第2讲 函数的单调性与最值

第2讲 函数的单调性与最值

一、选择题

1.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为( ) A.－2

B.2

C.－6

D.6

aa

解析 由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－2，＋∞)，令－2＝3，∴a＝－6. 答案 C

2.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) 1A.y＝

1－xC.y＝ln(x＋1) 解析 ∵y＝

1

B.y＝cos x D.y＝2－x

与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)1－x

?

y＝2－x＝?

1?x

?在(－1，1)上是减?2?

上不具备单调性.∴A，B，C不满足题意.只有函数. 答案 D

3.定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a2；当a

B.1

C.6

D.12

解析 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2， 当1

∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6. 答案 C

4.已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝?1?f?－2?，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( ) ??A.c

B.b

?1??5?

解析 ∵函数图象关于x＝1对称，∴a＝f?－2?＝f?2?，又y＝f(x)在(1，＋∞)上

????单调递增，

?5?

∴f(2)??答案 B

5.f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( ) A.(8，＋∞)

B.(8，9]

C.[8，9]

D.(0，8)

解析 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， x>0，??

所以有?x－8>0，解得8

??x（x－8）≤9，答案 B 二、填空题

?1，x>0，

6.(2017·郑州模拟)设函数f(x)＝?0，x＝0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减

?－1，x<0，

区间是________.

x （x>1），??

由题意知g(x)＝?0 （x＝1），

??－x2 （x<1），

2

解析

函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的减区间是[0，1).

答案 [0，1)

?1?x

7.(2017·石家庄调研)函数f(x)＝?3?－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为

??________.

?1?x

解析 由于y＝?3?在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－

??1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3. 答案 3

2

?－x＋4x，x≤4，

8.(2017·潍坊模拟)设函数f(x)＝?若函数y＝f(x)在区间(a，a＋

logx，x>4.?2

1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.

解析 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.

答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 三、解答题

11

9.已知函数f(x)＝a－x(a>0，x>0). (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； ?1??1?，2??(2)若f(x)在2上的值域是?2，2?，求a的值. ????(1)证明 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0， ?11??11?11x2－x1

∵f(x2)－f(x1)＝?a－x?－?a－x?＝x－x＝xx>0，

??2?1?1212∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.

?1??1??1?

(2)解 ∵f(x)在?2，2?上的值域是?2，2?，又由(1)得f(x)在?2，2?上是单调增函

??????数，

2?1?1

∴f?2?＝2，f(2)＝2，易知a＝5. ??

a

10.已知函数f(x)＝2x－x的定义域为(0，1](a为实数). (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；

(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.

1

解 (1)当a＝1时，f(x)＝2x－x，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)1??11??

－?x－x?＝(x1－x2)?2＋xx?. ?12??12?

∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.

∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1].

(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；

－a当a＜0时，f(x)＝2x＋x， 当

a－2≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，

当x＝1时取得最小值2－a； 当???

a?－2＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在?0，?a?

－2，1?上单调递增，无最大值，当x＝?

a?

－2?上单调递减，在?

a

－2时取得最小值2－2a.

11.(2017·郑州质检)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝( ) A.4

B.2

1

C.2

1D.4 1

解析 当a>1，则y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝2， 此时g(x)＝－x在[0，＋∞)上为减函数，不合题意. 当0

有

a－1＝4，a2＝m，此时

11a＝4，m＝16.

31

此时g(x)＝4x在[0，＋∞)上是增函数.故a＝4. 答案 D

12.(2017·枣阳第一中学模拟)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为( ) A.[0，3]

B.(1，3)

D.(2－2，2＋2)

C.[2－2，2＋2]

解析 由题可知f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1， 若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]， 所以－b2＋4b－3>－1，即b2－4b＋2<0， 解得2－2

所以实数b的取值范围为(2－2，2＋2). 答案 D

?a，a≤b，13.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝?设函数f(x)＝－x＋3，g(x)

b，a>b.?＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________. ??log2x，0

解析 依题意，h(x)＝?

??－x＋3，x>2.当02时，h(x)＝3－x是减函数， ∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1. 答案 1

a

14.已知函数f(x)＝lg(x＋x－2)，其中a是大于0的常数. (1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围. x2－2x＋aa

解 (1)由x＋x－2＞0，得＞0，

x

当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，

当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－1－a或x＞1＋1－a}. a

(2)设g(x)＝x＋x－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，

2

ax－a

∴g′(x)＝1－x2＝x2>0. 因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数. a

则f(x)min＝f(2)＝ln2.

(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.

a

即x＋x－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.∴a>3x－x2. 令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).

?3?29

由于h(x)＝－?x－2?＋4在[2，＋∞)上是减函数，

??∴h(x)max＝h(2)＝2. 故a>2时，恒有f(x)>0.

因此实数a的取值范围为(2，＋∞).

(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围. x2－2x＋aa

解 (1)由x＋x－2＞0，得＞0，

x

当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，

当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－1－a或x＞1＋1－a}. a

(2)设g(x)＝x＋x－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，

2

ax－a

∴g′(x)＝1－x2＝x2>0. 因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数. a

则f(x)min＝f(2)＝ln2.

(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.

a

即x＋x－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.∴a>3x－x2. 令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).

?3?29

由于h(x)＝－?x－2?＋4在[2，＋∞)上是减函数，

??∴h(x)max＝h(2)＝2. 故a>2时，恒有f(x)>0.

因此实数a的取值范围为(2，＋∞).

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