四年级奥数—和倍问题

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名师堂学校【赢在秋季】方法讲义

四年级 数学思维训练

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第八讲 和倍问题

一、知识衔接

已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求大小两个数的问题叫和倍问题。

解这类应用题关键是要找准标准数（即1倍数），一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准数的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。数量关系可表示为：

*两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数） *小数（1倍数）×倍数=大数（几倍数） *或两数和—小数（1倍数）=大数（几倍数）

解决和倍问题，为了理解题意，可以画出线段图，使数量关系一目了然。

二、例题求解

例题一

书店去年和今年共售书500万册，今年售书量是去年售书量的4倍，今年比去年多售书多少万册？

思路点拨：题目要我们求的是：今年比去年多售书多少万册。那么就必须要知

道今年和去年的售书量。今年的售书量是去年售书量的4倍，我们可以这样想： 去年售书看成是单位1，也就是：1份，那么：

今年售书量就是：1×4，也就是4份

去年和今年一共的总售书量就是：1+4=5（份）

题目中已经说了：“书店去年和今年共售书500万册”，所以500÷5=100（万册）就是每一份的售书数目。去年的售书量占了总售书量的1份，那去年的售书量：1×100=100（万册），今年的售书量占了总售书量的4份，那今年的售书量就是：4×100=400（万册）。知道去年的售书量和今年的售书量就可以回答题目中的问题了。 【解】

1+4=5

500÷5=100（万册） 1×100=100（万册） 4×100=400（万册） 400-100=300（万册）

答：今年比去年多销售300万册。

例题二

甲、乙两个车间一共生产了机床664台，而甲车间的产量是乙车间的3倍，问：两

个车间各生产机床多少台？

思路点拨：这是一道非常典型、非常基础的“和倍问题”，与刚才的题目基本一样。

由条件“甲车间的产量是乙车间的3倍”，我们可以把两个车间产量之间的倍数关系在下图中表示出来：

乙：

1倍

共664台

甲：

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3倍

这里，我们把“乙车间的产量”看作“1倍量”，这样“甲车间的产量”便是乙车间产量的“3

倍量”，于是甲乙的总产量“664台”便是乙车间的“（1+3）倍量”了。所以，我们可以先求出乙车间的产量，进而求出甲车间的产量。所以：

乙车间生产机床数：664÷（3+1）=166（台）

甲车间生产机床数：166×3=498（台）或者 664-166=498（台）

答：甲车间生产498台，乙车间166台 练习题：

1、红旗小学买回来足球和篮球共240个，而买来的足球是篮球的3倍，问：学校买来足球排球各多少个？

2、学校师生一共有500人，学生人数是老师人数的7倍，问：老师和学生各有多少人？

3、三（1）班原有学生42人，开学时又转来了3名男生，这时男生人数是女生人数的2

倍，三（1）班原有男生多少人？

4、小华有书本15本，故事书是绘画书的4倍，问：小华有故事书和绘画书各多少本？

例题三

某校师生一共有800人，学生人数是老师人数的9倍多50人，求学生人数?

思路点拨： 已知道学生和老师的总人数是800人，要求的就是学生的人数。在解题之

前就要分清楚学生占总人数的多少份。题目中已给出：学生人数是老师人数的9倍还多50人。那么：

左边 右边 老师人数看成单位：1， 也就是1份； 学生人数-50人=老师人数的9倍： 1×9=9（份） 老师和学生的人数跟倍数结合起来，那每一份占的人数是：

左边：老师人数+学生人数-50人=800-50=750（人）

右边：1+9=10（份）

左边和右边的关系就是：把左边的750人分成了右边的10份，这样我们就可以知道每一份占左边人数的数目了，750÷10=75（人）。那么老师的人数占了1份就是：1×75=75（人）。根据学生人数-50人=老师人数的9倍，那么学生人数=老师人数的9倍 + 50人：

学生人数=9×75+50=725(人)

也还可以这样考虑：知道了老师人数，那么：学生人数=总人数-老师人数

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【解】 800-50=750（人） 老师人数： 750÷(1+9)=75（人） 学生人数： 800-75=725（人）

答：学生人数是725人

练习题：

1、小明和小华兄弟两人一共有300元钱，小华的钱数是小明的钱数的3被还多20元，问：小明、小华各多少钱？

2、老师买了一批篮球和足球，一共花了800元，买篮球花的钱是足球的钱的2倍还多40元钱，问：老师买篮球花了多少钱？买足球花了多少钱？

3、张伯伯家有苹果和梨一共3000斤，张伯伯告诉你，苹果的重量是梨的6倍还多200斤，问张伯伯家有多少斤的苹果？

4、已知被除数÷除数=7…5，被除数+除数=61，求除数是多少？

例题四

有甲、乙两个粮仓，甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库存粮是乙仓库的3倍。必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？

思路点拨： 这仍旧是一道“和倍问题”的题目，只不过条件中的“和”没有直接给出，所

求的问题也是比较间接的。这样就要求我们：

(1) 自己找出“和”；

(2) 先由“和倍问题”求出两个量； 再来具体看题目的问题。

(1) 内部交换粮食，总和是不变的，所以甲、乙仓库总存粮（和）有（108+140）吨； (2) 由“和倍问题”求出甲乙按规定应该存粮的量：

同上题一样，由于要求甲仓库应存粮为乙仓库应存粮的3倍，那么如果将乙仓库的

应存粮量看作1倍量，那么甲乙仓库存量的总和相当于乙仓库应存粮量的（1+3）= 4倍量，从而可求出乙仓库应存粮量。再来具体看问题“必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库”，很明显用乙仓库原来的存粮量减去应存粮量，便可以解答了。即： 甲、乙两仓库存粮的总和108+140=248（吨） 乙仓库应存粮量：248÷（1+3）=62（吨） 乙仓库运出粮食数量：140-62=78（吨） 【解】

108+140=248（吨） 248÷（1+3）=62（吨） 140-62=78（吨）

答：乙仓库运出粮食78吨到甲仓库。 练习题：

1、航天电视厂有职工1850人，如果男职工再增加150人就相当于女职工数的3倍，求：该厂有男、女职工各多少人？

2、两个数相除，商为8，被除数、除数与商的和是170，求被除数是多少？

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3、每件成品需要5个甲零件，2个乙零件。开始时，甲零件的数量是乙零件数量的2倍，加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多，那么还可以加工_______个成品。

还原问题

我们解答应用题一般需从条件出发，通过分析，找出解题的方法。而有些应用题，从已知条件去分析就比较困难。如果从题目所求的问题入手进行思考，利用已知条件一步步倒着揄，就比较容易解决问题。这种倒过来思考问题方法，就是还原法。

解答这种还原问题的关键是从最后结果出发，依照题意顺次进行倒推，变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。

1一个数加上6后，乘以3，再减5得22。求这个数。

2小林用压岁钱的一半买了一个语言复读机，又用余下的一半钱买了几本课外书，这时他还剩150元。你知道小林一共有多少压岁钱吗？

3三只笼子里共养了36只兔子，如果从第一只笼子里取出8只放到第二只笼子里，再从第二只笼子里取出6只放到第三只笼子里，那么三只笼子里的兔子就一样多。求三只笼子里原来各养了多少只兔子？

4有一位老人说：“把我的年龄加上14后除以3，再减去26，最后用25乘，恰好是100岁。”这位老人今年多少岁？

课后作业： 1、 动物园有猴子和老虎一共80只，猴子的数量是老虎的数量7倍，那么猴子比老虎多

多少只？

2、暑假了，小明一共有60题暑假作业，这60题作业中有计算题和应用题，计算题的数量的是应用题的数量的2倍，问：小明的暑假作业中，计算题和应用题分别有多少只？

3、一个长方形的周长是130米，长是宽的4倍还多5米，长方形的长是多少米？

4、小明的爸爸开了一家车行，专卖自行车和摩托车，昨天买了23辆车，卖掉的摩托车的数量是自行车数量的3倍还多四辆，那么昨天卖掉摩托车多少辆？

5、甲乙丙三个数的和是360，已知甲是乙的3倍，乙是丙的2倍，求甲乙丙三个数各是多少？

6、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，若是把0去掉，则与加一个加数相同，这两个数各是多少？

7、商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克？

8、一个除法算式，商是5，余数是1，被除数、除数、商和余数的和是109，除数是多少？

9、甲乙两个车站共停了195辆汽车，如果从甲站开到乙站36辆汽车，又从乙站开出45辆汽车，这时乙站停的汽车辆数是甲站的2倍，原来甲乙两站各停放了多少辆汽车？

10、一筐鱼连筐重122千克，卖出一半后，再卖出剩下的一半，这时连筐还重35千克，

原来筐和鱼各重多少千克？ 数学日记

◆老师寄语：你都掌握了吗？ 今天的收获 今天的作业 课堂表现 作业完成情况 家长检查、签字、反馈

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