

E dl 由电势的定义： U

场点

式中E为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强，所以，如果只知道电场中某点的场

强，而不知道路径上各点的场强表达式，不能求出该点的电势。

由场强与电势的关系： E gradU

场中某点的电场强度是该点电势梯度的负值。如果只知道电场中某点的电势值，而不知道其表达式，就无法求出电势的空间变化率，也就不能求出该点的场强。

4. 从工厂的烟囱中冒出的滚滚浓烟中含有大量颗粒状粉尘，它们严重污染了环境，影响到作物的生长和人类的健康。静电除尘是被人们公认的高效可靠的除尘技术。先在实验室内模拟一下管式静电除尘器除尘的全过程，在模拟烟囱内，可以看到，有烟尘从“烟囱”上飘出。加上电源，烟囱上面的烟尘不见了。如果撤去电源，烟尘又出现在我们眼前。请考虑如何计算出实验室管式静电除尘器的工作电压，即当工作电压达到什么数量级时，可以实现良好的静电除尘效果。

参考解答：

先来看看静电除尘装置的结构：在烟囱的轴线上，悬置了一根导线，称之谓电晕线；在烟囱的四周设置了一个金属线圈，我们称它为集电极。直流高压电源的正极接在线圈上，负极接在电晕线上，如右上图所示。可以看出，接通电源以后，集电极与电晕线之间就建立了一个非均匀电场，电晕线周围电场最大。 改变直流高压电源的电压值，就可以改变电晕线周围的电场强度。当实际电场强度与空气的击穿电场3 103Vmm 1相近时空气发生电离，形成大量的正离子和自由电子。 自由电子随电场向正极飘移，在飘移的过程中和尘埃中的中性分子或颗粒发生碰撞，这些粉尘颗粒吸附电子以

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后就成了荷电粒子，这样就使原来中性的尘埃带上了负电。 在电场的作用下，这些带负电的尘埃颗粒继续向正极运动，并最后附着在集电极上。 （集电极可以是金属线圈，也可以是金属圆桶壁）当尘埃积聚到一定程度时，通过振动装置，尘埃颗粒就落入灰斗中。 这种结构也称管式静电除尘器。 如右中图所示。

对管式静电除尘器中的电压设置，我们可以等价于同轴电缆来计算。如右下图所示，ra与rb分别表示电晕极与集电极的半径，L及D分别表示圆筒高度及直径。一般L为3-5m，D为200-300mm，故L>>D，此时电晕线外的电场可以认为是无限长带电圆柱面的电

场。 设单位长度的圆柱面带电荷为 。 用静电场高斯定理求出距轴线任意距离r处点P的场强为：

E

2 0r

r 为沿径矢的单位矢量。 (1) 式中r

内外两极间电压U与电场强度E之关系为

U E dl

rarb

(2)，将式(1)代入式(2)， 2 0Ulnrbra

积分后得: , 故 E

Urln

rbra

.

由于电晕线附近的电场强度最大，使它达到空气电离的最大电场强度Em时，就可获得高压电源必须具备的电压

U Em raln

rbra

代入空气的击穿电场，并取一组实测参数如下：

Em 3 10V m

6

1

,r ra 0.5 10

2

m,rb 0.15m

,计算结果U 5.1 104V.

若施加电压U低于临界值，则没有击穿电流，实现不了除尘的目的。也就是说，在这样尺寸的除尘器中，通常当电压达到105V的数量级时，就可以实现良好的静电除尘效果。静电除尘器除了上述的管式结构外还有其它的结构形式，如板式结构等。可以参阅有关资料，仿上计算，也可以自行独立设计一种新型结构的静电除尘器。

第13章 静电场中的导体和电解质

一、选择题

1(D)，2(A)，3(C)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(B)，9(C)，10(B) 二、填空题

(1). 4.55³105 C ；

(2). (x，y，z)/ 0，与导体表面垂直朝外( > 0) 或 与导体表面垂直朝里( < 0). (3). r ，1， r ； (4). 1/ r ，1/ r ；

(5). ， 0 r )； (6).

q4 0R

；

(7). P ，－P ，0； (8) (1- r) / r ； (9). 452； (10). r ， r

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三、计算题

1.如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求：

(1) 球壳内外表面上的电荷．

(2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O点处的总电势．

解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+Q． (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的 距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为 U q

dq

4 0a

q4 0a

(3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点 产生的电势的代数和 UO Uq U q UQ q

q4 0r

q4 0a

Q q4 0b

q

4 0r

(

1

1a

1b

)

Q4 0b

2. 一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E0= 200 KV/cm．试求该电容器可能承受的最高电压． (自然对数的底e = 2.7183)

解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为 ，则电容器两极板之间的场强分布 为 E /(2 r) 设电容器内外两极板半径分别为r0，R，则极板间电压为

RR

R

ln U E dr dr 2 r2 r0rr

电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E0时电容器击穿，这时应有 2 r0E0，U r0E0ln适当选择r0的值，可使U有极大值，

即令dU/dr0 E0ln(R/r0) E0 0，得 r0 R/e，显然有

dUdr0

22

Rr0

< 0，

故当 r0 R/e 时电容器可承受最高的电压 Umax RE0/e = 147 kV.

3. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R1，外筒半径为R2 (R2＜2 R1)，其间充有相对介电常量分别为 r1和 r2＝ r1 / 2的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R．若两种介质的击穿电场强度相同，问：

(1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？

(2) 该电容器能承受多高的电压？

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解：(1) 设内、外筒单位长度带电荷为＋ 和－ ．两筒间电位移的大小为 D＝ / (2 r) 在两层介质中的场强大小分别为

E1 = / (2 0 r1r)， E2 = / (2 0 r2r) 在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即

E1M = / (2 0 r1R1)， E2M = / (2 0 r2R) 可得 E1M / E2M = r2R / ( r1R1) = R / (2R1)

已知 R1＜2 R1， 可见 E1M＜E2M，因此外层介质先击穿． (2) 当内筒上电量达到 M，使E2M＝EM时，即被击穿，

 M = 2 0 r2REM 此时．两筒间电压(即最高电压)为： U12

R

M2 0 r1r

R1

dr

R2

R

1R2 R1

ln lndr r2REM 2 0 r2rR1 r2R r1

M

4. 一空气平行板电容器，两极板面积均为S，板间距离为d (d远小于极板线度)，在两极板间平行地插入一面积也是S、厚度为t (<d)的金属片，如图所示. 试求：

(1) 电容C于多少？ (2) 金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？

解：设极板上分别带电荷+q和-q；金属片与A板距离为d1，与B板距离为d2；金属片与A板间场强为 E1 q/( 0S)

金属板与B板间场强为 E2 q/( 0S) 金属片内部场强为 E 0 则两极板间的电势差为

U

A

A

UB E1d1 E2d2

A

q

0S

(d1 d2)

q

0S

(d t)

由此得 C q/(U

UB) 0S/(d t)

因C值仅与d、t有关，与d1、d2无关，故金属片的安放位置对电容值无影响． 5. 如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是L，中间充满相对介电常量为 r的各向同性均匀电介质．内、外筒分别带有等量异号电荷+Q

和-Q．设 (b- a) << a，L >> b，可以忽略边缘效应，求：

(1) 圆柱形电容器的电容；

(2) 电容器贮存的能量．

解：由题给条件 (b a) a和L b，忽略边缘效应, 应用高斯定理可求出两 筒之间的场强为： E Q/(2 0 rLr)

b

两筒间的电势差 U

2

a

Qdr

Lr0r

Q2 0 rL

ln

ba

电容器的电容 C Q/U (2 0 rL)/[ln(b/a)]

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电容器贮存的能量 W

12

2

2

CU

[Q/(4 0 rL)]ln(b/a)

6. 如图所示，一平板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，+Q

其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为 1和 2．当电容器带电荷±Q时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为 1的介质板抽出，试求外力所作的功．

-Q

解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为

C2 1S2 2S

1 d ，C2 d

串联后的等效电容为 C 2 1 2S

d

1 2 2

带电荷±Q时，电容器的电场能量为 W

Q

2

Qd 1 2

2C

4

1 2S

2

将 1的介质板抽去后，电容器的能量为 W

Qd 0 2 4 0 2S

外力作功等于电势能增加，即 A W W W Q2

d 4S 11

0 1

7. 如图所示，将两极板间距离为d的平行板电容器垂直地插入到密度为 、相对介电常量为 r的液体电介质中．如维持两极板之间的电势差U不变，试求液体上升的高度h．

解：设极板宽度为L，液体未上升时的电容为 C0 = 0HL / d 液体上升到h高度时的电容为 C H h L0

d

0 hLr

1 h d

1 rC H 0

在U不变下，液体上升后极板上增加的电荷为

Q CU C0U 0 r 1 hLU/d 电源作功 2

A QU 0 r 1 hLU/d

液体上升后增加的电能 1 W1

2CU

2

12

12

C0U

2

0 2

r 1 hLU/d

液体上升后增加的重力势能 1 W2

2 2

L gdh

因 A = W 2

1+ W2，可解出

h

0 r 1 U

gd

2

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思考题1. 无限大均匀带电平面（面电荷密度为σ）两侧场强为E /(2 0)，而在静电平衡状态下，导体表面（该处表面面电荷密度为σ）附近场强为E / 0，为什么前者比后者小一半？

参考解答：

关键是题目中两个式中的σ不是一回事。下面为了讨论方便，我们把导体表面的面电荷密度改为σ′，其附近的场强则写为E / 0.

对于无限大均匀带电平面(面电荷密度为σ)，两侧场强为E /(2 0).这里的 σ 是指带电平面单位面积上所带的电荷。

对于静电平衡状态下的导体，其表面附近的场强为E / 0. 这里的 σ′是指带电导体表面某处单位面积上所带的电荷。

如果无限大均匀带电平面是一个静电平衡状态下的无限大均匀带电导体板，则σ是此导体板的单位面积上(包括导体板的两个表面)所带的电荷，而σ′仅是导体板的一个表面单位面积上所带的电荷。

在空间仅有此导体板（即导体板旁没有其他电荷和其他电场）的情形下，导体板的表面上电荷分布均匀，且有两表面上的面电荷密度相等。在此情况下两个面电荷密度间的关系为σ =2σ′。这样，题目中两个E式就统一了。

思考题2：由极性分子组成的液态电介质，其相对介电常量在温度升高时是增大还是减小？

参考解答：

由极性分子组成的电介质（极性电介质）放在外电场中时，极性分子的固有电矩将沿外电场的方向取向而使电介质极化。由于极性分子还有无规则热运动存在，这种取向不可能完全整齐。

当电介质的温度升高时，极性分子的无规则热运动更加剧烈，取向更加不整齐，极化的

效果更差。此情形下，电极化强度P

将会比温度升高前减小。

在电介质中的电场E不太强时，各向同性电介质的P和E间的关系为

P 0( r 1)E.

V

pi

很明显，在同样的电场下，当温度升高后，相对介电常量εr要减小。

思考题3：有一上下极板成θ角的非平行板电容器（长为a ,宽为b），其电容如何计算？

参考解答：

设一平行板电容器是由长为a ,宽为b 的两导体板构成,板间距为d ,则电容为

C0

ab

d

,若该电容器沿两极板的长度同一方向有d x的长度增

量,则电容为C

a(b dx)

d

C0

adx

d

, 在此基础上推广到

如图所示的电容器，可以认为是在C0的基础上,上极板沿与长度方向成θ角度连续增加到b,下极板沿长度方向连续增加到bcosθ

构成，把该电容器看成是由两个电容器并联时，该电容器的电容为

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bcos

C C0

adld ltan

C0

atan

ln

d bsin

d

即非平行板电容器的电容，

C

a

tan

ln

d bsin

d

思考题4：为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为 r的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A、B为平板电容器的导体极板，S为极板面积，d0为两极板间的距离。试说明检测原理，并推出直接测量电容C与间接测量厚度d 之间的函数关系。如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？

参考解答：

设极板带电q 0S，

两板电势差： U E无电介质(d0 d) E有电介质d

U

0 0q

(d0 d)

0 0 r

d

则 C

0 rsd r(d0 d)( r 1)C

U

r

d0

介质的厚度为：d

rd0C 0 rS 0 rS( r 1)C

r 1

实时地测量A、B间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度、通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度。

如果待测材料是金属导体，其A、B间等效电容与导体材料的厚度分别为：

C

0Sd0 d

， d d0

0S

C

.

第14章 稳恒电流的磁场 一、选择题

1(B)，2(D)，3(D)，4(B)，5(B)，6(D)，7(B)，8(C)，9(D)，10(A) 二、填空题

(1). 最大磁力矩，磁矩 ; (2). R2c ； (3). 0I/(4a)； (4).

0I

4 R

；

(5). 0i，沿轴线方向朝右. ； (6). 0rI/(2 R12)， 0 ; (7). 4 ; (8). mg/(lB) ； (9). aIB ; (10). 正，负

.

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三 计算题

1．一无限长圆柱形铜导体(磁导率 0)，半径为R，通有均匀分布的电流I．今取一矩形平面S (长为1 m，宽为2 R)，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．

解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r处的磁感强度的大小，由安培环路定

0I

律可得： B r(r R) 2

2 R

因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通 1为

1 B dS

R

1 m

BdS

2 R

0I

dr 2

0I

4

在圆形导体外，与导体中心轴线相距r处的磁感强度大小为

I

B 0(r R)

2 r

因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通 2为 2

B dS

2R

2 r

R

0I

dr

0I

2

ln2 ln2

穿过整个矩形平面的磁通量 1 2

0I

4

0I

2

2. 横截面为矩形的环形螺线管，圆环内外半径分别为R1和R2，芯子材料的磁导率为 ，导线总匝数为N，绕得很密，若线圈通电流I，求．

(1) 芯子中的B值和芯子截面的磁通量． (2) 在r < R1和r > R2处的B值．

解：(1) 在环内作半径为r的圆形回路, 由安培环路定理得

B 2 r NI， B NI/(2 r) 在r处取微小截面dS = bdr, 通过此小截面的磁通量

NI

bdr dΦ BdS

2 r

穿过截面的磁通量

Φ

S

BdS

NI

2 r

bdr

NIb2

ln

R2R1

(2) 同样在环外( r < R1 和r > R2 )作圆形回路, 由于 Ii 0 B 2 r 0

∴ B = 0

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3. 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A电流，在导线内部作一平面S，S的一个边是导线的中心轴线，另一边是S平面与导线表面的交线，如图所示．试计算通

过沿导线长度方向长为1m的一段S平面的磁通量．

-7

(真空的磁导率 0 =4 ³10 T²m/A，铜的相对磁导率 r≈1)

解：在距离导线中心轴线为x与x dx处，作一个单位长窄条， 其面积为 dS 1 dx．窄条处的磁感强度

r 0Ix B 2

2 R

Ix

所以通过dS的磁通量为 d BdS r02dx

2 R

通过１m长的一段S平面的磁通量为

R

x

r 0Ix

2

R

2

dx

r 0I

4

10

6

Wb

4. 计算如图所示的平面载流线圈在P点产生的磁感强度，设线圈中的电流强度为I．

解：如图，CD、AF在P点产生的 B = 0

B BAB BBC BDE BEF

2

P

BAB

0I

4 a

(sin 2 sin 1)， 方向

其中 sin 2 a/(2a) 1/∴ BAB

2，sin 1 0 0I

42 a

， 同理, BBC

0I

42 a

，方向 ．

同样

BDE BEF 0I/(82 a)，方向⊙． ∴ B

2 0I42 a

0I

42 a

2 0I8 a

方向 ．

5. 如图所示线框，铜线横截面积S = 2.0 mm2，其中OA和DO＇两段保持水平不动，ABCD段是边长为a的正方形的三边，它可绕OO＇轴无摩擦转动．整个 导线放在匀强磁场B中，已知铜的密度 = 8.9B的方向竖直向上． 33

³10 kg/m，当铜线中的电流I =10 A时，导线处于平衡状态，AB 段和CD段与竖直方向的夹角 =15°．求磁感强度B的大小．

解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO＇轴而言)． 重力矩 M1 2a gS

2

12

asin a gSasin

2Sa gsin

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磁力矩 M

2

BIa

2

sin(

12

) IaBcos

2

平衡时 M1 M2 所以 2Sa2 gsin Ia2Bcos B 2S gtg /I 9.35 10 3 T

6. 如图两共轴线圈，半径分别为R1、R2，电流为I1、I2．电流的方向相反，求轴线上相距中点O为x处的P点的磁感强度．

解：取x轴向右，那么有

B1 B2

0R1I1

2[R

1 (b x)]

2

2

3/2

2

沿x轴正方向 沿x轴负方向

0R2I2

2[R2 (b x)]

2

2

3/2

2

2

B B1 B2

0

2

[

0R1I1

[R (b x)]

21

2

3/2

0R2I2

[R (b x)]

22

2

3/2

2

]

若B > 0，则B方向为沿x轴正方向．若B < 0，则B的方向为沿x轴负方向．

7. 如图所示．一块半导体样品的体积为a³b³c．沿c方向有电流I，沿厚度a边方向加有

均匀外磁场B (B的方向和样品中电流密度方向垂直)．实验得出的数据为 a＝0.10 cm、b＝0.35 cm、c＝1.0 cm、I＝1.0 mA、B＝3.0³10-1 T，沿b边两侧的电势差U＝6.65 mV，上表面电势高．

(1) 问这半导体是p型(正电荷导电)还是n型(负电荷导电)？

差

(2) 求载流子浓度n0 (即单位体积内参加导电的带

电粒子数)．

解：(1) 根椐洛伦兹力公式：若为正电荷导电，则正电荷堆积在上表面，霍耳电场的方向由上指向下，故上表面电势高，可知是p型半导体。

(2) 由霍耳效应知，在磁场不太强时，霍耳电势差U与电流强度I，磁感强度B成正比，而与样品厚度a成反比，即：U K

IBa

而 K

IBaqU

1n0q

∴ 根椐题给条件，载流子浓度为： n0

2.82 10

20

m-3

四 研讨题

1. 将磁场的高斯定理与电场的高斯定理相比，两者有着本质上的区别。从类比的角度可作

何联想？

参考解答：

磁场的高斯定理与电场的高斯定理：

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B dS 0,s

D dS qs

作为类比，反映自然界中没有与电荷相对应“磁荷”（或叫单独的磁极）的存在。但是狄拉

克1931年在理论上指出，允许有磁单极子的存在，提出：

q qm

n2

式中q 是电荷、qm 是磁荷。电荷量子化已被实验证明了。然而迄今为止，人们还没有发现可以确定磁单极子存在可重复的直接实验证据。如果实验上找到了磁单极子，那么磁场的高斯定理以至整个电磁理论都将作重大修改。

1982年，美国斯坦福大学曾报告，用直径为5cm的超导线圈放入直径20cm的超导铅筒，由于迈斯纳效应屏蔽外磁场干扰，只有磁单极子进入才会引起磁通变化。运行151天，记录到一次磁通变化，但此结果未能重复。

据查阅科学出版社1994年出版的，由美国引力、宇宙学和宇宙线物理专门小组撰写的《90年代物理学》有关分册，目前已经用超导线圈，游离探测器和闪烁探测器来寻找磁单极子。在前一种情况，一个磁单极子通过线圈会感应出一个阶跃电流，它能被一个复杂装置探测出来，但这种方法的探测面积受到线圈大小的限制。游离探测器和闪烁探测器能做成大面积的，但对磁单极子不敏感。现在物理学家们仍坚持扩大对磁单极子的研究，建造闪烁体或正比计数器探测器，相应面积至少为1000m2。并建造较大的，面积为100m2量级的环状流强探测器，同时加强寻找陷落在陨石或磁铁矿中的磁单极子的工作。

2. 当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，平行于磁场方向的速度分量如何变

化？动能如何变化？垂直于磁场方向的速度分量如何变化？

参考解答：

当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，它所受到的磁场力有一个和前进方向相反的分量，这个分量将使平行于磁场方向的速度分量减小，甚至可使此速度分量减小到零，然后使粒子向相反方向运动（这就是磁镜的原理）。

当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，由于平行于磁场方向的速度分量减小，因而与这个速度分量相关的动能也减小。然而磁力对带电粒子是不做功的，粒子的总动能不会改变，因此，与垂直于磁场方向的速度分量相关的动能在此运动过程中将会增大，垂直于磁场方向的速度分量也相应地增大。

3. 电磁流量计是一种场效应型传感器,如图所示：截面矩形的非磁性管,其宽度为d、高度为h，管内有导电液体自左向右流动, 在垂直液面流动的方向加一指向纸面内的匀强磁场,当磁感应强度为B时,测得液体上表面的a与下表面的b两点间的电势差为U,求管内导电液体的流量。

参考解答：

导电液体自左向右在非磁性管道内流动时, 在洛仑兹力作用下, 其中的正离子积累于上表面,负离子积累于下表面, 于是在管道中又形成了从上到下方向的匀强霍尔电场E,它同匀强磁场B一起构成了速度选择器。因此在稳定平衡的条件下,对于以速度v匀速流动的导电液体, 无论是对其中的正离子还是负离子,都有

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qE q∴流速v

UBd

Ud

qvB

UhB.

,液体流量Q vhd

如果截面园形的非磁性管, B－磁感应强度；D－测量管内径；U－流量信号（电动势）；v－液体平均轴向流速, L测量电极之间距离。 霍尔电势Ue

Ue kBLv (1) k（无量纲）的常数， 在圆形管道中，体积流量是：

Q

D

4

2

v (2)

把方程(1)、(2) 合并得：液体流量 Q 或者Q K

UB

D

2

4kL

UB

，K校准系数，通常是靠湿式校准来得到。

第15章 磁介质的磁化 一、选择题

1(C)，2(B)，3(B)，4(C)，5(D) 二、填空题

(1). －8.88³10 ，抗 . (2). 铁磁质，顺磁质，抗磁质.

(3). 7.96³105 A/m， 2.42³102 A/m.

(4). 各磁畴的磁化方向的指向各不相同，杂乱无章.

全部磁畴的磁化方向的指向都转向外磁场方向. (5). 矫顽力大，剩磁也大；例如永久磁铁．

(6). 磁导率大，矫顽力小，磁滞损耗低． 变压器，交流电机的铁芯等．

三 计算题

1. 一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为 的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图．传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感强度大小B的分布．

解：由安培环路定理：

H dl

-6

I

2

i



2

0< r <R1区域： 2 rH Ir/R1 H

0IrIrB ， 22

2 R2 R11

R1< r <R2区域： 2 rH I

I I

H ， B

2 r

2 r

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R2< r <R3区域： 2 rH I H

I2 r

I(r R2)(R R)r R2R R(1

232

222

23

22

22

(1 )

2

222

B 0H

0I

2 r

r R2R R

23

)

r >R3区域： H = 0，B = 0

2. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和同轴的导体圆管(内、外半径分别为b，c)构成，使用时，电流I从一导体流出，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求∶导体圆柱内(r<a)和两导体之间(a<r<b)的磁场强度H的大小．

解∶由电流分布的轴对称性可知，在同一横截面上绕轴半径为r的圆周上各点的B值相等，其方向是沿圆周的切线方向．用H的环路定律可求出． (1) r<a H 2 r

I r a

22

∴ H

Ir2 aI2 r

2

(2) a<r<b H 2 r I， H

3. 螺绕环中心周长l = 10 cm，环上均匀密绕线圈N = 200匝，线圈中通有电流I = 0.1 A．管内充满相对磁导率 r = 4200的磁介质．求管内磁场强度和磁感强度的大小．

解： H nI NI/l 200 A/m B H 0 rH 1.06 T

4. 一铁环的中心线周长为0.3 m，横截面积为1.0³10-4 m2，在环上密绕300匝表面绝缘的导线，当导线通有电流3.2³10-2 A时，通过环的横截面的磁通量为2.0³10-6 Wb．求：

(1) 铁环内部的磁感强度； (2) 铁环内部的磁场强度； (3) 铁的磁化率； (4) 铁环的磁化强度．

2

解：(1) B

S

2 10

T

(2) n = 1000 m-1， H = nI0＝32 A/m (3) 相对磁导率 r

B

0H

497

∴ 磁化率 m = r­1 = 496

(4) 磁化强度 M = mH＝1.59³104 A/m

四 研讨题

1. 顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度，而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关，为什么？

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参考解答：

顺磁质的磁性主要来源于分子的固有磁矩沿外磁场方向的取向排列。当温度升高时，由于热运动的缘故，这些固有磁矩更易趋向混乱，而不易沿外磁场方向排列，使得顺磁质的磁性因磁导率明显地依赖于温度。

铁磁质的磁性主要来源于磁畴的磁矩方向沿外磁场方向的取向排列。当温度升高时，各磁畴的磁矩方向易趋向混乱而使铁磁质的磁性减小，因而铁磁质的磁导率会明显地依赖于温度。当铁磁质的温度超过居里点时，其磁性还会完全消失。

至于抗磁质，它的磁性来源于抗磁质分子在外磁场中所产生的与外磁场方向相反的感生磁矩，不存在磁矩的方向排列问题，因而抗磁质的磁性和分子的热运动情况无关，这就是抗磁质的磁导率几乎与温度无关的原因。

2. 在实际问题中用安培环路定理H dl

L

I

计算由铁磁质组成的闭合环路，在得出H

后，如何进一步求出对应的B值呢？

参考解答:

由于铁磁质的 r不是一个常数，因此不能用B = r 0H来进行计算，而是应当查阅手册中该铁磁材料的B－H曲线图，找出对应于计算值H的磁感强度B值．

3. 磁冷却。将顺磁样品（如硝酸镁）在低温下磁化，其固有磁矩沿磁场排列时要放出能量以热量的形式向周围环境排出。然后在绝热的情况下撤去外磁场，这样样品温度就要降低，实验中可降低到10K。试解释为什么样品绝热退磁时会降温。

参考解答：

磁冷却的原理和过程可以分几步说明如下：

(1) 把顺磁样品放入低温环境中（如温度1K的He气，He气又和周围的液He维持1K下的热平衡）。

(2) 加外磁场（磁感强度约1T），使顺磁样品等温磁化，顺磁质的固有磁矩在外磁场的作用下会排列起来。在此过程中，外界对磁场做功，顺磁质的内能增加；同时样品放出热量，被周围的He气吸收，整个系统仍维持1K的温度不变。

(3) 迅速抽出样品周围的He气，使样品处于绝热隔离状态。

(4) 去掉外磁场，顺磁质的磁场又趋于混乱。此过程中，样品对外做功，内能减少，样品温度下降。一般情况下，样品的温度可以将到10-6K 。

4. 高压容器在工业和民用领域都有着非常广泛的应用，如锅炉、储气罐、家用煤气坛等。由于高压容器长期的使用、运行,局部区域受到腐蚀、磨损或机械损害,从而会形成潜在的威胁. 因此世界各国对于高压容器的运行都制定了严格的在役无损检测标准,以确保高压容器的安全运行。请根据所学的知识,探索一种利用铁磁材料实现无损探伤的方法。

参考解答:

目前无损检测一般采用的方法有磁粉探伤、超声波探伤和X 射线探伤等方法。磁粉探伤依据的是介质表面磁场分布的不连续性,可采用磁粉显示;超声波和X 射线探伤利用了波动在介质分界面反射的现象. 这些方法有的仪器结构复杂、操作繁琐,有的数据处理麻烦、价格较高,对于家用容器的检测就更为不方便.

根据LC振荡电路的磁回路特性,一旦介质内部出现裂纹,将会引起磁导率的突变,从而使回路的电磁参数发生变化.

将这一结果用于铁磁

-6

大学物理2

材料表面和内部伤痕、裂纹的检测中,其检测方法原理简单,操作方便,检测灵敏度高。 LC磁回路测量原理：

磁回路的基本模型如图所示。A是带线圈的磁芯， M是待检测的材料，如容器壁。磁回路最基本的规律是安培环路定理:

LH dl Ii.

假定整个回路采用高导磁率材料组成,而且回路中绕有N匝线圈,线圈中电流为I ,若同一种材料中的磁场强度相同,则环路定理就可以写成：

NI Hili

Bili

0 i

式中Hi总是沿l i方向。当回路中第i段的截面积为S i时, BiS i = i ,由于环路内各处截面的磁通都相同, i= .于是有：

NI Hili

上式中令：NI m,

则

mRm

dIdt

Bili

0 i

ili 0 iSi

li

0 iSi

li

0 iSi

Rm 分别为磁回路的磁动势和磁阻，

(1)

另一方面,根据磁回路中的自感电动势定义： L

dN dt

，由式(1)得到：L N

d dI

N

2

dIRmdI

N

2

Rm

.

假定由该回路与电容C 组成LC振荡电路, 电路的振荡频率f 为： f

12

1LC

Rm2

CN

(2)

由式(2)可见, 在回路几何参数一定的情况下, 振荡频率由回路中的磁导率决定. 在磁回路图中,假定由容器壁M与带线圈的磁芯A组成回路,若维持几何参数不变,只要容器壁是均匀的,那么不同地方的回路振荡频率便相同. 在材料内部一旦出现气泡、裂纹, 则在其边界部位磁导率出现较大变化, 振荡频率就会出现跳变. 据此就可以探测到材料表面和内部的伤痕、裂纹.

第16章 电磁场

一、选择题

1(A)，2(A)，3(C)，4(C)，5(D)，6(D)，7(C)，8(B)，9(D)，10(A) 二、填空题

(1). NbBdx/dt NbB Acos (t /2) 或 NBbA sin t. (2). BnR2, O . (3). 相同(或1B R2), 沿曲线由中心向外.

2

(4). 小于, 有关. (5). 0 (6). 0I2/(8 2a2). (7). 9.6 J. (8).

S

D dS 或 d D/dt , t

S

B dS 或 d m/dt. t

(9). 垂直纸面向里. 垂直OP连线向下.

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(10).

r 0E0

RC

2

e

t/RC

, 相反

三 计算题

1. 如图所示，有一弯成 角的金属架COD放在磁场中，磁感强

度B的方向垂直于金属架COD所在平面．一导体杆MN垂直于

v与MN垂直．OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，设

t =0时，x = 0．求下列两情形，框架内的感应电动势 i．

(1) 磁场分布均匀，且B不随时间改变． (2) 非均匀的时变磁场B Kxcos t．

解：(1) 由法拉第电磁感应定律： B

12xy

y tg x x vt

d(1

Btg x)

2

N

i d /dt

12

dt2

Btg 2xdx/dt Btg vt

v

2

在导体MN内 i方向由M向N．

(2) 对于非均匀时变磁场 B Kxcos t 取回路绕行的正向为O→N→M→O，则 dΦ BdS B d tg

d B tg d K cos ttg d

2

O

x

d

i =

K

2

cos ttg d

3

13

Kx

3

cos ttg

dΦdt

3

13

K xsin ttg Kxvcos ttg 1

3

2

2

t) Kvtg ( tsin t tcos

3

i >0，则 i方向与所设绕行正向一致， i <0，则 i方向与所设绕行正向相反．

2. 如图所示，一电荷线密度为 的长直带电线(与一正方形线圈共面并与其一对边平行)以变速率v =v(t)沿着其长度方向运动，正方形线圈中的总电阻为R，求t时刻方形线圈中感应电流i(t)的大小(不计线圈自身的自感)．

解：长直带电线运动相当于电流I v(t) ． 正方形线圈内的磁通量可如下求出

dΦ 0 Iadx

2

a x

a

Φ

0

2

a

Ia

dx

0Ia ln2 a x2

i

adI dv(t)dΦ 0ln2 0 aln2

dt2 dt2 dt

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fwrj.html