练习册大学物理（一）答案

大学物理（一）练习册 参考解答

第1章 质点运动学

一、选择题

1(D)，2(D)，3(B)，4(D)，5(D)，6(D)，7(D)，8(D )，9(B)，10(B)， 二、填空题

(1). A?2sin?t ，(2). 8 m，10 m. (3). 23 m/s.

(4). 16Rt2 4 rad /s ?

，

1?2n?1??? (n = 0,1,… ), 2

2

(5). 4t3-3t2 (rad/s)，12t2-6t (m/s2). (6).

13ct，2ct，c2t4/R. 3(7). 2.24 m/s2，104o

??(8). 50(?sin5ti?co5stj)m/s，0，圆.

(9). h1v /(h1?h2) (10). v1?v2?v3?0

三、计算题

1. 有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t2 – 2 t3 (SI) ．试求：

(1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．

解：(1) v??x/?t??0.5 m/s

(2) v = d x/d t = 9t - 6t2, v(2) =-6 m/s. (3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m.

2. 一质点沿x轴运动，其加速度为a ? 4t (SI)，已知t ? 0时，质点位于x ??10 m处，初速度v??? 0．试求其位置和时间的关系式．

解： a?dv /dt?4t ， dv ?4t dt

????v0dv??4tdt v = 2t2

0t v?dx /d t?2t2

?xx0dx??2t2dt

0t x?2 t3 /3+x0 (SI)

3. 质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为 a＝2＋6 x2 (SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．

1

解：设质点在x处的速度为v，

a?vdvdvdx???2?6x2 dtdxdt vdv?0???2?6x?dx

203xv?2x?x2

4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a??ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式．

??1dvdvdydv ??vdtdydtdy又 a??ky ∴ -ky?v dv / dy

1212 ??kydy??vdv , ?ky?v?C

221212已知 y?y0 ，v?v0 则 C??v0?ky0

22解： a?22 v2?v0?k(y0?y2)

5. 一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为S?bt?12ct 其中2b、c是大于零的常量，求从t?0开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．

解： v?dS/dt?b?ct at?dv/dt?c an??b?ct?/R

2根据题意： at = an 即 c??b?ct?/R

2解得 t?Rb? cc 6. 如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2 m的圆轨道转动．转动的角速度?与时间t的函数关系为??kt (k为常量)．已知t?2s时，质点P的速度值为32 m/s．试求t?1s时，质点P的速度与加速度的大小．

解：根据已知条件确定常量k

2P O R k?ω/t2?v/Rt2?4rad/s2

2

?? ??4t, v?R??4Rt

t?1s时， v = 4Rt2 = 8 m/s

at?dv/dt?8Rt?16m/s2 an?v2/R?32m/s2

22 a?at?an22??1/2?35.8 m/s2

y

7. (1)对于在xy平面内，以原点O为圆心作匀速圆周运动的质点，试用半径r、角速度?和单位矢量i、j表示其t时刻的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0, x = r, 角速度?如图所示；

(2)由(1)导出速度 v与加速度 a的矢量表示式； (3)试证加速度指向圆心．

?????j r ? O i ??(x,y) x ?????解：(1) r?x i?y j?rcos?t i?rsin?t j

????dr??r?sin?t i?r?cos?t j (2) v?dt????dv??r?2cos?t i?r?2sin?t j a?dt????2 (3) a????rcos?t i?rsin?t j????2 r

???这说明 a与 r方向相反，即a指向圆心

8. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．

解：设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知：

vFE =60 km/h 正西方向 vAF =180 km/h 方向未知

vAE 大小未知， 正北方向

北???由相对速度关系有： vAE?vAF?vFE ????vFEvAE、 vAF、vEE构成直角三角形，可得 ?西vAE??2?2??vvAE??vAF???vFE??170 km/ h

vAF?v???tg?1?vFE/vAE??19.4?

?v （飞机应取向北偏东19.4?的航向）．

3

四 研讨题

? ?1. 在下列各图中质点M作曲线运动，指出哪些运动是不 a?0 v M 可能的？ ?v (1) ?

a ?参考解答： v ?a (1)、(3)、(4)是不可能的．

?M v (1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；

(3) (3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心；

(4) 曲线运动法向加速度不可能为零.

2. 设质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)在计算质点的速度和加速度时：

222M ?a M (2) (4)

drdr第一种方法是，先求出r?x?y，然后根据 v?及 a?2而求得结果；

dtdt第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

dx2dy2d2x2d2y2 v?()?()和 a?(2)?(2).

dtdtdtdt你认为两种方法中哪种方法正确？

参考解答：

第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义，

??d?dx?dy??drv??(xi?yj)?i?j

dtdtdtdt?ddx?dy?d2x?d2y??dva??(i?j)?2i?2j

dtdtdtdtdtdtdxdy所以 v?()2?()2， a?dtdtd2x2d2y2(2)?(2). dtdt第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性

??0dr0dr?drd0??r?0为r方向的单位矢量）?)?r （r， v??(r?rdtdtdtdt??0?0drdrd2r?dvd2r0??2?a??2r?r.

dtdtdtdtdt2?0dr?? 问题的关键：dt??0didr?0,如果在第一种方法的讨论中，?0,那么 在第二种方法中，dtdt??0dr0drdr0?drd0??r?)??,则v?dr也成立！ r v?=??(r?rrdtdtdtdtdtdt?0dr?0必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据?0,则r注意：若

dt?0大质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)，质点作平面曲线运动，如图所示，r小不变，但方向改变！

?0dr?0,即第一种方法是错误的！ 所以dt

4

?0???drdi?0?i（显然i是大小与方向均不随时间改变的常矢量）??0,只有在直线运动中，rdtdtdrd2r速度的大小才等于.对加速度的大小a?也可以用同样方法加以讨论.

dt2dt

第2章 质点力学的运动定律 守恒定律

一、选择题

1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(B)，12(A)，13(D)

二、填空题

(1). ?2=12rad/s，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 N2s

??(5). 2t3i?2tj (SI)

3(6). 16 N2s， 176 J (7). 16 N2s ，176 J (8). l0k/M，

Ml0k

M?nmM(9). 63.2 N

(10). (2 m，6 m)； (-4 m，2 m)和(6 m，8 m)； 2 m和6 m. 三、计算题

1. 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即f??k/x2，k是比例常数．设质点在 x=A时的速度为零，求质点在x=A /4处的速度的大小．

解：根据牛顿第二定律

kdvdvdxdv?m?m??mv 2dtdxdtdxxvA/4dxk∴ vdv??k,vdv??dx 22??mx0Amx12k413k v?(?)?2mAAmA∴ v?6k/(mA)

f??

2. 质量为m的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：

(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度．

解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv，由牛顿定律

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