小学数学六年级培优竞赛教程 2 - 图文

目 录

（上册） （下册） 1、分数的巧算 1、比和比例 2、估算 2、立体图形

3、定义新运算 3、行程问题（二） 4、分数和百分数应用题 4、最大和最小（二） 5、工程应用题 5、钟面问题 6、平面图形 6、染色和覆盖 7、列方程解应用题（二） 7、方程组 8、容斥原理 8、不定方程

分数的巧算

1．1 分数、小数的四则混合运算 [同步巩固演练]

4716??）=___________. 792111111111)?___2、（?)?(?)?(?)?(?244881616321、63×（13、（全国小学数学奥林匹克竞赛试题）0.01992÷0.004×

.

1?___________. 20002004?(3.4?6.9?3.5)?______________.

3.5?69?3.45?6?7?8?9?10?11?12?13?145、

10?11?12?13?144、

6、在（ ）中填上适当的数，使等式成立：1－

11111111111????????=23×（+++） 234561415????????7、41.2×8.1+11×9[能力拓展平台]

1?537?0.19?_________. 43?1.1) 101?2?3?4?5?6?7?6?5?4?3?2?12、计算：

7777?777711113、计算：1－?????

24851211111114、计算：（1+)?(1?)?(1?)???(1?)?(1?)?(1?)??(1?)

246103591121231234129???) 5、计算：?(?)?(??)?(???)???(?23344455551010101、计算：3.41×9.9×0.38÷(0.19×3

n个2002???????2002?20022002?200220022002???2002?20026、计算：

2003?20032003?200320032003???2003?2003???????n个20037、如果12+22+32+?+n2=

(2n?1)(n?1)n，那么152+162+?+212得多少？

6１

1．2 分数数列的计算 [同步巩固演练]

1111????________________. 1?22?33?44?5111111????______________. 2、??26122030421111????______________. 3、

4?77?1010?1313?162221????________________. 4、

11?1313?1515?17171111???20?_________________. 5、1?2?326124201111????_________________. 6、

1?2?32?3?43?4?54?5?611111????_________________. 7、（第三届华杯赛试题）?315356399111111????____________. 8、（第二届希望杯试题） ??26122030421、

[能力拓展平台]

222222???????. 1?22?33?44?598?9999?10011111?2?3?4???98. 2、计算：1

1?22?33?44?598?991、计算：

3、（全国小学数学奥林匹克竞赛题）

(1?11111111111111??)?(???)?(1????)?(??) 234234523452344、（第三届祖冲之杯数学邀请赛试题）

1+

111???? 1?21?2?31?2???105、（第八届希望杯全数学邀请赛试题） 计算：（

1111111111????)(1????)?(1????)(????) 23199721996219972319966、（北京市第四届小学生迎春杯数学竞赛初赛试题） 和式

234??+?

1?(1?2)(1?2)?(1?2?3)(1?2?3)?(1?2?3?4)+

100，计算化简后得到一个最简分数，求分母与分子之差.

(1?2?3???99)?(1?2???100)[全讲综合训练] 一、填空题

17?_______________. 86153?3.6?6.15?3)?_____________. 2、?(4.85?41850.5?236?59?________________. 3、

1191、85×

２

1?131?_________________. 1301111115、（111+??)?(??)?_______________.

6454563555?)?_____________. 6、（26?20)??7979796?976?795?___________________. 7、

796?976?1801111??????________________. 8、

1?22?33?449?504、132二、选择题。 1、如果12+[

21?0.75?(?□)?3]?0.3?98，方框代表的数是（ ）. 52A、9 B、8 C、10 2、满足下式的n最小等于（ ）。

19491111?????＞ 1?22?33?4n?(n?1)1998A、1949 B、1998 C、40 3、若 1－

1300?a?，则a等于（ ） 17?7?13577A、

7 B、7 C、357 357三、解答题

1234??? 22?32?3?42?3?4?5111) 2、计算：1000×（1－)?(1?)???(1?231000111111)?(1?) 3、计算：（1+)?(1?)?(1?)?(1?)???(1?223399991?2?3?2?4?6???100?200?3004、化简：

2?3?4?4?6?8???200?300?40011111??????5、计算：

1?2?32?3?43?4?517?18?1918?19?202222?????6、

1?2?32?3?43?4?528?29?301、计算：

22426282102122?????7、计算： 1?33?55?77?99?1111?138、有9个分数的和 1，它们的分子都是1。其中的5个是5，请写出这4个分数。

11111、、、、，其余4个数的分母个位数都是3791133

３

分数的巧算参考答案

1．1 分数、小数的四则混合运算[同步巩固演练]

1171611111111??） =99+49－48 =100 2、1原式=??????? =1

323279212448816163224912492004?(3.5?69?6.9?3.5)3、原式=4.98×= 4、2004原式==2004

10000020001000003.5?69?3.4995?6?7?8?9?1=15、1原式=

14314310?11?12?13?1411116、120，126，130，132因为23=8+15=9+14=10+13=11+12，又因为1－???，

24881、100 原式=63×（

1111111111?11??11????,??,??,而???????3612125101071414?815??914?+

?11?????1013?+

111??11??1???????23???，所以（ ）内分别填上120、126、130、132

1112120126130132????7、537.5原式 =41.2×8.1+11×9

11+41.2×1.9+12.5×1.9 =41.2×8.1+41.2×1.9+12.5×1.9+11×9 44 =41.2×(8.1+1.9)+1.25×19+11×1.25+11×8=412+1.25×(19+11)+88=500+37.5=537.5 [能力拓展平台]

3.41?9.9?0.38=3.1×3×2=18.6

0.19?3.3?1.1117?711?2、原式 == 3、

12343215127777?77771111?1111123432125357112483254769811111????=(?)?(?)?(?)?(?)?=1×1×1×1×=1 4、1原式=?????63246103592345678910101012002111115、18原式 =?1?1?2?2?3?3?4?4=22 6、

220032222221?(21?1)?(42?1)14?(14?1)?(28?1)?7、2296原式 =（12+22+?+212）－（12+22+?+142） ==2296

661、18.6 原式 =

1.2分数数列的计算 [同步巩固演练]

4616111111 2、原式 =1－??????? =1－ = 57772223671201111111111311????)?=?= 4、5、2103、原式 =（???

112116477101013131631631671111117???????6、 原式 = =

151?22?32?33?44?55?61599111111????7、 原式 = =8、

2271?33?55?77?99?11221、

[能力拓展平台]

4999491111198?2=1?)?2=原式 =（1－????? 2、4851

501005099223991001111111113、设a=1+??,b???.则a－b=1.原式=a?(b?)?(a?)?b

5234234551991112221????=a?b??a?a?b??b=?(a?b)= 4、1原式 =1+ =2×（1－)=1

511115552?33?410?11111、1

４

111111111?a,1?????b则 原式 =（a?)?b?(b?)?a 设 ????1997234199621996199719971111?b?a?b?a??(b?a)? =a?b? = 19971997199719971111111??????6、 1 原式 =?=1－

11?21?21?2?31?2???991?2???1001?2???1005、

=1－

150492 =1－=分子与分母的差为 1

50505050100?(100?1)[全讲综合训练]一、填空题。

1、16

6969117171原式 =（86－1）×=17－ =16 2、 9原式 =?[(4.85?6.15)?3.6?3.6]=?36=9 868648686460118?5959603、 58原式 = =（119－1）× = 58

119119119119111111311)?)?4、 1原式 =（132+ =(131+=1+=1

130130130130131130131111111?1=181 5、 181设???a,则原式?（111+a）÷a=a64555??37]??5?5? =37 6、 37原式=[（?7979494911111?7、 1 8、 原式 =1－????? =

50502234950二、选择题1、 B 2、C 3、A 三、解答题

11911191111111????? 原式 =? =1－=

12012012021?22?31?2?32?3?41?2?3?42?3?4?5123998999?2、 1原式 =1000×?????=1

2349991000314210098100?=3、 50原式 =?????? =50

22339999211?2?314、原式 ==

42?3?44189111111??1 =（1?1)?1=189 ???????5、 原式 =（

7601?22?32?33?418?1919?2021?219?20276021711111111217????????6、原式 = =?

4351?22?32?33?428?2929?30287043561111111116?1???1?)? = 6 7、 6原式 =1 =（1×6）+（1－?????131?33?511?133351113213111111111202?)?8、、、、 1－（???

515453853791133693202110101317????(1?). 因为所求4个分数的分母个位数都是5，所以分母一定含有因数5。

693569356931、

693=3×3×7×11，231、77、9这3个数都是693的约数，317=231+77+9。所以

317231?77?911120211111111????,??(1???)????. 693693397769353977515453851111所求的4个分数为、、、。

51545385

５

估算

[同步巩固演练]

1、（安徽省小学数学竞赛试题）

19.96×2.549积的整数部分是__________________. 2、A=33331÷33334， B=22220÷22223。试比较 A、B的大小 ：A___________B。 3、（美国小学数学奥林匹克竞赛试题）

487000?12027300?9621001?487000的值最接近_________________。

19367?0.05714、找两个连续自然数，使比其中一个数大，比另一个数小。这两个连续自然数分别是___________和

17______________。

5、在下面的□里填入两个整数，使下面的式子成立。 □＜1+

111????＜□ 231019，则这四个自然数两两乘积之和是___________。 206、四个连续自然数的倒数之和为

7、有24个偶数的平均数，如果保留一位小数的得数是15.9，那么保留两位小数的得数是____________。 [能力拓展平台]

1、从1到2006年的自然数中，完全平方数一共有多少个？

2、a和b是两个连续自然数，且a、b满足下列不等式，试确定a、b之和。

111????)?5＜b 11122010101010?2?3???11,求A的整数部分。 3、A=1100101102110a＜（

4、有一长3米的线段，第一次把这条线段三等分后去掉中间一部分，第二次再把剩下的两线段中的每一段

都三等分后去掉中间一部分，第三次再把剩下的所有线段的每一段都三等分后去掉中间一部分，继续这一过程，这样至少连续多少次后，才使剩下的所有线段的长度的和小于0.4米？

5、已知=S=

11111?????1980198119821997,那么S的整数部分是多少？

6、李老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数1、2、3??，后来擦掉其中一个，剩下数的平均数

是10.8，擦掉的这个自然数是几？

[全讲综合训练]

1、（第七届《小学生报》数学竞赛决赛试题） 31.719×1.2798的整数部分是_______________。 2、若A=

11111????,则A的整数部分是______________。 345673、（福建省小火炬杯数学竞赛邀请赛试题）

两个带小数相乘，乘积四舍五入以后是60.0，这两个数都只是一位小数，两个数的整数部分都是7，这两个

小数的乘积四舍五入以前是__________________。 4、（全国小奥赛试题）

计算12345678910111213÷31211101987654321，它的小数点后前三位数字是_______.

5、数学考试成绩公布后，小兰计算了全班51人的平均成绩（得数保留三位小数），小兰的结果是71.295

分，老师说最后一位数学错了，其他数字都对。正确答案应该是多少？

6、（南京市兴趣杯少年数学邀请赛试题）

６

50个1998连乘积???????????A=1998?1998???1998，A的各位数字和是B，B的各位数字和是C，C的各位数字之和是D，求D。

7、（香港小学数学精英赛试题）

下面的除法中，不同的汉字代表不同的数字，问“明天更美好”代表的五位数是什么？

8、（江西省八一杯数学竞赛试题） 设S=

11111?????1985198619871992,求S的整数部分。

9、数

222????写成小数时的前两位小数是多少？ 333???????10个2310、（第八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）

某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.8元，当超过4吨时，超过部分每吨3.00

元。某月甲、乙两户共交水费26.40元，用水量之比为5：3。问甲、乙两户各应交水费多少元？

11、（全国小奥赛试题） 所有适合不等式

n207＜＜的自然数n之和是多少？

718512、如图所示，方格表包括A行B列（横向为行，纵向为列），其中依次填写了自然数1至A×B，现知

20在第3行，41在第5行，103在最后一行，试求A和B。 1 B+1 ? （A-1）B+1 2 B+2 ? ? 3 B+3 ? ? ? ? ? ? B-1 2B-1 ? AB-1 B 2B ? AB 13、从若干个连续自然数1，2，3，?中去掉三个后，剩下的数的平均数是19

两个质数，这两个质数的和最大是多少？

14、设S=1+

７

8，如果去掉的三个数中有91111?????，试证明6＜S＜10 2310221023估算参考答案

[同步巩固演练]

1、 50原式≈20×2.5=50

222203333313,它的倒数是1；B=，它的倒数是1；倒数越大的数，自身越小，所以A＞B。

22223222203333433331713?4＜5 5、② ③ 6、119 3、10000000000 4、4和5 4＜1717111119???. 设这四个连续自然数分别为a，a+1，a+2，a+3。则?aa?1a?2a?320191111411114????所以＜???=，a＜4。易知a=1，2，4均不合题意，a=3，这四个

aa20aa?1a?2a?3aaa192、A=

自然数为3，4，5，6，其两两乘积之和为：3×4+3×5+3×6+4×5+4×6+5×6=119

7、 15.92 设这24个偶数之和为S，由S＞15.85×24=380.4和S＜15.95×24=382.8，以及S是偶数，推知S=382，所求数为382÷24≈15.92 [能力拓展平台]

1、 44 442=1936, 452=2025>2006,所以从1~2006的自然数中，完全平方数有44个。

2、7 观察括号里的分数发现：分子都是1，且分母中的和有11+20=12+19=13+18=14+17=15+16=31，因为

113111311131??,????,且11?20?12?19??<15×16，则……112011?20121912?19151615?161313131313111????,可先放大：得（???+）×

2011?2012?1913?1814?1715?1611121131233111111??5?5=3.再缩小得：?5?5?3?（????5<）×5，即：34811?204415?164811122011123111???????（）×5<3。3<（?）×5<4。 a =3, b=4, a+b=7 11122044111220101013、67 A>1＋2＋3＋??＋11＋×11=67 A<1＋2＋3＋??＋11＋×11=67 A的整数部分是67

1101001024、5 这一过程每进行一次,剩下所有线段的和等于上次剩下的.

3222216222232 3×???=>0.4, 3×???=<0.4,所以至少进行5次.

333327333381199719805、110 ＜s＜，s的整数部分是110。6、15 擦掉的数是（1+2+?+21）-10.8×20 =231-216=15

1818

[全讲综合训练]

1、40设x=31.719×1.2798则x<32×1.28=32×(1.25+0.03), x<40.96 又x>32×1.25+32×0.02－0.3×2, x>40所以40

1152×5

试.7.9×7.6=60.04,刚好符合条件.

12345678910111213 ①因为将分母扩大,分数的值变小,将分母减

31211101987654321123456789101112131234567891011121312345678910111213小,分数的值变大,所以<< ②

3122000000000000031211101987654321312100000000000004、395 将上面的除式写成分式

８

题目所求的是小数点的前三位数字,我们只需计算到小数点后第四位就可以了.②式中前面的分式值只要计算1234.5678÷3122≈0.3954(只取小数点后的前四位,被除数8以后的数字不起作用);后面的分式值只要计算1234.5678÷3121≈0.3955那么,分数①的值在0.3954至0.3955之间,小数点后的前三位是395.

5、71.294 71.294×51=3636.045≈3636 3636÷51≈71.294

6、D=9先估计A的位数,因为1998<10000,而50个10000连乘,共有4×50+1=201(位)所以A的位数不会超过201位,且每位上的数字不超过9,于是9×201=1809由于B<1809,则B最多是四位数,且首位不超过1,从而C不超过1+9+9+9=28因此推知:它最多是二位数,且首位不超过2,则D<2+9=11

又A是9倍数,所以B、C、D是9的倍数,且D≠0,得D=9. 7、71928由世界×8<300,得世界<38.由世界×9>299得,世界>33. 又34×1998=67932,数字3重复; 35×1998=69930,数字3、9重复; 36×1998=71928,符合题意; 37×1998=73926,数字3、7重复 8、249

19851992

11121112329210?0.01,又5×注意到2=32>27=3,所以3>2,9>6,所以10>6×=5=>

32?3961002223335

3

241281210122111?0.02 。故数写成小数时的前两位小数是0。2=80<81=3，所以4?,8?.所以10??2???353253253252504

4

01。

10、甲17．70元，乙8.70元

53x.若x≤4,则(x+x)×1.80=26.40,解得x≈9.16,与x≤4矛盾,不合53333题意.若x>4,且x<4,则可得方程:4×1.80+(x-4)×3.00+x×1.80=26.40,解得x≈7.69>4,但x≈4.61不小于

555334,所以也不合意.若x>4,且x>4,则可得方程4×1.80+(x-4)×3.00+(x -4)×3.00+4×1.80=26.40。解得x≈7.5,

553且x≈4.5>4,符合题意.甲户应交水费(7.5-4)×3.00+4×1.80=17.70元;乙户应交水费:26.40-17.7=8.70元. 5 设甲户用水量为x,则乙户用水量为11、104

把不等式各项乘以5.由

7n207?520?5??可得:?n? 1857187172?n?14因n为自数,所以n的取值范围是2—14的所有自然数。 187(2?14)?132+3+??+14==104

2112、A=12，B=9

2111≤B<10，8≤B<10，故8≤B <10，因此，B=9。 355444由103在最后一后，得9（A-1）<103≤9A，所以，11≤A<12，故A=12

99依题意，得2B<20≤3B，4B<41≤5B，所以613、60

因为1—39的平均数是20,所以剩下数的个数应不大于39,又因剩下数的个数应为9的倍数,而不大于39的9

９

的倍数是大是36,即剩下36个数,原有36+3=39个数.

1+2+3+??+39=780

198×36=716 9780-716=64

去掉的三个数之各为64,且它们都小于39,因此两个质数的和最大为37+23=60. 14、提示:从

1起,将式中的加数按2个,4个,8个,16个,??512个分为9组. 2111???2=1 23211111?????4=1 456741111???+??8=1

15889????

1111??????512=1 5125131023512即S<1+1×9=10 再分组缩小:

11711???? 3412212111111?????4? 56788211111??????8? 91016162??

111111111 ????????512???5135141023102410241024102421024 即S>1+

111111??9???6???6 22121024121024所以6

１０

定义新运算

[同步巩固演练]

1、 a*b表示a的3倍减去b的

7*（2*1）

-b=2、定义新运算为a○

11,例如：1*2=1×3－2×=2，根据以上的规定，计算：①②①10*6 ②22a?1， b-（3○-4） ①求2○

-4=1.35,则x=？ ②若x○

P?Q，求3*（6*8） 2ab4、规定“*”为一种运算，它满足a*b=,求，1992*（1992*1992）

a?b5、现定义两种运算“?”和“?”，对于任意两个整数a、b 规定：

3、设P，Q表示两个数，且P*Q=

a?b=a+b-1,

a?b=a×b-1,

那么4?[（6?8）?（3?5）]等于多少？ 6、定义运算“*”,对于任何数a和b,有a和b,有a*b=（1） 计算1996*1998，1998*1996； （2） 计算1997*7*1，1997*（7*1）； （3） 运算“*”有交换律吗？ （4） 运算“*”有结合律吗？

7、对任意整数 a,b,规定a△b=2a+b,若有a△2a△3a△4a△5a△6a△7a△8a△9a=3039,求整数a. 8、规定运算a*b=

a?b2?4比如，当a=2，b=4时，2*4==3 2234387a-b,求算式*（*）的值. 45244211+.已知：2*1=，求1998*1999的值.

3xy(x?1)(y?A)9、“*”表示一种运算符号，它的含义是：x*y=[能力拓展平台]

1、 假设一种运算符号“*”，x*y表示把x和y加起来被4除，即x*y=（x+y）÷4.

（1） 求13*17的值； （2） 求2*（3*5）的值； （3） 求a*16=10中a的值.

2、 设a*b表示a的3倍减去b的2倍即a*b=3a-2b.

（1） 计算：（

543*）*； 3541b，即：a*b=3a－22,根据以上的规定，10*6应等于多 少？

（2） 已知x*（4*1）=7,求x. 3、 a*b表示a的3倍减去b的

4、 如果2△3=2+3+4=9,5△4=5+6+7+8=26,按此规则计算.（1）7△4;（2）1△x=15;（3）x△3=12.

5、 我们规定：符号。表示选择两数中较大数的运算，例如：5。3=3。5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，

１１

1723)?(0.625?)2633 例如：5△3=3△5=3，计算：.34237(0.3?)?(?2.25)99106(0.6?.[全讲综合训练]

1、 规定a☆b=4a－3b＋5,问：

（1） 2☆3与3☆2相等吗？

（2） “☆”有交换律吗？ （3） “☆”有结合律吗？ 2、 规定x*y=

Ax?y且5*6=6*5，计算（3*2）×（1*10）。 xyab . a?b3、 定义一种运算“∧”，对于任何两个正数 a和b,a∧b=

（1） 证明运算“∧”具有结合律，即：（a∧b）∧c=a∧（b∧ c） （2） 计算2∧4∧8∧16∧16； （3） 计算16∧2∧8∧16 ∧4。

4、 定义两种运算“?”、“?”,对于任意两个整数a、b,a?b=a+b－1,a?b=a×b－1,

（1） 计算4? [（6? 8）? （3? 5）]的值；

（2） 若x ? （X? 4）=30，求X的值。

5、 设a∧b=[a,b]＋(a,b),其中[a,b]表示a与b的最小公倍数，（a,b）表示a与b的最小公约数。（1）求14∧4；

（2）已知6∧X=33，求x 。

6、 若x与y同奇或同偶，且x ?y=(x+1)×(y-1),则x ?y是奇数时，x与 y的乘积是奇还是偶？ 7、 规定a△b=1＋

11?11?bayx?x?y,则2△(4△3)是多少？

8、 规定x△y=x＋

yx?,求1△1。

yx?yx9、 规定a□b=

b1b+,且1□1=1，求10□5 aa(A?1)210、 11、 12、

2a?b,现已知3△5=5△3，那么8△8是多少？

a?2b?A11设P*Q=5P+4Q，当X*9=91时，求*（x*）的值。

54规定a△b=

÷b.比如：5○÷2=1，3○÷18=0。 对于两个自然数a和b（a≠b）,较大的数除以较小的数，余数记为 a○

÷2000，17○÷119； （1） 求1998○

÷x=2，且x为两位数，求x； （2） 已知13○

÷x）○÷19=5，且x<50,求x。 （3） 已知（19○

13，M,N表示自然数，PM,PN分别表示M.N的各位数字之和。M△N表示M除以N所得的余数。已知M，N之和是4084，求（PM+PN）△9的值是多少？ 14．定义一种运算法则：

１２

1, 1?a1a?2=,

11?1?a1a?3=,?

11?11?1?aa?1=a?n=

11?11?

?

111?1?a}

n条分数线

给出下面两个命题： （1） 2?1999<3?1999, （2） 2?2000<3?2000, 试判定哪一个命题正确。

15、对于平面上两个点M和N，定义M△N为M与N的中点。已知ABCD为边长是4的正方形，求： （1） 以A△B、B△C、C△D、D△A为顶点的四边形面积；

（2） 以A△（A△B），C△（C△B），C△（C△D），A△（A△D）为顶点的四边形面积。

１３

定义新运算参考答案

[同步巩固演练] 1、（1`）27 （2）18.25

1=30-3=27. 21② 7*(2*1)=7*(2×3-1×)

2① 10*6=10×3-6×

=7*5.5

=7×3-5.5×

2.(1)3 (2)4.4

-4)=2○-①2 (3○

1 2=18.25.

3?1 4-1 =2○

=

2?1 1 =3.

x?1x?1,所以有=1.35,解出x=4.4. 44483?243.36 3*(6*8)=3*=3*24==36

221992?19921992?9962.664 1992*(1992*1992)=1992*=1992*996==664

1992?19921992?996-4=②按照规定的计算：x○

１４

3.103 4?[(6?8) ?(3?5)]

=4?[(6+8-1) ?(3×5-1)] =4?26 =4×26-1 =103

114.(1)1997 (2)501,1000 (3)有 （4）没有

221996?19981998?1996（1）1996*1998==1997 1998*1996==1997

221997?7（2）1997*7*1=*1=1002*1

21002?11==501

227?11997*（7*1）=1997*=1997*4

211997?4 ==1000。

22（3）虽然由（1），对于1996和1998，有：1996*1998=1998*1996

但要说明：“*”有交换律，需要证明对任何数 a.b，都有a*b=b*a.对于任意两个数a,b a*b=

a?bb?aa?b,b*a==所以a*b=b*a. 222所以a*b=b*a.所以“*”有交换律。

（4）由（2），（1997*7）*1≠1997*(7*1)所以“*”不满足结合律。 5．3 因为

a△2a=2a+2a=4a.4a△3a=8a+3a=11a,11a△4a=22a+4a=26a,26a△5a=52a+5a=57a,57a△

6a=114a+6a=120a,120a△7a=240a+7a=247a,247a△8a=494a+8a=502a.502a△9a=1004a+9a=1013a,所以1013a=3039,a=3.

209 20038733847313341209*(*)?*(???)?*????? 244244542104251020017、

19980006、

因为

112??,A?1 23?(1?A)3111??

1998?19991999?20001998000所以1998*1999=

[能力拓展平台]

1、(1) 7.5 (2) 1 (3) 24

(1) 13*17=(13+17)÷4=7.5

(2) 2*(3*5)=2*[(3+5)÷4]=(2+2)÷4=1 (3) a*b=(a+16)÷4=10 a=24 2、(1) 87 (2) 9 10１５

(1)(

5435431737*)*?(3??2?)*??3?2??8 3543545410 (2)x*(4*1)=x*(3×4-2×1)=x*10=3x-20=7,x=9 3、 27

10*6=3×10-

6=27 24、(1) 34 (2) 5 (3) 3

7△4=7+8+9+10=34 1△x=1??2???15,x=5 ??????x个连续数 x△3=x+x+1+x+2=12 3x=9 x=3 5、

12

1723)?(0.625?)2633的值,我们先看分子: 要计算.34237(0.3?)?(?2.25)99106.172173434342??????; 0.6 ?263265152513235231151151155?????? 0. 625?338331841651848.341343334331??????； 再看分母:0.3 ?9939999999932372512525251?2.25?2?2?2?2?2?2. 10610641061001004.172325(0.6?)?(0.625?)?2633?38?1. 因此.34237112(0.3?)?(?2.25)?29910634(0.6?.

[全讲综合训练]

1、(1)不相等 (2)无交换律 (3)无结合律

(1) 2☆3=2×4-3×3+5=4,3☆2=4×3-3×2+5=11 (2) 由2☆3≠3☆2知,无交换律

(3) 因为a☆b☆c=(4a-3b+5)☆c=4(4a-3b+5)-3c+5=16a-12b-3c+25,而a☆(b☆c)=a☆

(4b-3c+5)=4a-3(4b-3c+5)+5=4a-12b+9c-10,所以无结合律.

2、

11 12 因为x*y=

Ax?y，又5*6=6*5， xy1?3?21?1?1011? ×

3?21?1012１６

所以A=1。

（3*2）×（1*10）=

3、 (1)满足 (2) 1 (3) 1

(1) 因为(a∧b)a∧c=

ab∧c a?bababc?ca?b=a?b ?abab?bc?ac?ca?ba?babc= ab?bc?acbc又因为a∧(b∧c)=a∧

b?cbcabca?b?c?b?c= bcabca?b?cab?bc?acabc= ab?bc?ac所以(a∧b)∧c=a∧(b∧c).

故此,运算“∧”满足结合律。 （2）2∧4∧8∧16∧16

=2∧4∧8∧（16∧16）（有机结合律） =2∧4∧8∧8 =2∧4∧（8∧8） =2∧4∧4 =2∧（4∧4） =2∧2 =1

（3）容易说明“∧”具有交换律，所以

16∧2∧8∧16∧4

=16∧16∧2∧8∧4（利用交换律和给合律） =16∧16∧8∧2∧4 =16∧16∧8∧4∧2 =1

4、（1）75 （2）64

(1).4?[(6?8) ?(3?5) =4?[(6+8-1) ?(3+5-1)] =4?[13?7] =4?(13+7-1) =4?19 =4×19-1 =75

(2) 因为x?(x?4)=x?(4x-1) =x+4x-1-1 =5x-2

所以有5x-2=30,解出x=6.4.

5、(1) 30 (2) 15

14∧4=28+2=30

[6,x]+(6,x)=33,而(6,x)只能是1,2,3,6.所以[6,x]只能是32,31,30,27.这其中只有30是6的倍数,故有[6,x]=30,(6,x)=3

１７

所以6x=3×30,x=15. 6、偶数

因为(x+1)×(y-1)是奇数,即xy+y-x-1 是奇数,而y-x-1中,当x,y是偶数时,x-y-1是奇数,所以xy是偶数,当x,y同是奇数时,y-x-1是奇数,xy是偶数. 7、120 31 2△(4△3)=2△(1+

11?11?34)=2△

1820=1 11318、1

5 8 1△=1+

11?1?1?1111?11=1+

11?1?111?12?1?1?111?23?1?11?153=1

5 89、

3 4因为1□1=?111?1,所以A=1

11?(A?1)2553??。 1010?(1?1)4因此10□5=

10、

3 42?3?51?

3?2?5?A13?A2?5?37?5△3=

5?2?3?A11?A3△5=

因为3△5=5△3

4017?，得A=

313?A11?A2?8?83?。 因此8△8=

4048?2?8?3所以

11、225

根据规定，P*Q=5P+4Q，

所以X*9=5X+4×9且X*9=91

即5X+4×9=91，5X=55，X=11

111111*(x*)?*(11*)?*(5?11?4?)?225 545454÷2000=2，17÷（1） 1998○○119=0；

１８

12、（1）2、0 （2）11、15、28、41、54、67、80、93 （3）5、7、14、24、43、

（2） 分情况讨论：

（a） 若x ＜13,则x除以13的余数为2，即x=13·m+2,取m=1,2，?，7，有x为15，28，41，54，67，80，

93，

（b） 若x＜13,则13除以X的余数为2，即13=X·m+2，取m=1，有X为11。

所以，答案为11，15，28，41，54，67，80，93。

÷”的定义，有（19○÷X）÷X）○÷19=5，有19÷（3） 根据“○，又由已知（19○○X=5，以下解题方法同（2），经讨论，

有X值为5，7，14，24，43。

13．7

14、命题（2）正确

2?1=

111111?,3?1??,所以2?1?3?1.又2?2???3?2,由定义可知：a?（n+1）

111?231?341?1?34=

1

1?a?n2?3?11??3?3, 1?2?21?3?2即2?3?3?3, 2?4?依此类推，可知：

当n为奇数时，有2?n＞3?n; 当n为偶数时，有2?n＜3?n.

所以，命题（2）正确。 15、（1）8 （2）6

（1） 如图1，记AB、BC、CD、DA、中点分别为E、F、G、H、则A△B=E，B△C=F，D△A=H，依题意，需

求四边形EFGH的面积，由图知，四边形EFGH（实际上是正方形的面积为ABCD面积的一半，所以所求为4×4×

11??3?4,

1?2?31?3?31?8. 2（2） 如图2，A△（A△B）=A△E=A与E的中点，记之为Q，C△（C△B）=C△F=C△F的中点，记之为R，

以下类似，有C△（C△D）=S，A△（A△D）=T。

图1 图2

依题意,需求四边形QRST的面积,我们把正方形ABCD画出网格,很容易数出QRST的面积为6.

１９

分数.百分数应用题

[同步巩固演练]

1、修路队修一条路，第一天修了全长的

11，第二天修了余下的，还剩150米没有修，这条路全长 米。 332、（北京市第二届小学生迎新春数学竞赛初赛试题）

某校选派360名学生参加夏令营，结果发现男生占40%，为了使男生占50%，又增派了一批男生，问被增派的男生有多少名？

3、小强借来一本120页的故事书，已经看了两天 ，其中第二天看了全书的从第几页看起？

4、有两个粮库，甲库有粮食4500包，取出

1，比第一天多看了5页，第三天应该41放入乙粮库后，结果两粮库粮食一样多，原来乙粮库有多少包粮食？ 55、（上海市第七届小学六年级数学竞赛预赛试题）

有甲，乙两家商店，如果甲店的利润增加20%，乙店的利润减少10%，那么这两店的利润就相同，原来甲店的利润是原来乙店的利润的百分之几？ 6、（北京市第七届迎春杯数学竞赛初赛试题）

某种商品4月份比3月份售价增加了20%，而5月份比4月份售价减少了20%，那么，5月份比3月份的售价是增加？降低？还是持平？

２０

7、 浓度为95%酒精600克稀释成浓度为75%的消毒酒精，需要加入多少克蒸馏水？

[能力拓展平台]

1、甲、乙两个筑路队共有360人，甲队人数调出相等，甲队原来有多少人？乙队原来有多少人？

2、（北京市第二届中小学生迎新春数学竞赛初赛试题）

东乡去年春季植树450棵，成活率为80%，去年秋季植树的成活率为90%，已知去年春季比秋季多死了18棵，这个乡去年一共种活了多少棵树？

3、（河北省第三届小学数学竞赛决赛第一试试题） 把一堆皮球分装在四个盒子 里，其中

11给乙队后，因工作需要，乙队又调出给甲队，这时两队人数5411放入甲盒，放入乙盒，放入丙盒的皮球是甲、乙两盒皮球总数的75%，5311加2本，再剩下的书，丁借走了加1本，最后34丁盒放入10个皮球，这堆皮球一共有多少个？

4、甲有若干本书，乙借走了一半加3本，剩下的书，丙借走了甲还有2本书，问甲原来有多少本书？

5、一列快车从甲城开往乙城需要10小时，一列慢车从乙城开往甲城需要15小时，两车同时从两城出发，相向而行，相遇时距离两城中点60千米。求甲、乙两城相距多少千米？ 6、甲、乙两班共84人，甲班人数的

53与乙班人数的共有58人，问两班各多少人？ 847、某商店花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果，已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9.60元、16元、18元。如果把这三种糖果混合成什锦糖，按20%的利润定价，那么这种什锦糖果每千克定价多少元？ [全讲综合训练]

1、 有一个分数，它的分母比分子多4。如果把分子、分母都加上9，得到的分数约分后是2、 一种商品的价格先向上浮动

7，这个分数是___________。 911，又向下浮动，这种商品的现价是原价的_____________分之____________。 10101153、 果品店有苹果和梨两种水果，梨占两种水果总数的，卖了2吨梨和2吨苹果后，梨占两种水果总数的，

2813水果店原有两种水果共_________吨。

4、 甲、乙、丙三辆汽车运一批粮食，甲车运全部粮食的

丙车运，这批粮食有__________千克。 5、 甲、乙两数是自然数，如果甲数的

1311，甲车运的与乙车运的相等，剩下的5200千克由351551恰好是乙数的，那么甲、乙两数之和的最小值是__________. 64

11后，又提价，最后的价格是8元1角一个，那么最初是___________元钱一个。 4517、小萍今年的年龄是妈妈的,二年前母子年龄相差24岁,四年后小萍的年龄是________.

36、商店的书包降价

8、有甲、乙两个同样的杯子,甲杯中有半杯清水,乙杯中盛满了含50%的酒精的溶液.先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯,搅匀后,再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯,问这时乙杯中的酒精是溶液的_____分之_________. 9、有红、黄、绿三种球，红球的

11是绿球的，红球比黄球多50%，绿球的一半是20个，求黄球有多少个？ 355，如果从乙班调3人到甲班，甲班人数就是乙班人数的710、（第四届《小学生数学报》数学竞赛决赛试题）

某校六年级有甲、乙两个班，甲班同学人数是乙班的

２１

4，甲、乙两班原来各有学生多少人？ 511、（第三届《小学生数学报》数学竞赛初赛试题）

小明三天看完一本故事书，第一天看了全书的

11还少4页，第二天看了全书的还多14页，第三天看了9043页，这本故事书一共多少页？

12、开明出版社出版某种书，今年每册书的成本比去年增加10%，但是仍保持原售价，因此每本盈利下降了40%，

但今年的发行册数比去年增加80%，那么今年发行这种书获得的总盈利比去年增加的百分数是 多少？ 13、有A、B、C三根管子，A管以每秒4克的流量流出含盐20%的盐水，B管以每秒6克的流量流出含盐15%的

盐水，C管以每秒10克的流量流出水，C管打开后开始开始2秒不流，接着流5秒，然后又停2秒，再流5秒??三管同时打开，1分钟后都关上，这时得到的混合液中含盐百分之几？ 14、（全国小奥赛试题）

有两包糖，每包糖内都有奶糖、水果糖和巧克力糖。

（1） 第一包的粒数是第二包粒数的

2； 3（2） 第一包糖中奶糖占25%，第二包中水果糖占50%；

（3） 巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍，当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么水果糖占百分之几？

15、（第三届华杯赛初赛试题）

一个矩形分成四个不同的三角形，绿色的三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米，问：矩形的面积是多少平方厘米？

16、（江西省第二届八一杯小学数学竞赛决赛试题）

汽车上有男乘客45人，若女乘客人数减少10%，恰好与男乘客人数的

3相等，汽车上女乘客有多少人？ 517、（第七届《小学生数学报》数学竞赛初赛试题）

一只空水缸，早晨放满了水，白天用去其中的20%，傍晚又用去29升，这时，水缸中的水比半缸多1升，问，问：早上放入水缸多少升水？

18、一个有弹性的球从A点落下到地面，弹起到B点后又落下到高20厘米的平台上，再弹起到C点，最后落到地面（如图），每次弹起的高度都是落下高度的80%，已知A点离地面比C点离地面高出68厘米，那么C点离地面的高度是多少厘米？

19、甲瓶中盐水的浓度 是70%，乙瓶中盐水的浓度是60%，两瓶盐水混合后的浓度是66%，如果两瓶盐水各用去5升后再混合后的浓度为66.25%。原来甲、乙两瓶盐水分别有多少升？

20、A、B、C、三个试管中分别盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中，现在C 中盐水浓度是1%。最早倒入A中的盐水浓度是多少？

21、（全国小奥赛试题）

２２

有一位精明的老板对某种商品用下列办法来确定售价：设商品件数是N，那么N件商品售价（单位：元）按 每件成本×（1+20%）×N

算出后，凑成5的整数倍（只增不减）。按这一定价方法得到：1件50元；2件95；3件140；4件185；??。如果每件成本是整元，那么这一商品每件成本是________元。

分数、百分数应用题参考答案

[同步巩固演练] 1、337．5米 150÷[1－

1114?(1?)?]?150??337.5(米) 3339２３

2、72名

选派360名学生中，有男生 360×40%=144（名） 其余的是女生，女生有 360－144=216（名） 女生比男生多

216－144=72（名）

因此，只要增派72名男生，就可使男生占全体人数的50%。 3、66页 120－120×4、2700包 4500－4500×5、75%

6、设3月份售价是1， 则4月份售价是1+0.2。

5月份售价是（1+0.2）(1-0.2)=1.2×0.8=0.96. 5月份与3月份比，售价降低了。 7、160克

分析：此题用方程解思路比较简单，可设需要加入X克蒸馏水，则稀释前的酒精含量是600×95%，稀释后的酒精含量是（600+x）×75%，因为前后酒精的含量应相等。所以有600×95%=（600+x）×75%。解得x=160。 [能力拓展平台]

1、 150人，210人。设甲队原来有X人，乙队原来有（360-X）人，x?所以甲队原有150人，乙队原有210人。 2、 1008棵

要求这个乡去年一共种活了多少棵树，只要分别求出春季和秋季分别种活了多少棵树，春季种活的树可直接求出，只要求得秋季种活的树数，或者求得秋季共种的树数，问题就解决了。 春季植树共种活的树数是

450（1－20%）=360（棵） 春季植树共死了90棵

秋季植树共死了90－18=72（棵）

已知秋季植树的成活率是90%，去年秋季共植树 72÷（1－90%）=720（棵） 从而求得去年一共种活的树数是

450×85%+720×90%=360+648=1008（棵） 3、 150个

10÷[1－4、 24本

丙借走后剩下：（1+2）÷（1－)?4(本),乙借走后剩下：（4+2）÷（1-）=9（本），甲原来有（9+3）÷（1-=24（本）。 5、 600千米

两车相遇需要

11?(120??5)?1?66(页) 441?2?2700(包) 5451131(360?x?x)?(360?x?x),x?150.454511111??(?)?75%]?10??150 53531514131）21÷（

11?)小时，快车比慢车每小时多走1015２４

111111?,相遇时快车比慢车多走(?)?[1?(?)],与60?2?120千米相对应,101510151015

1111所以甲.乙两城相距60?2?{(?)?[1?(?)]}?600(千米).101510156、 40人，44人

设甲班原有X人，则乙班有（84－X）人，依题意有，7、16．20元

设题中“同样多的钱”为

X

元，则什锦糖每千克定价为

3X÷

53x?(84?x)??58.解之得X=40，84－X=44（人） 8426??)?120%?3?(??)?120%?3???16.20(元).（9.61618 9.6161895[全能综合训练] 1、

xxx1115 9 后来的分母为4÷(1?)?18,故原来分母为18?9?9,.原来分子为9-4=5，原分数为2、99795。 9100

3、56吨

设水果店原有两种水果共X吨，则有

115x??(x?4)?2 28 13x?56.4、13200（千克） 5200÷（1-5、13

甲数是乙数的

11311???)?13200(千克) 33515153313??,甲乙两数之和是乙数的1??,要使甲乙两数之和最小，乙只能是10，从而46101010甲数是3，和是13。 6、9元

81÷（1+)?(1?)?9(元) 7、 16岁

24÷（1－)?4?24?16(岁) 8、3

1514138 50%×9、 16个

111?50%???3

82221=40（个） 2２５

绿球：20÷

红球：40×

11??24(个) 53黄球：24÷（1+50%）=16（个） 10、

108（人）

3÷（11、

451?)?3??108(人) 5?45?73611?) 34240（页） （90+14-4）÷（1－=100÷

5 12=240（页） 12、

8%

假设每册书成本为4元，售价5元，每册盈利1元，而现在成本为4×（1+10%）=4.4元，售价仍为5元，每

册盈利0.6元,比原来每册盈利下降了40%,但今年发行册数比去年增加80%,若去年发行100册,则今年发行100×(1+80%)=180册.

原来盈利1×100=100(元),现在盈利0.6×180=108(元).故今年获得的总盈利比去年增加了(108－100)÷100=8%. 13、

10%

因60÷（5+2）=8?4，故C管流水时间为5×8+2=42（秒），从而混合液中含盐百分数为

(40?20%?6?15%)?60?100%?10%

(4?6)?60?10?4214、

44%

第二包糖的粒数是第一包糖粒数的

31，巧克力在第二包糖中所占的百分比是在第一包糖中所占百分比的，22313因此巧克力在第二包糖中的粒数是在第一包糖中粒数的??，

2243这样，巧克力在第一包糖中的粒数占两包糖的总粒数28%÷（1+）=16%，巧克力在第一包糖中所占百分比

43是16%×（1+）=40%。现在已能算出，水果糖在第一包糖中的百分比是1-25%-40%=35%。当两包糖合在一起时，

2235%??50%?13水 果糖在其中所占百分比是=44% 2?1315、

60平方厘米

21÷（50%-15%）=60（平方厘米）

16、30（人）

男乘客的

33是45×=27（人） 553相等，这就是说，女乘客的90%恰好是27人，所以女乘客的人数是27÷5女乘客减少10%，恰好与男乘客的（1-10%）=30（人） 17、100（升）

２６

画示意图可知，30升水相当于一缸水的几分之几是可算的，50%-20%=30% 因此一缸水共有30÷（50%-20%）=100（升）

18、132

[68+20×（1-80%）]÷（1-80%×80%）-68=132（厘米） 19、30升，20升

甲、乙两瓶盐水原来的体积比是：（66%-60%）：（70%-66%）=6：4=3：2，各用去5升后的体积比是：

（66.25%-60%）：(70%-66.25%)=6.25:3.75=5:3 设甲瓶盐水原来有x升,则乙瓶盐水原来有 (x-5):(

2x升 32x-5)=5:3 3x=30

20、24%

用逆推法.由最后C中的浓度是1%,

推知混合后B中的浓度是1%×[(10+30)÷10]=4%, 继续推知混合后A中的浓度是4×[(10+20)÷10]=12%,

最后推知最早倒入A中的盐水浓度是12%×[(10+10)÷10]=24% 21、38元

由每件成本×(1+20%)×4≥180,可知每件成本≥37.5元。而185÷4÷1.2=38

13

元,可初步确定这一商品每件24

成本是38元.再按这一定价方法计算1件,2件,3件??的售价,确定38元符合题意.(方法点睛:解答这类题的技巧是先估计所求答数的范围,再依公式试算)

２７

工程应用题

[同步巩固演练]

1、一件工程，甲、乙合做需6天完成，乙、丙合做需9天完成，甲、丙合做需15天完成，现在甲、乙、丙三人合做需要多少天完成？

2、一个水池，装有甲、乙两根水管。单开甲管5分钟可注满水池；单开乙管，8分钟可把满池水放完。现在水池内存水占容积的

2，同时打开两管，还需几分钟池水将注满？ 51，现因任务紧急，需要提前633、某工厂预计30天加工完一批零件。先由18名工人干了12天，完成 了任务的天完成全部加工任务。问需要增加多少个工人？ 4、（北京市“迎春杯”小学数学竞赛试题）

甲、乙两辆清扫车执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西两城相对开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，则东西两城相距多少千米？ 5、（江苏吴江市小学数学竞赛试题）

修一条公路，甲、乙两队合修需12天完工。现在由甲队先修8天，然后由乙队再工作6天，还剩这条路的40%没有修，剩下的路由甲队修，还需要多少天？

6、加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。现两人合作来完成这个任务，合作中甲休息了2.5天，乙休息了若干天，这样共14天完工，乙休息了几天？

7、一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成，甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？

8、甲、乙、丙三人从3月1日开始合作一项工程，甲每天的工作量是乙每天工作量的3倍，乙每天的工作量是丙每天工作量的2倍，三人合作5天完成工程的几日完成的？ [能力拓展平台]

1、 一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现先由甲、丙合做2小时后，余下的乙还需

8小时完成。乙单独做这件工作需多少小时？

2、 一项工作，甲独做要50天完成，乙独做要60天完成。两人合做，甲每做3天休息1天，乙每做5天休息1天。

问完成全部工作要多少天？

3、 （北京市第十四届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

货场有一批货扬，如果用3辆大卡车运，4天可以运完；如果用4辆小卡车运，5天可以运完；如果用20辆拖拉机运，6天可以运完。现有2辆大卡车，3辆小卡车，7辆拖拉机，他们共同运2天后，剩下的改由拖拉机运，而且必须在2天内运完。这两天要用多少辆拖拉机？

4、（全国小奥赛试题）

一件工程，甲队独做12天完成，甲队做3天后乙队做2天恰可完成一半，现在甲乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用多少天？

5、一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入的水量是固定的，当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空，如果同时找开A、B两管，4小时可将水池排空，那么同时打开B、C两管，几小时可将水池排空？

２８

1后，甲休息3天，乙休息2天，丙没有休息，问这项工程是在几月36、移栽西红柿苗若干棵，如果哥弟二人合栽8小时完成。现哥哥先栽了3小时后，弟弟又独栽了1小时，还剩总棵数的

11没有栽。已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵，这块地共栽西红柿多少棵？ 16[全讲综合训练] 一、填空题。

1、 3个人完成一件任务需要3周又3天，4个人完成这件任务需________________天。 2、 一项工程，甲先做3天，乙再做5天，完成这项工程的

做，完成这项工程还要______________天。

3、 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，经8小时相遇，相遇后两车继续前进，甲车又用了6小时到达B

地，乙车要____________小进才能从B地到A地。 4、 一件工作，甲5小时完成了

11，甲再做2天，完成余下工程的，最后再由乙461，乙6小时又完成剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要4___________小时才能完成。

5、 一项工作，甲乙两队合作9天完成，乙丙两队合作12天完成，甲丙两队合作需18天完成，现在三队合作

需_____________天完成。

6、 一项工程，甲、乙两队合作20天完成，乙丙两队合作60天完成，丙丁两队合作30天完成，甲丁合作_____________天完成？

7、 某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，如果由甲、乙两人合作，需48天完成，现在甲

先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需要做_____________天。 8、 （第六届华杯赛初赛试题）

甲管注水速度是乙管的一半，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可以注满，现在先开甲管向游泳池注水若干小时，剩下的由乙管注9小时将池注满，问甲管注水的时间是_______________小时。

二、解答题

1、（第八届《小学生数学报》数学竞赛决赛试题）

一批零件，由师傅单独做，需5小时完成，由徒弟单独做，需7小时完成，两人合做，完成任务时师傅做的比总数的一半还多18个，这批零件共多少个？

2、一件工作，如果单独做，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才完成，现在，甲乙二人合作2天后，剩下的继续由乙单独做，刚好在规定的日期内完成，若甲乙二人合作，完成这件工作需要多少天？ 3、有编号为1、2、3、??8、9的九个水管，灌满水池所用时间如下表： 水管号 注满时间

九管齐开，多少时间才能注满水池？ 4、（小学数学奥林匹克决赛民族卷试题）

甲、 乙两管同时打开，10分钟能注满水池，现在打开甲管，9分钟再打开乙管，4分钟就注满了水池，已知甲管比乙管每分钟多注入0.28立方米水，那么这个水池的容积是多少立方米？ 5、（北京市第六届小学生迎春杯数学竞赛决赛试题）

一件工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成，如果先由甲工作1小时，然后乙接替甲工作，??两人如此交替工作，那么完成任务共用了多少小时？ 6、（北京市第十届小学生迎春杯数学竞赛决赛试题）

甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务，如果甲单独加工，便需要12小时完成，现在甲、乙两人共同加工了2

①② 2 ②③ 4 ③④ 8 ④⑤ 16 ⑤⑥ 31 ⑥⑦ 62 ⑦⑧ 124 ⑧⑨ 248 ⑨① 496 2小时后，甲被调出做其它工作，由乙继续加工了420个零件才完成任务，问乙一共加工零件多少个？ 57、（全国小奥赛决赛试题）

有一批工人进行某项工程，如果能调来8个人，10天就能完成；如果能调来3个人，就要20天才能完成。现在

２９

只能调来2个人，完成这项工程需多少天？

8、某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可完成这项生产任务，如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前1小时完成这项生产任务；如果同时交换A和B、C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可提前多少分钟完成这项生产任务？

9、有A、B两个游泳池，A和B满水时的水量之比是10：11，当A放入满池水的

1时，B是空的，此时，用两12个放水管分别给两水池同时开始放水，经过7小时30分后，两水池的水量变成相同的，此后这两个放水管继续放水，最后两水池同时水满，已知B池放水管的放水能力是每小时90立方米。求：

① A池放水管的放水能力是每小时多少立方米？ ② A池满水时的水量是多少？

23天可以完成，需支付工程款1800元；由乙、丙两队承包，3天可以完成，546需支付工程款1500元；由甲、丙两队承包，2天可以完成，需支付工程款1600元。现在决定将工程承包给某一

710、某项工程，由甲、乙两队承包，2

个队，确保工程在一个星期内完成，且支付的工程款最少，那么所支付的工程款是多少元？

工程应用题

[同步巩固演练] 1、5

25(天) 31 先求出三人合做一天完成这件工程的几分之几，再求三人合做需要多少天完成。

1÷[（2、8分

（1－)?(?)?8(分) 3、18人。 4、60千米。 5、8天

甲队的工作效率是： （1－40%?25111??)?2）]=5(天)

31691525151811?6)?2? 1220那么甲队还需要工作的天数是： 40%÷

1=8（天） 20３０

6、 天

根据甲共完成的工作量+乙共完成的工作量=“1”，可以列方程解答，设乙做了X天，则

141×（14-2.5）2011233x?1,x?1?,x?12. 30304043114－12?1(天).

44+

7、设一件工作为单位“1”，甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下：

由图不难看出甲2小时工作量=乙6小时工作量，所以甲1小时工作量=乙3小时工作量。可用代换法求解。 解：若由乙单独做共需几小时：

6×3+12=30（小时） 若由甲单独做需几小时： 8+6÷3=10（小时）

甲先做3小时后乙接着做还需几小时： （10-3）×3=21（小时） 。

8、3月18日

162?? 151?6?245162?乙的工作效率为?

151?6?2135611丙的工作效率为×=

151?6?2135211?乙丙三天干了（）×3= 135135152114?)?2?甲丙两天干了( 45135135111467??整个工作剩下1-?

315135135672214?(??)?7（天）由甲乙丙合干还要， 13545135135944完成此项工作共需5+3+2+7?17（天），即3月18日完成。

99甲的工作效率为 [能力拓展平台] 1、 40小时

“甲丙合做2小时，乙独做6小时”可转化为“甲、乙合做2小时，乙、丙合做2小时，乙独做2小时”。 1-

111?2??2? 4510３１

11?(8?2?2)? 10401?40(小时) 1÷40102、33天

11

一个周期12天，甲做了9天，乙做了10天，二人完成全部工作需要33 3、15辆

10。 111 121小卡车的工作效率为：1÷20÷6=

1201111?3??7)?2?。 剩下的工作量是：1-(?2?122020411?2?15（辆） 后两天需要拖拉机的辆数为：?4120大卡车的工作效率为：1÷4÷3=4、6天

甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半，所以甲队做3天等于乙队做2天，即乙队工作效率

33倍。现在乙队的工作时间是甲队的2队，完成的工作量是甲队的2×=3（倍），所以甲队完成的工作22111?，工作时间为12×=3（天）量是总量的，两段时间共3×2=6（天）

41?34是甲队的5、4.8小时

设这个水池的容量是“1” A、B管每小时排水量分别是

111?每小时渗入水，+每小时渗入水，A、B两管一起打开，每小时排水 量是+

4810每小时渗入水，因此每小时渗入水则：

1111?(?)? 481040打开B、C两管，将水池排空需要 1÷(

6、112棵

把“哥哥先栽了3小时后，弟弟又栽了1小时”转化成“哥哥弟弟合栽1小时后，哥哥又栽了2小时”。哥哥2

111??)?4.8（小时） 101240111333121??。哥哥1小时栽?2??，弟弟1小时栽?，哥哥每小时比弟16816163283232311??弟多栽总棵数的，也就是7棵。由此则较易求出西红柿的总棵数。 323216小时共栽了这批树的1-

[全讲综合训练] 一、填空题

1、 18天

1÷[3×（7×3+3）]=

1 72３２

1÷(

2、50天

1?4)?18(天)) 721111111?3)?5?）×?,甲做的工作效率是.乙的工作效率是（?，乙

4681641680 甲做2天，完成全部工程的（1－队还需：（1-

3、18111?)??50（天） 48802小时 3SS千米，乙的速度是每小时千米。甲走6877SS2完AB需要6+8=14小时，则AB路程为：×14=s。从而可知，乙走完AB需要s÷=18（小时）

3368314、3小时

3 乙8小时走的路程S千米，甲只需6小时走完，故甲的速度是每小时 ?1?5、8天 1÷?(?6、15天 1÷(??1111??111??(1?)?????5?(1?)??6??3（小时）

3442??442??1?911??)?2??8天 1218?111??)?8（天） 2030607、56天

甲乙合做28天，完成任务的28÷48=

771，故甲的工作效率为（1-）÷（63-28）=，乙的工作效率为

121284111421?=，于是乙还需要做（1-）÷=56（天） 4884112841128、18小时

本题关键是计算出每根管的进（排）水速度。

因为甲管注水速度是乙管的一半，所以一根乙管相当于2根甲管。 因此，实际上是相当于3根甲管12小时可将游泳池注满， 设满池水为“1”个单位， 1根甲管1小时可注水乙管1小时可注水

1， 361， 18所以甲管的注水时间： （1-9×

111）÷=×36=18（小时） 18362二、解答题 1、 216个

３３

11，徒弟每小时完成这批零件的，两人合做，每小时完成这批零件的5711121135+= 两人合做，共做了1÷（+）=（小时）； 57355712351771171师傅共完成了零件的×=，比总数一半多-=，所以这批零件共有18÷（-）=18×12=216

1251212212122师傅单独做，每小时完成这批零件的（个） 2、 6天

3-1]=10（天） 211?]=6（天） 乙独做需10+5=15（天），甲乙合作要1÷[

1015甲与乙工作效率之比为3：2，甲独做要5÷[3、2小时

设各水管灌满水池的时间分别为： x1、、x2、、、x3 ?x9 ，则

121?? ① x1x22111?? ② x2x34???

111 ⑨ ??x9x1496①+②+????+⑧+⑨得： 2×（

111????） x1x2x9=（=1

1111111???）+（???） 248163162496故前

1111????= x1x2x921=2（小时） 2总时间为：1÷4、8．4立方分米

先设水池容积是“1”。甲、乙两管同进打开，每分钟注入

14水池的水，4分钟注入水，因此，前9分钟甲管10104661=，甲管每分钟注入水：÷9= 10101015111乙管每分钟注入水：-=

101530注入水1-因为，甲管比乙管每分钟多注入0.28立方米水,因此水池容积是0.28÷(

11-)=8.4(立方米)

1530 ３４

5、141(小时) 36、480个

甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务；所以甲、乙两人共同加工一批零件，1小时可以完成这批零

121；甲单独做加工，1小时可以完成这批零件的；甲、乙两人共同加工了2小 时，当甲调出时，已加工8512213了这批零件的2×=；

58102113其中甲加工了这批零件的2×=；所以这批零件的总数是420÷（1-）=600（个）

5125101乙一共加工零件：600×（1-）=480（个）

5件的7、25天 8、108分钟

11，A和B交换后，8小时完成，全组每小时完成，由于其他人的981111工作效率不变。所以A和B多干了-=，C 和D交换后，他们两人每小时也多干了， A和B、C和D

89727221255同时交换，他们四人每小时多干了，全组工人每小时完成+=，完成这项任务 需要1÷=7.2（小时）。

729723636 设总工作量为“1”，则原来全组每小时完成所以比原来提前9-7.2=1.8(小时)=108(分钟). 9、1350立方米

① 相同的时间内A,B放入的水量比为10×

方米)

② 经过7小时30分钟放入的水量,A为75×7.5=562.5(立方米)

B为90×7.5=675(立方米)

因为此量差相当于A池的

11:11=5:6.因此A池放水管的放水能力是每小时90÷6×5=75(立121,所以A池水量为: 121(675-562.5)÷=1350(立方米)

1210、1770元

25?， 51234 乙、丙两队每天做 1÷3=,

41567 甲、丙两队每天做 1÷2?,

72031547?? 甲、乙、丙三队每天做 （）÷2=。

601215203141??， 甲队每天做

601543171??， 乙队每天做

602063151?? 丙队每天做 ， 601210设工作总量为1,甲、乙两队每天做 1÷2即单独承包这项工程，甲、乙、丙队分别需要4天，6天，10天，

３５

2=750（元）， 53乙、丙合做一天需支付工资1500÷3=400（元）

46甲、丙合做一天需支付工资1600÷2=560（元），

7乙合做一天需支付工资1800÷2甲、乙、丙合做一天需支付工资（750+400+560）÷2=855（元） 甲队每天得 855-400=455（元） 乙队每天得 855-560=295（元） 丙队每天得 855-750=105（元） 列表归纳如下： 队别 甲队 乙队 丙队 单独承包天数 4 6 10 单独承包每天工资 455 295 105 完成工程工资 1820 1770 1050 显然在保证“一个星期内完成这项工程”的前提下，选择乙队承包费用最少，为1770元。

平面图形

[同步巩固演练]

1、已知AB=50厘米，图中各圆的周长总和是（ ）厘米。

A、50 B、100 C、157 D、314 2、有相同周长的长方形、正方形和圆，它们的面积的大小关系是（ ）。

A、S正方形>S长主形>S圆 B、S长主形>S正方形>S圆 C、S圆>S长主形>S正方形 D、S圆>S正方形>S长主形 3、半径是1的半圆面的周长与面积分别是（ ）

A、5.14和1.57 B、1.57和5.14 C、1.57和1.57 D、5.14和5.14

4、一张长方形纸片长5厘米,宽4厘米,在这张长方形纸片中剪一个最大的圆,这个圆的面积 是( )平方厘米.

A、19.625 B、12.56 C、50.24 D、78.5 5、(全 国小奥赛试题)

有三个圆心相同的半圆,它们的直径分别为1、3、5,用线段分割成8块(如图所示)如果每块的字母代表这一块面积,并且相同的字母代表相同的面积.求A:B等于多少?

３６

6、(北京市第六届小学生迎春杯数学竞赛决赛试 题)

图中扇形的半径OA=OB=6厘米,角AOB等于45,AC垂直于点C,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?(取3.14)

[能力拓展平台]

1、右图中直角梯形的面积是54平方厘米，求阴影部分面积。

2、（全国小奥赛试题）有八个半径为1毫米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣圆形（如图），图中黑点是这些圆的圆心。如果圆周率π=3.1416，那么花瓣圆形的面积是多少平方厘米？

3、（第三届华杯赛决赛试题）有两个圆，它们的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，问大圆的面积是多少？

4、下图中阴影甲的面积比阴影乙的面积多28平方厘米，AB=40厘米，CB垂直于AB，求BC的长。

5、（北京市第七届迎春杯数学竞赛试题）图中，一个正方形各边都被四等分，分成十六个小正方形，图A是一个圆，图B是由三个半圆围成的图形，那么图A与图B的面积之间的关系是什么？

6、（全国小奥赛试题）A、B两点把一个周长为1米的圆周等分成两部分（如图），蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它每跳一步长是

。

3米。如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向B点，并从B点8继续走跳。当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍。已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米？

３７

[全讲综合训练]

1、10个一样大的圆摆成如图的形状，过图中所示两个圆心A、B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下侧圆内图形面积总和的比是多少？

2、如图∠AOB=900，C为AB弧的中点，已知阴影甲的面积为16平方厘米，阴影乙的面积是多少平方厘米？

3、 如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度为1米。现在以C点为圆心，把三角形ABC顺时针旋转900，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是多少平方米？

4、 下图中图形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）

5、（全国小奥赛试题）已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来得下图。那么，图中阴影部分的总面积等于多少平方厘米。（注：π=3.14）

３８

6、下图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

7、如图，阴影部分的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？（单位：厘米）

8、如图，已知圆O1、O2、O3、O4的半径都是5厘米，四边形的四个顶点都在圆心上，阴影部分的面积和是多少平方厘米？

9、平面上有七个大小相同的圆，位置如图所示，如果每个圆的面积都是10平方厘米，求阴影部分的面积。

10、（希望杯数学邀请赛试题）

下图中，两个半径为1的少？

1圆扇形A`OB与AO`B叠放在一起，POQO`是正方形，则整个阴影图形的面积是多4

11、（上海市小学数学竞赛试题）

下图中半圆S1的面积是14.13平方厘米,圆S2的面积是19厘米?

5平方厘米,那么长方形(阴影部分)的面积是多少平方8 ３９

12、下图中的曲线是用半径长度的比为4：3：1的7条半圆曲线连成的，涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多少？

13、（第九届《小学生数学报》数学竞赛初赛试题） 如图，圆的周长为15.7分米，圆的面积是长方形面积的

2，图中阴影部分周长的多少分米？（π取3.14） 3

14、（首届全国六一杯小学生数学竞赛六年级试题）已知半圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分面积（π=3.14）

15、（全国小奥赛试题）

图中，大圆半径为6，则其阴影部分面积为多少？

16、（北京市第三届小学生迎春杯数学竞赛初赛试题）下图中正方形的面积是25平方米，求圆的面积.（取π=3.14）

17、(上海市第五届小学六年级数学竞赛复赛试题)正方形的边长是2厘米，以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积的差（大减小）是多少厘米？（π取3.14）

４０

18、（全国小奥赛试题）

如右图，阴影部分的周长是多少？（单位：厘米）

36厘米 19、（第九届华杯赛试题）

如下图，大、小两个半圆，它们的直径在同一条直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，且AB=12厘米，求图中阴影部分的面积。

平面图形

[同步巩固演练]

1、 C

3．14×50=157（厘米） 2、 D 3、 A 4、 B 5、 5：6

半圆面积=

?r22，标有字母A的半圆环面积是3A=[??()???()]??.。那么 ，A=

12322122?. 3标有字母B的半圆面积是：5B=[??()???()]?2?.那么，B=?,于是A:B?

４１

1252232225?2:??5:6 3574

6、19．26平方厘米

由于△AOC是等腰直角三角形，所以它的面积=AO2×

11?62??9(平方厘米). 44450?3.14?62?9 阴影部分面积为0360=3.14×9－9 =19.26(平方厘米)

[能力拓展平台] 1、11.61平方厘米

设圆的半径为r,则S梯形=(r+2r)r÷2=54(平方厘米),从而r=6(厘米) 所以S阴=54-

135???62=11.61(平方厘米) 3603个小圆，正方形的42、19.1416平方厘米

四个角上的四个圆心,恰好形成一个边长为4厘米的正方形。这个正方形的每个角，都多出了

31-）×4个圆。 4231因此，面积=4×4+3.1416×1×1×（-）×4

42每一边，少了一个半圆，共多出了（ =16+3.1416 =19.1416 3、1100平方厘米

据题意，已知两圆的周长比，可以算出两圆的半径比，假设圆C1的周长为2?R，即C1=2?R圆C2的周长为2?r，即C2=2?r，可得到下面的比例关系

=

2?RR? 2?rr这就是：两个圆的周长比等于这两个圆的半径的比，同理，这两个圆的半径的比等于这两个圆的周长比。

又设圆C1的面积=?R2

圆C2的面积=?r2 那么有

则两圆的面积比等于两圆半径的平方比。

因为两圆的周长比为0.9，所以两圆的半径比为0.9，两圆的面积比为0.92=0.81

又因为两圆的面积的和是1991，所以大圆面积是19911÷（1+0.81）=1100（平方厘米） 4、30厘米

从图中可以看出：阴影甲的面积+空白的面积=半圆的面积 ①

阴影乙的面积+空白的面积=三角形的面积 ② ①- ②得：

阴影甲-阴影乙=半圆面积-三角形面积。这就是说阴影甲比影乙多多少平方厘米，就是半圆面积比三角形面积多多少平方厘米。半圆面积为：形的面积为:628-28=600平方厘米.

解:三角形的面积:

４２

1402

×3.14×()=628平方厘米,则三角221402

×3.14×()-28 221 =×3.14×400-28

2

=600(平方厘米) BC的长:

600×2÷40

=1200÷4 =30(厘米)

5、相等 A是以大正方形

1为半径的圆 4B是以正主形边长直径的半圆减去一个A 设正方形边长为4 解 A=π·1=π

B=π·2·=2π-π =π

所以图形B与圆A面积相等.

6、128米

把周长为1米的圆周8等分,每一等分算作一段,蓝精灵跑一次就跳3段,跳4次跳12段,恰好一周半,跳到A点,当蓝精灵经过特别通道到B点,此时圆周长变成2米,我们把新的圆周分成16段,现在蓝精灵跳8次,共跳24段才到A点,?,如此继续下去,跳16次、32次、64次、128次，蓝精灵才回到A点。

为了便于对照列出下表：

跳的次数 4 8 16 32 64 128 256 _________________________________________________ 新的圆周长 2 4 8 16 32 64 128

因为 4+8+16+32+64+128+256=508＜1000 4+8+16+32+4+128+256+512＞1000

所以蓝精灵跳1000次，有7次到A点，此时圆周长是128米。

跳完1000次后圆周长是128米。 [全讲综合训练] 1、 2：3

我们观察与直线AB有关的四个圆（如图（b）），其中A与B所在的两个圆被直线AB平分，分别为上下各半个圆，合起来算，上下各得一个圆的面积，另两个圆其中注“·”处的部分与注“X”处的部分各分别相等，合起来又是上下各得一个圆的面积，原图中直线右上方共四个圆面积，左下侧共六个圆面积（如图（a））。AB直线两边的圆的总面积的比是4：6，即2：3。

４３

22

1-π 2

2、 16平方厘米。

易知半圆的面积等于小扇形OBC的面积，从而推知S甲=S乙=16（平方厘米）

3、 如图，顺时针旋后，B点沿弧，BB’转到B’点，A点沿弧AA’转到A’点，D点沿弧DD’转到D’点,因为CD是C

点到AB的最短线段,所以AB扫过的面积就是图中阴影部分,因为正方形ADCD’的面积与△ABC的面积相等,均为

1111?2平方米,所以(CD)2=,推知扇形CDD’的面积等于(CD)??.又△BCD与△A’CD'的面积和等于平222482

1?13?1???????0.6775(平方米)。

128282方米,所以阴影部分面积为:

4、69．68（平方厘米）

S大圆=π×42=16π S小圆=π×22=4π S长方形=8×4=32（平方厘米） 所求面积32+16π－4π=32+12π

=32+37.68=69.68(平方厘米).

5、39．25（平方厘米）

原题阴影部分相当于下图阴影部分，即半个圆环。小圆半径为10÷2=5（厘米），大圆半径的平方等于（52+52），所求面积为：[（52+52）×π－52×π]÷2=39.25（平方厘米）。

6、5．72（平方厘米）

111?42?(???42??4?2)?5.72(平方厘米） 282117、周长：?2??4??2??5?(5?4)?2?16.13(厘米）

441122 面积：???4????5?4?5?12.185(平方厘米).

44

8、235．5（平方厘米）

阴影部分面积和为三个半径为5的圆的面积的和，所以阴影部分面积为： 52×3.14×3=235.5（平方厘米）。

9、20（平方厘米）

阴影部分相当于两个圆的面积之和。 10、1．07（平方厘米） 阴影部分面积是每个

1圆扇形的面积（或者是以OO`为半径的半圆面积）减不去下方形POQO`的面积。 4４４

而正方形PQQO`面积正好等于以OO`不边的正方形面积的一半，所以阴影部分的面积是：

1122?1

42?11 =???3.14?0.5?1.07(平方厘米)

222 2×??1?11、6（平方厘米）

阴影部分为长方形，一边是两圆直径之差，另一边是S2的直径。

设圆S1的半径是r1，由已知?1r12?14.13?2?3.14 所以r1?9 r1=3(厘米) S1的直径=6厘米

又设圆S2的半径是r2，则有： r22?19.625?3.14?6.25

所以r2=2.5（厘米），S2的直径=5（厘米） 这样可求得阴影部分的面积是： 6×（6－5）=6（平方厘米） 12、5：11 S阴=π×12×1.5+比为5:11。

13、24.625（平方厘米） 由已知设圆的半径为R，则有 2πR=15.7

R=15.7÷6.28 R=2.5(分米)

又圆的面积是长方形面积的则有

2122?14.13

11??×42-??×32=5?,S白=?×42-5?=11?,所以涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积222,设长方形的长为x, 32·2R·x=πR2 33x=πR 435πR+2R+ πR=πR+2R 42于是阴影部分周长是 2x+2R+πR=2·

所以得阴影部分周长==24.625(分米) 14、11.4(平方厘米)

连结AB、AD,易知△ADO的面积和△ABO的面积是相等的,故△AOB的面积=△AOD的面积.阴影部分面积等于

扇形ACB的面积与三角形AOB面积的差.

设半圆半径为r,则

12

πr=62.8 2

４５

r=40(平方厘米) 三角形AOB的面积是

2

112

AO·BO=·r=20(平方厘米) 22因为△ADB的面积等于△AOB的面积的2倍,于是扇形ABC的面积=

122

AB=2×20,所以AB=80(平方厘米) 2121π·AB=×3.14×80=31.4(平方厘米) 88阴影部分的面积是 31.4-20=11.4(平方厘米)

15、72(平方厘米)

总阴影部分面积为:

4个半圆面积+正方形面积-空白部分面积 =π×3×2+6-(6-18π)

=72

16、39.25(平方厘米)

设圆的半径是r. 则AC=2r 由已知r =

22

2

2

1·r·r·4=25 225 225=39.25(平方厘米) 2所求圆的面积是:3.14×

17、0.14(平主厘米)

图中甲部分的面积是等腰直角三角形的面积减去一个扇形的面积;乙部分的面积是扇形的面积减去小的等腰三角形的面积.扇形的面积是

1???22?1.57(平方厘米) 8甲部分面积是

1?2×2－1.57=2－1.57=0.43(平方厘米) 21乙部分的面积是1.57－?2?2?1.57?1?0.57(平方厘米)

4甲、乙两部分的面积差是0.57－0.43=0.14(平方厘米) 18、111．36（厘米）

这道题应运用变部分为整体的思想去解。

４６

即阴影部分的周长为弧AB、弧CB、线段AB这三部分相加而成。 弧AB的长度为：36π÷2=18π

300???(36?2)?6? 弧CB的长度为：

3600阴影部分的周长为： 18π+6π+36 =24×3.14+36 =75.36+36 =111.36(厘米) 19、56．52平方厘米

将原图作适当变形如下，连结OB，易知BC=12÷2=6（厘米） 在直角△OBC中，OB2－OC2=62=36 阴影部分面积为：π×(OB2－OC2)×

=3.14×36× =56.52(平方厘米)

1212

列方程解应用题<二>

[同步巩固练习]

1、 汽车若干辆装运一批货物，如果每辆装3.5吨,这批货物有2吨不能运走;如果每辆装4吨,装完这批货物后,还可

以装其他货物1吨,这批货物有多少吨?

2、 一条大鲨鱼,头长3米,身长等于头长加尾长,尾长等于头长加身长的一半.这条大鲨鱼全长多少米? 3、(北京市第四届迎春杯试题)

小强从家到学校,如果每分钟走50米,上课就要迟到3分钟,如果每分钟走60米,就可以比上课时间提前2分钟到校,小强家到学校的路程是多少米? 4、(第四由数学报竞赛题)

甲、乙两人星期天一起上街买东西,两人身上带钱共计86元,在人民商场甲买一双运动鞋花去了所带钱数的4/9,乙买

一件衬衫去了人民币16元,这样两人身上剩的钱正好一样多,甲、乙两人原来各带多少钱? 5、(北京市第三届迎春杯试题)

４７

分子、分母之和是23，分母增加19之后，得到一个新的分数，把这个分数化为最简分数是之几？

1，原来的分数是几分56、牧羊人赶着一群羊寻找草长得茂盛的地方去放牧，有一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧？”牧羊人答道：“如果这一群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原业这群羊的1/4，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只”。请问牧羊人的这群羊共有多少只？

7、妈妈带小敏去买布。妈妈带的钱如果买2米布后还剩1.80元;如果买同样的布4米,则差2.40元,问妈妈带了多少元钱?

[能力拓展平台]

1、 一个商人每年花掉100镑，但每年他可得到他的财产（花费的100镑不在内）的

增加了1倍，问商人最初有多少镑财产？

2、 小明放学后沿某路公共汽车路线，以每小时4千米的速度步行回家。沿途该路公共汽车每9分就有一辆车从后

面超过他，每7分又遇到迎面开来的一辆车。如果这路公共汽车按相等的时间间隔以同一速度不停运行，那么公共汽车发车的时间间隔是多少？

3、 某生产队甲、乙两社员去年共分得现金1224元，今年共分得1706元。已知今年甲比去年所分得的现金增加50%，

乙增加30%，两社员各分得多少元？

4、甲、乙两个容器共有溶液2600克，从甲容器中取出个容器原来各有溶液多少克？

5、25支铅笔分给甲、乙、丙三人。乙分到的比甲的一半多3支，丙分到的比乙的一半多3支，问：甲、乙、丙三人各分到几支铅笔？

6、（第四届《小学生数学报》竞赛题）

幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给大班的小朋友每人5个缺6个；如果分给小班的小朋友，每人4个余4个，已知大班比小班少2人。问这一筐苹果共有多少个？ 7、（北京市第四届迎春杯竞赛题）

一辆公共汽车载客50人，长途客车票每张0. 80元,短途车票每张0.30元,售票员统计长途车票的收入比短途车票的收入多18元,问:购买长途车票的有多少人?

8、李老师从数学兴趣小组调出1名女生到英语兴趣小组后，剩下的同学中有是调出2名男生，那么剩下的同学中9、（岳阳市竞赛题）

大、小两个铁环滚过同一段距离，大环转了40个圈，小环转了30个圈。已知小环的周长比大环的周长少了44厘米，那么滚过的这段距离是多少米？ [全讲综合训练]

1、 茶壶定价50元，成本是30元，茶杯的成本是定价的80%。现在商店将一把茶壶与2只茶杯配套出售，并且按

它们定价之和的九折出售，这样出售一套可获得利润18元。一只茶杯的成本是多少元？

2、 A盒中放有黑球和白球共210个，共中黑球占30%，B盒中放有黑球和白球180个，其中黑球占80%，B中的

一超级球移到A中，使得A中的黑球占50%，B中的黑球占80%，B盒中还剩黑球，白球各几个？

3、 从甲地到乙地，海路比公路近40千米。上午7时一轮船从甲地去乙地，上午10时一辆汽车从甲地开往乙地，

结果同时到达乙。已知轮船的速度是每小时24千米，汽车速度是每小时40千米。求甲地到乙地的公路长是多

少千米？

4、 某人乘车行121千米，一共用了3小时。第一段路程每小时行42千米，第二段路程每小时行38千米，第三段

路程每小时行40千米，已知第三段路程为20千米，问第一段、第二段的路程各是多少千米？

5、 在一马路两旁植树，若每隔3米植一棵，植到头还剩3棵；若每隔2.5米植一棵，植到头还缺77棵，问马路长

多少米？

４８

1的利润。3年后，他的财产311，从乙容器中取出，两个容器共剩溶液2000克，求两451是女生，如果不调出这名女生，而71是女生，问原来这个数学兴趣小组有多少名同学？ 56、 某班学生排队从学校到工厂参加劳动，以每小时8千米的速度前进，走2千米后，一学生奉命回校取东西。他

以每小时10千米的速度跑步回校，取东西后又以同样的速度追赶队伍，结果在距工厂3千米处追上队伍。求校与厂之间距离。

7、 兄弟两人每月收入的比是4：3，支出钱数的比是3：2，如果他们每人每月都节余200元，那么他们每月的收入

分别是多少元？

8、 （广州市奥赛题，2003）

南方某农场要将一批鲜荔技运往内地，可选择汽车、火车、飞机3种运输工具。这3种运输工具的数据如下：

汽车 途中速度 （千米/时） 50 途中费用 （元/千米） 8 装卸时间 （时） 2 装卸费用 （元） 1000 火车 100 6 4 2000 飞机 900 12 2 1000 若这批荔枝在运输过程中的损耗为300元/时，为使运输过程中的费用与损耗之和最少，应采用哪种运输工具？ 9、 小张、小李二人清扫一条马路，小张负责左边，小李负责右边，小张清扫的速度是小李的

4倍，后来，小李用310分钟去换工具，换工具后小李的速度是原来的2倍。从开始起，经过1小时两人同时完成任务，小李换工具后工作了多少分钟？

10、（第一届小学“希望杯”数学竞赛题，2003）

小光前天登录到数理天地网站www.mpw91.com，他在首页看到“您是通过什么方式知道本网站的？”的调查，他查看了投票结果，发现总投票人是500，“杂志”项的投票率是68%。当他昨天再次登录数理天地网站时，发现“杂志”项的投票率上升到72%，则当时的投票总人数至少是多少？

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列方程解应用题<二>参考答案

[同步巩固演练] 1、 23吨

设货物共有X吨，如果每辆装3.5吨，运走的货物应为（X－2）吨，这时共有汽车运走的货物为（x+1）吨，这时共有汽车 解得X=23。 2、 24米

设鲨鱼身长X米。 据题意得：X=12 全长：3+12+（3+3、 1500米

设小强家到学校的路程是X米，由题意得：

x?2辆，如果每辆装4吨，3.5x?1辆，因为汽车的总辆数相等，所以可得出下面的方程： 4x?2x?1? 3.541?12)?24(米) 2xx?3??2 5060两边都乘300，得：60X－900=5X+600 X=1500（米）

4、 甲45元，乙31元。

设甲带X元钱，则乙带（86－X）元，依题意得

x（1-)?86?x?16,解得X?45,86?x?31. 5、

497 16 设原来分数的分子为X，则分母为23－X，当分母增加19以后，分母是分子的5倍，由题意得 （23-x）+19=5x 6x=42

x=7

23－x=23－7=16 所以原分数是6、 36只

设这群羊共有X只，列方程，有： x+x+

7 1611x?x?1?100 24５０

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