湖南大学大学物理（一）练习册答案

湖南大学大学物理（一）练习册 参考解答

第1章 质点运动学

一、选择题

1(D)，2(D)，3(B)，4(D)，5(D)，6(D)，7(D)，8(D )，9(B)，10(B)， 二、填空题

(1). A?2sin?t ，(2). 8 m，10 m. (3). 23 m/s.

(4). 16Rt2 ，4 rad /s2 ?

(5). 4t3-3t2 (rad/s)，12t2-6t (m/s2). (6).

13ct，2ct，ct/R.

2

o

312?2n?1??? (n = 0,1,… ),

24

(7). 2.24 m/s，104

??(8). 50(?sin5ti?cos5tj)m/s，0，圆. (9). h1v /(h1?h2) (10). v1?v2?v3?0 三、计算题

1. 有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t2 – 2 t3 (SI) ．试求：

(1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度；

(3) 第2秒内的路程．

解：(1) v??x/?t??0.5 m/s

(2) v = d x/d t = 9t - 6t2, v(2) =-6 m/s. (3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m.

2. 一质点沿x轴运动，其加速度为a ? 4t (SI)，已知t ? 0时，质点位于x ??10 m处，初速度v??? 0．试求其位置和时间的关系式．

解： a?dv /dt?4t ， dv ?4t dt

????v0dv??t04tdt v = 2t

2

2

v?dx /d t?2t

?xx0dx??t02tdt

2 x?2 t3 /3+x0 (SI)

2

3. 质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为 a＝2＋6 x(SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．

1

解：设质点在x处的速度为v，

a?vdvdt?xdvdx?dxdt2?2?6x

2 ?vdv?0??2?6x?dx

01 v?2?x?x3?2

4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a??ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式．

解： a?dvdtdydtdy又 a??ky ∴ -ky?v dv / dy

?dvdy?vdv

?221212已知 y?y0 ，v?v0 则 C??v0?ky0

22?kydy??vdv , ?1ky2?1v2?C

v

2?v0?k(y0?y)

2225. 一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为S?bt?12ct 其中

2b、c是大于零的常量，求从t?0开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．

解： v?dS/dt?b?ct at?dv/dt?c an??b?ct?/R

2根据题意： at = an 即 c??b?ct?/R

2解得 t?

Rc?bc

6. 如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2 m的圆轨道转动．转动的角P O 2速度?与时间t的函数关系为??kt (k为常量)．已知t?2s时，质点P的

R 速度值为32 m/s．试求t?1s时，质点P的速度与加速度的大小．

解：根据已知条件确定常量k

k?ω/t2 ?v/Rt?2??4rad/s2

2

??4t2, v?R??4Rt22

t?1s时， v = 4Rt= 8 m/s

at?dv/dt?8Rt?16m/s2 an?v2/R?32m/s2

2 a??at2?an?1/2

?35.8 m/s

y 2

7. (1)对于在xy平面内，以原点O为圆心作匀速圆周运动的质点，试

??用半径r、角速度?和单位矢量i、j表示其t时刻的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0, x = r, 角速度?如图所示；

(2)由(1)导出速度 v与加速度 a的矢量表示式； (3)试证加速度指向圆心．

?????j O r (x,y) x ?i ?????解：(1) r?x i?y j?rcos?t i?rsin?t j

???dr???r?sin?t i?r?cos?t j (2) v?dt???dv?22??r?cos?t i?r?sin?t j a?dt????2 (3) a????rcos?t i?rsin?t j????2 r

???这说明 a与 r方向相反，即a指向圆心

8. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．

解：设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知：

vFE =60 km/h 正西方向 vAF =180 km/h 方向未知

vAE 大小未知， 正北方向

???北由相对速度关系有： vAE?vAF?vFE

????vFEvAE、 vAF、vEE构成直角三角形，可得 ??vAE???vAF?1?2???vFE西?2?170 km/h

vAE??tg?vFE/vAE??19.4?

?v?v??vAF?v（飞机应取向北偏东19.4?的航向）．

3

四 研讨题

1. 在下列各图中质点M作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？

参考解答：

(1)、(3)、(4)是不可能的．

(1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；

?? a?0 v M M (1) v v (3) v ?? a ? a ?(2) M ? a ?M (3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心； (4) 曲线运动法向加速度不可能为零.

2. 设质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)在计算质点的速度和加速度时： 第一种方法是，先求出r?x?y22(4)

，然后根据 v?drdt及 a?drdt22而求得结果；

第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v?(dxdt)?(2dydt)和 a?2(dxdt22)?(2dydt22)2.

你认为两种方法中哪种方法正确？

参考解答：

第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义，

???drddx?v??(xi?yj)?dtdtdt?dvddx?dy??a??(i?j)?dtdtdtdt(dxdt)?(2?dy?i?j

dt22dx?dy?i?j 22dtdt所以 v?dydt2)， a?(dxdt22)?(2dydt22).

2第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性

??0d?drdr0dr0?)???r?0为r方向的单位矢量）v??(r?r （r， rdtdtdtdt?220?0?dr0drdrdr?dv??2a??r??r. 22dtdtdtdtdt问题的关键：

?dr0dt??

在第二种方法中，

?didt?0,如果在第一种方法的讨论中，

?0drdt?0,那么

??0ddr0?drdr0drdr0?)??,则v???r?(r?rrr v?=?也成立！

dtdtdtdtdtdt注意：若

?dr0dt?必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据?0,则r0?0大质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)，质点作平面曲线运动，如图所示，r小不变，但方向改变！

所以

?dr0dt?0,即第一种方法是错误的！

4

?0???drdi?0?i（显然i是大小与方向均不随时间改变的常矢量）只有在直线运动中，r??0,dtdt速度的大小才等于

drdt.对加速度的大小a?drdt22也可以用同样方法加以讨论.

第2章 质点力学的运动定律 守恒定律

一、选择题

1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(B)，12(A)，13(D) 二、填空题

(1). ?2=12rad/s，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 N2s

??(5). 2t3i?2tj (SI)

3(6). 16 N2s， 176 J (7). 16 N2s ，176 J (8). l0k/M，

Ml0M?nmkM

(9). 63.2 N

(10). (2 m，6 m)； (-4 m，2 m)和(6 m，8 m)； 2 m和6 m. 三、计算题

1. 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即f??k/x2，k是比例常数．设质点在 x=A时的速度为零，求质点在x=A /4处的速度的大小．

解：根据牛顿第二定律 f??kx2?mdvdt2?mvdvdx?dxdtA/4?mvdvdx

∴ vdv??k

12v2dxmx?km,(4?vdv??0?Akmx2dx

A?1A)?3mAk

∴ v?6k/(mA)

2. 质量为m的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：

(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度．

解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv，由牛顿定律

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