河南省开封市祥符高级中学2014-2015学年高二下学期第二次月考数学试题

开封市祥符高级中学2014—2015年度高一第二学期第二次月考数学试卷

一、选择题：（每题5分，满分60分）

1、在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 2、为了得到函数y＝sin (2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin 2x的图像上所有的点( )

11

A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度

22

C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度

3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )

915

A．－ B．0 C．3 D.

224、利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x＋y＝10内的共有（ ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5 5、设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )

A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b （??0,0???6、已知函数y?sin(?x??)，

象如图所示，则点P的坐标为（ ） （?，?）22?2），且此函数的图

??） B．（4，） 22??C．（2，） D．（4，）

44A．（2，

7、平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，

c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2

??）－m在[0，]上有两个零点，则m的取值范围是 6211A．（0，1） B．（，1） C． [0，1） D．[，1）

2219、函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x?2)?，若f(1)??5，

f(x)11B、 5，C、 -， D、 则f(f(5))=（ ） A、-5,55????π

10、设0<θ<，向量a?(sin2?,cos?),b?(cos?,1)，若a∥b，则tan?＝( )

2

8、已知函数f（x）＝sin（2x－

1111A、 ， B、-， C、， D、-

2233

1＋sin βππ

11、设α∈?0，?，β∈?0，?，且tan α＝，则( )

2?2???cos βππππ

A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝

2222

???????????AB12、已知O是?ABC所在平面内一个定点，动点P满足OP?OA??(?????ABsinB?????AC),其中??（0，+?），则动点P的轨迹一定经过?ABC的（ ） ?????ACsinCA . 重心， B. 垂心， C.外心， D.内心。 二、填空题（每题5分，满分20分） 13、某班的全体学生参加消防安全知识竞赛， 成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依 次为：[20，40），[40，60），[60，80）， [80，100]．若低于60分的人数是15，则 该班的学生人数是_________．

14、已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos??1，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的3夹角

为β，则cosβ＝________.

15、设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________． 16、下列五个命题：

（1）函数y?sin(2x??3（2）函数y?cos4x?sin4x的最小正周期为2?。

（3）函数y?cos(x?（4）函数y?tan(x?)在区间(???,)内单调递增。 36?)的图像关于点(,0)对称。 36)的图像关于直线x???3?6成轴对称。

（5）把函数y?3sin(2x??3)的图象向右平移

?得到函数y?3sin2x的图象。 6其中真命题的序号是 。

三、解答题（满分70分，注意解题过程的完整性和规范性）

????17、（本题10分）已知a?(x,2),b?(?3,5),且a与b的夹角为锐角，求实数x的取值范围。

18、（本小题满分12分）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对

应数据：

x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 ?＝6．5x＋a（a∈R）若广告费支出x与销售额y回归直线方程为y．

（Ⅰ）试预测当广告费支出为12万元时，销售额是多少?

（Ⅱ）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的

绝对值不超过5的概率．

π3

19、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝cos x2sin?x＋?－3cos2x＋，x∈R.

4?3?(1)求f(x)的最小正周期；

ππ

(2)求f(x)在闭区间?－，?上的最大值和最小值．

?44?

ππ

20、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)?ω>0，－≤φ

22??

线 π

x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.

3

(1)求ω和φ的值；

(2)若f()??23π3?2?(???)，求cos?α＋?的值．

2??463

????21、（本小题满分12分）已知向量a?(m,cos2x),b?(sin2x,n)，函数f(x)?a?b，且

π2π

y＝f(x)的图像过点?，3?和点?，－2?.

?12??3?

(1)求m，n的值；

(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间． 22、（本题12分）

如图，正方形ABCD的边长为1，P,Q分别在边AB,DA上的点。当?APQ的周长为2时，求?PCQ的大小。

DCQAPB参考答案： 一、选择题

1、 B ，2、A ，3， C ，4、B ，5、C ，6、C ，7、D ，8、D ，9、C ，10、A ，11、

C ，12、A； 二、填空题：

2 2

13、50，14、3，15、±3 ，16、（3） 、（5） 三、解答题：

17、解：???a与b的夹角为锐角?????a?b?0,且a与b不共线，即....................3分??3x?10?0..................................................................6分?5x?6?0?106且x??，即....................9分356610实数x的取值范围是：（-?，?）（??，）.......10分553解之得：x?18、【解】（Ⅰ）x?

2?4?5?6?830?40?50?60?70?5,y??50,

55 因为点（5,50）在回归直线上，代入回归直线方程求得a?17.5，

??6.5x?17.5………………………………3分 所求回归直线方程为：y??6.5?12?17.5?95.5.………………5分 当广告支出为12时，销售额y （Ⅱ）实际值和预测值对应表为

在已有的五组数据中任意抽取两组的基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10个，………………………………10分

两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的有（60，50）， 所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为

P?1?

19．解：(1)由已知，有

313f(x)＝cos x2?sin x＋cos x?－3cos2x＋ 42?2?133

＝sin x2cos x－cos2x＋ 224133＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ 444

19?. …………………12分 1010

13

＝sin 2x－cos 2x 44

π1

＝sin?2x－?，....................................................4分 2?3?2π

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.....................6分

2

ππππ

(2)因为f(x)在区间?－，－?上是减函数，在区间?－，?上是增函数，…..9分

12??4?124?πππ111

f ?－?＝－，f ?－?＝－，f ??＝，………………………………… 11分

42?4??12??4?4ππ11

所以函数f (x)在区间 ?－，?上的最大值为 ，最小值为－………………..12分

42?44?20．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以?(x)的最小正周期T＝

2π

π，从而ω＝＝2……………………………………2分

T

π

又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，

3

ππ

所以23＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，………………4分

32ππ因为－≤φ＜，

22

π

所以φ＝－…………………………………………………6分

6α?απ3

(2)由(1)得??＝3sin(23－)＝， ?2?264

π1

所以sin?α－?＝…………………………………………7分

6?4?

π2πππ由＜α＜得0＜α－＜， 6362

1?2π?π?15?2??所以cosα－＝1－sinα－＝1－?4?＝……….9分

46?6???

3πππ

因此cos?α＋?＝sin α＝sin?（α－）＋?………………………………11分

2?66???ππππ

＝sin?α－?cos＋cos?α－?sin 66?6?6??

3＋1513151

＝3＋3＝.............................................................................................1242428

分

??21．解：(1)由题意知，f(x)?a?b＝m sin 2x＋n cos 2x.

π2π

因为y＝f(x)的图像过点?，3?和点?，－2?，

?12??3?π＋ncos，?3＝msinπ66

所以?

4π4π

?－2＝msin3＋ncos3，

3m＋n，?3＝122

即?…………………………….2分

31

?－2＝－2m－2n，解得m＝3，n＝1………………………………….4分 π

(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?………….5分

6??π

由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin?2x＋2φ＋?……………..6分

6??设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．

2

由题意知，x0＋1＝1，所以x0＝0，……………………….7分 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y＝g(x)得， π

sin?2φ＋?＝1.

6??

π

因为0<φ<π，所以φ＝………………………………….9分

6π

因此，g(x)＝2sin?2x＋?＝2cos 2x………………………10分

2??π

由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，

2

π

所以函数y＝g(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ?，k∈Z………………12分

2??

22、解：设DQ=x,PB=y,?DCQ=?,?BCP=?,则AQ?1?x,AP?1?y,?QP?(1?x)2?(1?y)2,?由AQ2?AP2?QP2整理得：x?y?1?xy.....................................................................................4分在Rt?DCQ中，tan??x,在Rt?BCP中，tan??y?tan(???)?tan??tan?x?y??1............................................8分1?tan??tan?1?xy

又(???)?（0，）2????=??4...............................................................................................10分??PCQ?

?2??4??4..............................................................................12分

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