高中物理中的临界与极值问题

高中物理中的临界与极值问题

宝鸡文理学院附中 何治博

一、临界与极值概念 所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。

高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从以往试题的内容来看，对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动的关系部分，对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分。

二、常见临界状态及极值条件 解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件，为了提高解题速度，可以理解并记住一些常见的重要临界状态及极值条件：

1.雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——屋面倾角为45

2.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时刻

3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰好不再滑下）—μ=tgθ。 4.物体刚好滑动——静摩擦力达到最大值。

5.两个物体同向运动其间距离最大（最小）——两物体速度相等。 6.两个物体同向运动相对速度最大（最小）——两物体加速度相等。

7.位移一定的先启动后制动分段运动，在初、末速及两段加速度一定时欲使全程历时最短——中间无匀速段（位移一定的先启动后制动分段匀变速运动，在初速及两段加速度一定时欲使动力作用时间最短——到终点时末速恰好为零） 8.两车恰不相撞——后车追上前车时两车恰好等速。

9.加速运动的物体速度达到最大——恰好不再加速时的速度。 10.两接触的物体刚好分离——两物体接触但弹力恰好为零。

11.物体所能到达的最远点——直线运动的物体到达该点时速度减小为零（曲线运动的物体轨迹恰与某边界线相切）

12.在排球场地3米线上方水平击球欲成功的最低位置——既触网又压界 13.木板或传送带上物体恰不滑落——物体到达末端时二者等速。

14.线（杆）端物在竖直面内做圆周运动恰能到圆周最高点—最高点绳拉力为零（v杆端=0）

0

15.竖直面上运动的非约束物体达最高点——竖直分速度为零。 16.细线恰好拉直——细线绷直且拉力为零。

17.已知一分力方向及另一分力大小的分解问题中若第二分力恰为极小——两分力垂直。 18.动态力分析的“两变一恒”三力模型中“双变力”极小——两个变力垂直。 19.欲使物体在

F1F2两个力的作用下，沿与

F1成锐角?的直线运动，已知

F1为定值，则

F2最

小时即恰好抵消

F1在垂直速度方向的分力。

20.渡河中时间最短——船速垂直于河岸，即船速与河岸垂直（相当于静水中渡河）。

21.船速大于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速逆向上行分速度与水速抵消。 22.船速小于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速与合速度垂直。 23.“圆柱体”滚上台阶最省力——使动力臂达最大值2R。 24.机车从静止匀加速启动过程持续的最长时间——Pt?Pe

25.损失动能最小（大）的碰撞——完全弹性（完全非弹性）碰撞。 26.简谐运动速度最大——位移（恢复力、加速度）为零。

27.受迫振动振幅恰好达最大——驱动力的频率与振动系统的固有频率相等。 28.两个同相相干波源连线上振幅最大的点——两边距连线中点x? n=0,1,2,3… x/?（?2n+1）429.只有机械能与电势能相互转化时，重力势能与电势能之和最小时，动能最大。 30.粒子恰不飞出匀强磁场——圆形轨迹与磁场边界相切。 31.纯电阻负载时电源输出功率最大——内外电阻阻值相等。 32.滑动变阻器对称式接法中阻值达最大——滑至中点。

33.倾斜安放的光滑导轨上的通电导体棒静止时，所加匀强磁场方向若垂直于斜面的情况下磁

感强度最小。

34.光从介质射向空气时恰不射出——入射角等于临界角。 35.刚好发生光电效应——入射光频率等于极限频率。

36.带电粒子恰好被速度选择器选中（霍尔效应、等离子发电）——电场力与洛力平衡。 37.“地面卫星”（氢原子处于基态）时，势能最小、总能量最小、运动周期、角速度均最小；

速度、向心力、加速度均最大。

38.等量同性质点电荷连线的中垂线上场强最大的位置求解。

三、临界与极值问题一般解法 临界问题通常以定理、定律等物理规律为依据，分析所研

究问题的一般规律和一般解的形式及其变化情况，然后找出临界状态，临界条件，从而通过临界条件求出临界值，再根据变化情况，直接写出条件。求解极值问题的方法从大的方面可分为物理方法和数学方法。物理方法即用临界条件求极值。数学方法包括（1）利用矢量图求极值（2）用正（余）弦函数求极值；（3）抛物线顶点法求极值；（4）用基本不等式求极值。（5）单调函数端点值法求极值（6）导数法求解。一般而言，用物理方法求极值简单、直观、形象，对构建物理模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学建模能力要求较高，若能将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。

四、典型问题剖析

例题1．某屋顶横断面是一等腰三角形ABC，横梁AC=2L（定值），欲使雨水从屋顶面上流下来时间最短，求屋面的倾斜角（摩擦忽略不计，雨水初速为0）

?4?2n；反相波源时

?

解析：设倾斜角α，AB=s ∵F=mgsinα=ma，∴a=gsinα ∵s=∴

=

当α=45°时，等号成立

所以α=45°，雨水从屋顶（光滑）上流下所用的时间最短解法2.

L1?gsin??t2 ?解得当?=450时 t有最小值。 cos?2

例题2．从倾角为θ的固定长斜面顶点以初速度v0水平抛出一小球，

不计空气阻力求自抛出经多长时间小球离斜面最远?

解法一：设经t秒小球距离斜面最远，此时速度必与斜面平行，则

tg??vyvx?vgt 所以 t?0tg?时小球距离斜面最远。

gv0解法二：小球远离斜面方向的初速度v0离=v0sin? 远离斜面方向的加速度a离=-gcos? 所以远离斜面的速度减小至零时相距最远。令v0离+a离t?0 则t?时相距最远。

解法三：球与斜面距离S?v0离t+a离t??显然当t??v0离v0sin?v0=?tg? a离gcos?g122gcos?2?t?v0sin??t?0 2v0sin?v?0tg?时 距离最大

gcos?2(?)g2g2x，设抛物线上任意一点P0(x0,y0)到该直线22v0解法四：解析法。选初速度方向为x轴正向，重力方向为y轴正向，则代表该斜面的直线方程为

y?tg??x 平抛物体轨迹方程为y?距离S?1Ax0?By0?C11tg??x0?(?1)y0?01 ?2222A?Btg??(?1)gcos?2?x0?sin??x0?0 22v0注意到tg??x0?y0 故S??xvsin?v02显然二次函数有极大致的条件为x0???tg? 即t?0?0tg?

gcos?v0gg2(?)2v02

例题3．一个质量为3kg的物体放在长木板上，当木板一端抬起使它与水平方向成30°的固定斜面时，物体正好可以沿斜面匀速下滑。当木板水平固定时，用多大的水平拉力能将该物体拉动？ 解析：在斜面上物体所受摩擦力与重力沿斜面向下的分力平衡 即F=mgsin30° 而滑动摩擦力f=μmgcos30°所以μ=tan30°在水平面上拉的时候压力大小等于重力大小。则水平面上的摩擦力f=μmg=mgtan30°所以拉力至少要达到这个值才能拉动物体，

例题4-1．某物体所受重力为200 N，放在水平地面上，它与地面间的动摩擦因数是0.38，它与地面间的最大静摩擦力是80 N，至少要用_________N的水平推力，才能将此物体推动，若推动之后保持物体做匀速直线运动，水平推力应为_________N；物体在地面上滑动过程中，若将水平推力减小为50 N，直到物体再次静止前，它所受到的摩擦力为_________N；物体静止后，此50 N的水平推力并未撤去，物体所受的摩擦力大小为_________N.

解析：从静止推物体时推力至少达到最大静摩擦力80N才可以推动物体；推动后当推力大小与滑动摩擦力等值（200×0.38=76N）时物体将做匀速直线运动；在物体滑动过程中水平推力若减小至50N，物体受到的滑动摩擦力仍跟原来一样为76N；物体静止后此50N的水平推力并未撤去时物体受静摩擦力大小等于此时的水平推力大小50N。

例题4-2． 如图所示，U形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m的

a 金属棒ab，ab与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L1、L1 L2 b L，回路的总电阻为R。从t=0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均

2匀变化的匀强磁场B=kt，（k>0）那么在t为多大时，金属棒开始移动。

解析：当磁场发生变化的时候，有感应电动势产生，在回路中就会产生感应电流，ab棒会受到安培力的作用，则ab有向左运动的趋势，则ab就会受到向右的静摩擦力的作用。当ab棒受到

E?安培力和静摩擦力的作用平衡时，由

???kL1L2?t可知，回路中感应电动势是恒定的，电流

大小也是恒定的，但由于安培力F=BIL∝B=kt∝t，所以安培力将随时间而增大，所以ab受到的

静摩擦力也增大，二者始终是等值反向的，只要安培力的大小没有超过最大静摩擦力，ab就始终处于静止状态。当安培力大于最大静摩擦力之后，ab就会运动起来。在静止到运动之间就存在着一个从静止到运动的临界状态，此状态的临界条件就是安培力增大到等于最大静摩擦力。

kt?此时有：

kL1L2?mgR?L1??mg,所以t?22RkL1L2

的匀强电阻均为

；

例题4-3．如图3所示两根平行的金属导轨固定在同一水平面上，磁感应强度磁场与导轨平面垂直，导轨电阻不计，导轨间距

；两根质量均为

的平行金属杆甲、乙可在导轨上垂直于导轨滑动，与导轨间的动摩擦因数均为现有一与导轨平行大小为

的水平恒力作用于甲杆使金属杆在导轨上滑动，已知

g?10ms2 求（1）分析甲、乙二杆的运动的情况？（2）杆运动

很长时间后开始，则再经过5秒钟二杆间的距离变化了多少？

解析：（1）金属杆甲在水平恒力

（这里f甲??mg?0.5牛为甲杆所受的最大静摩擦力）

作用下将向右加速运动并切割磁感线产生逆时针方向的感应电流，因而使甲杆同时受到水平向左的安培阻力

；乙杆中也因为有了电流而受到水平向右的安培动力

较小故安培力

=

=

均较小，随

，两个安培力等值反

向；开始时甲杆的切割速度的增大则回路中的感应电流

增大，所以两杆所受的安培力均增大，故甲杆将向右作加速度减小的变加速运动；当

时乙杆也将开始向右作加速度逐渐增大的变加速运动；直到甲、乙二杆的加速

度相等时（此时甲乙两杆速度差?v最大，回路中动生电流最大即

Im?BL??v0.5?0.2??v?v=?， R总0.44?v?v ?0.2?440F??mg?v乙杆的加速度最大即a乙max?Bm??5

m4F?FBm??mg?v甲杆的加速度最小即a甲min? ?15?m4?v?v且两杆的加速度相等，即15???5 所以 ?v?40m a甲min=a乙max=5m2）

ss44甲乙两杆以共同的加速度5m2 ，恒定的速度差40m 向右做匀加速直线运动。即甲相对乙

ss每杆受安培力最大即FBm?BImL?0.5?将向右做匀速直线运动而远离。

（2）依据上述分析知运动很长时间后甲乙两杆将以共同的加速度5m40m及恒定的速度差

s2s 向右做匀加速直线运动，亦即甲乙二杆间的相对运动速度为v相=40m，因而此后经过

s5秒两杆间的距离将增加L?v相?t=40?5=200m

例题4-4．如图5所示，质量为M?2kg的木块与水平地面的动摩擦因数??0.4，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N的恒力F，使木块沿地面向右做直线运动，定

滑轮离地面的高度h?10cm，木块M可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？

解析： 设当轻绳与水平方向成角θ时，对M有 Fcos???(Mg?Fsin?)?Ma

?F 整理得F(cos???sin?)??Mg?Ma

令cos???sin??A，可知，当A取最大值时a最大。 利用三角函数知识有：

图5

A?1??2sin(???)，其中??arcsin11??2，而Amax?1??2，与此相对应的角为

??90??arcsin11??2?21.8?

所以加速度的最大值为：amax?F1??2M??g?6.8m/s2

此时木块离定滑轮的水平距离为：S?hcot??25cm

说明：此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度，当木块达到一定值时，有可能使物体脱离地面，此后物体将不在沿着水平面运动。因此，F、M、μ必须满足Fsin?≤Mg。此题所给数据满足上述条件，能够达到最大加速度。

例题4-5．如图3所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为

的斜面体上，斜面质量为

，斜面与物块间的动摩擦因数为，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要

使物体m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。 （

）

图3

解析：此题有两个临界条件，当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向下。找准临界状态，是求解此题的关键。

（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力如图4所示，取加速度的方向为x轴正方向。

图4

对物块分析，在水平方向有竖直方向有

对整体有代入数值得

（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2 对物块分析，在水平方向有竖直方向有对整体有代入数值得

。 ，

综上所述可知推力F的取值范围为：

例题4-6.如图4-6所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为α的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动摩擦因数为μ（μ

T?mBg

图4-6

再以A为研究对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用．假设A处于临界状态，即A受最大静摩擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有：N?mgcos?

T?fm?mg?0,fm??N或：

T?fm?mg?0,fm??N

综上所得，B的质量取值范围是：

m(sin???cos?)?mB?m(sin???cos?)例题5-1．甲物体以v甲=4m做匀速直线运动，乙物体在其后面5m处沿同一直线同一方向做

s初速为零加速度a?2m离的最大值。

s2的匀加速直线运动，问乙物体是否可以追上甲物体？并求出其间距

解法一：（1）乙物体一定可以追上甲物体。（2）用临界法分析求极值：乙物体加速至v甲=4m前，速度小于其前方的甲物体运动速度，此阶段其间距离不断增大，当乙物体加速至v甲=4mss后，速度大于其前方的甲物体运动速度，所以在尚未追上甲物体前，其间距离不断减小，故

等速时其间距离最大。令a?t?v甲 解得t?v甲4==2s 此时相距最远 a211smax?s0?v甲?t?at2?5?4?2??2?22?9m

22解法二：（2）用抛物线顶点坐标法求极值：依据甲乙两物体各自运动规律可得出其间的距离函数S?S0+v甲?t?4121?2s 时 at?5?4t??2t2??t2?4t?5 显然当t??2(?1)22Smax4?(?1)?5-42?=9m

4?(?1)例题5-2．（宝鸡2012年二模）如图所示，质量为6kg的小球A与质量为3kg的小球B，用轻弹簧相连后在光滑水平面上共同以速度v0向左匀速运动，在A球与左侧竖直墙壁碰后两球继续运动的过程中，弹簧的最大弹性势能为4J，

若A球与左侧墙壁碰撞前后无机械能损失，试求v0的大小。

解析：这里弹性势能最大时即簧压缩量最大，亦即A与左侧墙壁碰后以v0为初速（碰墙壁无机械能损失）向右减速运动，B仍以v0为初速向左减速，但B球质量小先减至零又反向向右加速运动，二者均向右运动等速时其间距离最小，此时簧的弹性势能最大。因为碰墙壁后向右运动过程A+B系统总动量守恒，如果选向右为正方向则

mAv0?mB(?v0)?(mA?mB)vAB

又因为碰墙壁后向右运动过程A+B（含簧）系统总机械能守恒则

111mAv02?mB(?v0)2?(mA?mB)vAB2?4 222 联立求解并代入数值得v0?1m （vAB?s例题5-3．（90年全国卷）在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间距离大于L（L比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间距离等于或小于L时，两球间存在相互作用的恒定斥力F。设A球从远离B球处以速度两球连心线向原来静止的B球运动，如图12-2所示，欲使两球不发生接触，

1m） s3v0沿

v0必须满足什么

条件

解析 ： 据题意，当A、B两球球心间距离小于L时，两球间存在相互作用的恒定斥力F。故A减速而B加速。当vA?vB时，A、B间距离减小；当vA?vB时，A、B间距离增大。可见，

当vA?vB时，A、B相距最近。若此时A、B间距离x?2r，则A、B不发生接触（图12-3）。上述状态即为所寻找的临界状态，vA?vB时x?2r则为临界条件。 两球不接触的条件是：vA?vB （1）

L?SB?SA2r （2）

其中vA、vB为两球间距离最小时，A、B球的速度；SA、SB 为两球间距离从L变至最小的过程中，A、B球通过的路程。 设

v0为A球的初速度，

对于A+B系统由动量守恒定律得

mv0?mvA?2mvB0 （3）

1212mvA?mv0 （4） 22102对于B球由动能定律得 F?SBcos0?(2m)vB （5）

2对于A球由动能定律得F?SAcos180?联立解得：

v0?3F(L?2r)m

评析 本题的关键是正确找出两球“不接触”的临界状态，为vA?vB且此时x?2r 例题6．（09年江苏卷）如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、

放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有 （ ）

A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大 B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大 C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大 D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大

解析：分析本题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图象处理则可以使问题

更加简单。A、B物块在水平方向受力如右图上下，

F1为弹簧的拉力。 A从静止开始向右做加速度减小的变加速直线运动，B从静止开始向右做加速度增大的变加速直线运动，当两物块加速度相等时它们的速度差最大（因为该阶段A速度的增加值总是大于B速度的增加值），————选B.

该过程可视为B板后沿(质点)追击A物块，因为前面A物体的速度总是大于后面B物体的速度，所以其间距离不断增大（同一时间内A物的位移总是大于B物的位移），当两物体等速时其间距离最大即弹簧伸长量最大，所以弹簧的弹性势能最大。————选D

据前分析该过程A物体始终做加速度减小的加速运动（B物也始终加速但加速度增大），这种运动一直持续到A物体加速度减为零（此时B物体加速度增至F/m），即A物体速度单调增加，故末时刻速度最大。————选C.

又因外力F不断做正功，所以系统机械能不断增大，末时刻机械能最大。————排除A. 两物体的速度时间图像如下： t1时刻aA?aB?F t2时刻vA?vB且A物加速度=0 2m

例题7-1．消防队员为了缩短下楼时间，往往抱着直立于地面的竖直滑杆直接滑下（设滑杆在水平方向不能移动），假设一名质量为60kg的消防队员从离地面18m的七楼抱着竖直的滑杆以最短的时间滑下。已知消防队员的手和脚对杆之间的压力最大为1800N，手和脚与滑杆之间动摩擦因数为0.5，消防队员着地的速度不能大于6m/s，当地的重力加速度g?10m（1）消防队员下滑的最短时间？ （2）消防队员下滑过程中最大速度？

解法一（基本不等式极值法）：设消防队员先做自由落体运动1，其次匀速运动

s2求：

tt2（计算知人

与滑杆之间最大静摩擦力为900N大于重力600N），最后匀减速运动3，到达地面时恰好减速至

tv3=6m/s，则下滑时间

T=t1?t2?t3……………………………………………①

12gt?6gt1+gt1?t2?1?t322且18=…………………………………..②

又依牛顿第二定律知消防队员减速下滑的加速度最大值为

a??Nm?mgm?0.5?1800?60?10mm22?5ss 60a?gt1?6gt?6gt?65?1t3?1t3所以t3即5…..③

而依运动学公式知

108?75t1210t1?63546T=t1?t2?t3=t1???t1??50t15225t15

将②③式代入①式并整理有3t12显然因为

54025t1，

0354354t1?t1=225t1为定值，所以当225t1即t1?1.2s时 且

3546Tmin??1.2s?s?s?2.4s225?1.25

即消防队员下滑的最短时间为2.4 s，即加速1.2s、匀速0s、减速1.2s.

vmax?gt1?10?1.2m?12mss （2）消防队员下滑的最大速度即自由落体段下滑的末速度

解法二（图像法）如果消防队员首先自由落体至某速度vmax，然后立即以最大加速度

a??Nm?mgm?0.5?1800?60?10mm22?5ss匀减速至v=6m时位移恰好为18m，603s这种临界状态的v-t图像如下图中实线OAB所示，其与横轴所围成的图形“面积”恰好为18m，

显然其他任意一个含有匀速运动段的图形若面积与其相等(例如OPQM)，则底边长度必大于24s.所以先加速后减速中间无匀速运动段，历时最短。

例题7-2．（06年上海卷） (辨析题):要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏出车道，求摩托车在直道上行驶所用的最短时间。有关数据见表1。

某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静 止加速到最大速度v1=40m/s，然后再减速到v2=20m/s，

启动加速度a1 制动加速度a2 4m8ms2 s2直道最大速度v1 40m s弯道最大速度v2 20m s直道长度s 218m t1=v1v?v?...t2?12?...；t?t1?t2 a1a2你认为这位同学的解法是否合理?若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法算出正确结果。

解析：上述解法不合理，因为加速时间t1=v140?=10s， a14减速时间t2?v1?v240-20?s=2.5s a28

121a1t1??4?102m?200m， 22v?v240?20减速距离s2?1?t2??2.5m?75m 因为s1?s2?275m218m，故不合理。

22应先以a1?4m2加速到最大速度vm（并非40），又以加速度a2?8m2减速到v2?20msss所以加速距离s1?vm2恰完成218m的直道距离行驶，即为最短时间。所以加速距离s1'?，减速距离

2a1vm2?v22 s2'?2a2'''令s1?s2?218，解得 vm?36m 所以加速时间t1?svm36?s?9s， a14减速时间t2?'vm?v236?20?s?2s 故最短时间t?t1'?t2'?9s?2s?11s a28例题7-3．（2013年宝鸡市一检试题）如图所示，水平地面上有A、B两点，且两点间距离

LAB=15m，质量m=2kg的物体（可视为质点）静止在A点，为使物体运动到B点，现给物体施加一水平F =10N的拉力，求拉力F作用的最短时间。（已知地面与物块的滑动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s2）

解析：可证要使F作用时间最短，则F作用一段最短时间t1后撤去该力，使物体匀减速运动t2时间在B点恰好停止（证明见后）。

设匀加速直线运动的加速度为a1，运动的位移为s1，由题意可得：

F??mg?ma1 （1）

s1?12a1t1 （2） 2设撤去F后物体做匀减速直线运动的加速度大小为a2，时间为t2，位移为s2，由题意可得：

?mg?ma2 （3） s2?12a2t2 （4） 2a1t1?a2t2 （5） s1?s2?LAB （6）

联立解得最短的时间t1?2s （7）

32t1 滑行段的位移、初速度、加速度分2323222别为15?t1、3t1、-2，设滑行段末速度为vt，则vt?(3t1)?2?(?2)(15?t1)

22证明：设恒力F作用时间为t1，则加速段位移s1?2解得vt?15t1?60?0，故t1?2 即恒力作用时间最小需要2s。

亦即滑行至末速恰好为零所需的时间为2s (也可通过v-t图像证略) 。

例题8． 甲车以v1在平直的公路上匀速行驶，乙车在甲车后方距离甲车S处以更大的速度v2同向行驶，如果甲车的行驶速度保持不变，为了确保两车不相撞，乙车做匀减速直线运动的加速度大小至少为多大？

解法一：临界状态为乙车从v2匀减速至v1时恰好追上甲车。设乙车做匀减速直线运动的加速度最小值为a，恰追上时历时t0则v乙=v2?at0 令v乙=v2?at0=v1 解得t0?v2?v1 a12v2?v11v2?v12v22?v12v2?v1?a?()?又因为s甲=v1t0?v1? s乙=v2t0?at0?v2?

2a2a2aa(v2?v1)2令s甲+s?s乙 解得a?

2s解法二：以甲车为参照物，乙车的相对初速度为v2?v1，设加速度（亦即相对加速度）为a

22相对末速度为0，相对位移为S，则有(v2?v1)?0?2as 所以

(v2?v1)2a?

2s例题9．如图所示，竖直放置的U形导轨宽为L，上端串有电阻R（其余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外。

金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab保持水平下滑。试求ab下滑的最大速度vm。

解析：释放瞬间ab只受重力，开始向下加速运动，只要ab有速度，在ab上就会产生动生电动势，在回路中就会产生电流，由左手定则知，ab会受到向上的安培力的作用。动生电动势会随着速度的增大而不断的增大，回路中电流就会不断的增大，根据F安=BIL，安培力会不断的增大，则ab做加速度减小的加速运动，其速度不会无限的增大，当F安?mg?0时，其加速度就变为0，速度达到最大，开始做匀速直线运动。因此，在从变速运动状态变到匀速状态之间有一个速度达到最大的状态，此状态的临界条件就是ab受的的重力大小等于安培力大

mgRB2L2vmvm?22F??mgRBL 小。抓住这个临界条件，由，可得

例题10-1．如图所示，m =4kg的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37°角。要使后壁

对小球不产生力的作用小车的加速度应满足的条件？

解析：小车向左加速或向右减速时，后壁对小球的作用力N有可能减为零，这时小球将离开后壁而“飞”起来。这时细线跟竖直方向的夹角会改变，因此细线拉力F的方向会改变。所以必须先求出这个临界值。分析知在该临界状态下，

小球竖直方向平衡， 则Fcos37=mg 细线拉力水平分量使得小球在水平方向加速，则Fsin37?ma 联立解得 小车向左加速或向右减速的加速度大小至少为a=g?tg37

例题10-2.一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a(a＜g)匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。 解析：以拴接于簧下的物体为研究对象，设物体与平板整体向下运动的距离为x时，物体受重力mg和弹簧的弹力F=kx及平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有：

mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma

000x?当N=0时，物体与平板分离，所以分离时

m(g?a)k

1t?x?at22依，则

2m(g?a)ka。

例题10-3．如图1所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的

水平面运动，A与B的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A

F A B 与B一起运动时的水平力F的范围。

60° 解析： 当水平推力F很小时，A与B一起做匀加速运动，当F较大时，

图1

B对A的弹力FN竖直向上的分力大小等于A的重力时，地面对A的支持FFy 力FNA为零，此后，物体A将会相对B滑动。显而易见，本题的临界条件是

A Fx 60F 水平力F为某一值时，恰好使A沿A、B接触面向上滑动，即物体A对地面的压力恰Mg 图2 好为零，受力分析如图2。

对整体有：F?2M?a；

?F?Fsin60?Ma， F?0NNA隔离A，对于的临界状态有

FNcos60??Mg?0。

解得：F?23Mg

所以F的范围是0≤F≤23Mg

?例题10-4．某斜面放在水平地面上，倾角??53，一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在斜面

顶端，如图3所示。斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以10m的弹力。（g取10ms2s2的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球

a ）

θ 图3 解析：斜面由静止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会随着a

的增大而减小，当a较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减少，当a增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。而题中给出的斜面向右的加速度a?10ms2，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小

球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。

设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a0，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图4所示。显然有

2mg?ctg??ma0 代入数据解得a0?7.5m/s

? ma0

G 图4

2因为a?10m/s＞a0，所以小球已离开斜面，斜面的支持力FN?0。

同理，由受力分析可知，细绳的拉力为：

T?(mg)2?(ma)2?2.83N

此时细绳拉力T与水平方向的夹角为：??arctgmg?45 ma例题10-5．如图8所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道位于竖直平面内，其最低点与水平地面相切于A点，一个质量为m的小球以某一速度从C点冲上轨道，当小球将要从轨道口B点飞出时，轨道的压力恰好为零，则（1）小球到达B点的速度为多大？（2）落地点C距A处多远？

解析：小球在B点受重力mg、轨面向下的弹力NB，依牛顿

vB2vB2?mg=0 第二定律有mg?NB?m 而依题意知NB?mRR所以 vB=Rg 4R 所以落点C到轨道最低点A距离为g小球离开B点后平抛运动历时t?

x?vB?4R?2R g例10-6.(99年全国卷)如图示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为(参考答案:C) A.m1g/k1 B.m2g/k2 C.m1g/k2 D.m2g/k2

【解析】此题属于较为简单的问题，是考察胡克定律及共点力平衡条件的题目．题中物体间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出．缓慢上提过程，说明整个过程系统始终处于一种动态平衡状态，直至m1离开上面的弹簧．同时还应注意m1刚离开上面弹簧的临界状态是该簧恰处自然长度。初态时下面的弹簧被压缩，其压缩量为(m1 + m2)g／k2，而ml刚离开上面的弹簧时，下面的弹簧仍处于压缩状态，压缩量为m2g／k2，因此m2移动距离△x＝(m1 + m2)·g／k2 - m2g／k2＝mlg／k2．选C.

例题11-1．.汽车在平直的水平路面上以20m行的加速度大小为2ms的速度匀速行驶，关闭发动机油门后匀减速滑

s2，最远还可以滑行多少距离？

vt2?02202?02??100(m) 解析：最远还可以滑行s?2a2?(?2)例题11-2．如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁感应强度为B，质量为m，

电荷量为e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，

欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？ 解析：带电粒子射入磁场后，由于速率大小的不同，导致粒子轨迹半径不同，如图所示。当速率最小时(设为v1)，粒子恰好从d点射出，由图可知其半径r=L/4，

mv1eBL，得v1? 当速率最大时(设为v2)，粒子恰 Be4mL222好从c点射出，由图可知其半径R满足R?L?(R?) 即

25LR?，

4mv25eBL又依据R? 故v2?

eB4m再由r?所以电子速率v的取值范围为：。

点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的方向，由于入射粒子的速度大小不

同，则其运动轨迹半径不同，处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图，本题特别需要注意的是有两种临界状态。

例题12．排球场总长18m，设球网高度为2m，运动员站在离网3m的线上正对网前跳起将球水平击出．（球飞行中阻力不计）

（1）设击球点在3m线正上方高度为2.5m，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界；

（2）若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．（g=10m/s2） 解析：（1）排球在3米线上方距地面2.5m处被水平击出后做平抛运动，若正好压在端 线上，则在空中飞行时间t1?越界的临界击球速度值为

2?2.52?s，所以排球不g2v1?122?0.510?122m/s。如果排球恰好不触网，则在空中飞行时间t2??s，所t1g103?310m/s。综上击球的速度在t2以排球不触网的临界击球速度值为v2?310m/s?122m/s才能使球既不触网也不出界；

（2）若击球点在3m线正上方的高度小于某个值（设在3m线正上方距离网顶部高度L处），水平击球成功的“速度上下限范围将缩窄至零”，即无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界。根据上述（1）中的计算可知，排球被水平击出后做平抛运动，若正好压在端线上，则在空中飞行时间t1/?2?(2?L) ，排球不越界的临界击球速度值为

gv1/?12g2L/ ；如果排球恰好不触网，则在空中飞行时间，所以排球?12t?2/t12(2?L)g3g。令“速度上下限范围缩窄至零”，即?3/t22L不触网的临界击球速度值为v2/?v1/?12gg亦即16L=2+L 所以L=2/15≈0.13米 即在3米线上方水平?v2/?32(2?L)2L击球时若击球点高度低于2.13米不是触网便是出界。

例题13．如图在光滑的水平台上静止着一块长50厘米，质量为1千克的木板，板的左端静止着一块质量为1千克的小铜块(可视为质点)，一颗质量为10克的子弹以200米/秒的速度射向铜块，碰后以100米/秒速度弹回。问铜块和木板间的摩擦系数至少是多少时铜块才不会从板的右端滑落，（g?10ms2）

解法一：子弹与铜块碰撞过程总动量守恒，根据动量守恒定律有

0.01?200=0.01?（-100）+1?v铜 解得v铜=3m

s同理可求得不滑落时铜块与木板最终的共同速度为vt?依能量转化关系有

1?3?1.5m

s1?111?1?32=?（1+1）?1.52+??1?g?0.5 解得 ?=0.4 522s解法二：以木板为参照物铜块的初速度为v0?3m 临界末速度vt?0 位移s=0.5m 加速度a??(?g??m铜gm板（-2?g?0.5） 解得?=0.45 )=-2?g 所以02-32=2例题14．如图所示，将一个质量为m的小球先后栓接在轻质细绳和细杆

的一端，绳和杆子的长度相同，为使小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，经最低点时绳子的拉力T1为 ，杆子的拉力T2为 。 解析：轻绳端连物在竖直平面上做圆周运动到达圆周最高点的速度v绳高=rg v杆高=0 依机械能守恒定律可以求得在圆周最低点响应速度分别为

v低绳=5rg v低杆=4rg 因为小球在圆周最低点时超重 所以 T1?mg?m5rg4rg?6mg T2?mg?m?5mg rr22例题15． 将物体以一定初速度竖直向上抛出，已知该物体除受重力外还受到一个向右的水平

恒力作用，若选抛点为原点，向右和向上分别为x、y轴正方向，已知其运动轨迹的最高点M横纵坐标分别为3和2，若已知重力加速度g=10ms2

求①落回到x轴的N点时的横坐标②落回到N点时的速度大小。

解析：①设上升、下落段历时分别为t1、t2，分析y方向的竖直上抛分运动知t1=t2=v0 g又因为x方向的分运动是初速为零的匀加速直线运动，所以前后两端位移之比为x1:x2?1:3 所以x2?3x1?9 即 xN?12

②落至N点时竖直分速度 vNy?v 010?2?40?2gyM?2??1水平分速度 vNx?ax?(1t?2t)?a t x2而3?12axt1 2

2?3v13gxt12 两式相比知ax?g 所以 vNx?g?20?36g

2g22所以落至N点的速度 vN?vNx2?vNx2?40g?20m

s0例题16-1．如图所示，一个质量为m的小球，用两根等长的细绳1、2连接在车厢的A，C两点，已知两绳拉直时，与车厢前壁的夹角均为45，试求当车厢以多大加速度向左做匀加速直线运动时连接于C点的细绳2恰好被拉直。

解析：连接于C点的细绳2恰好被拉直时，其张力为零（等效于剪去该绳2）则因为小球在

00竖直方向的平衡有mg?TAcos45，在水平方向同于车厢加速度（设为a）则TAsin45=ma

联立解得车厢加速度a?g

A a

C

例题16-2．如图所示，当AC、BC两绳都拉直时，与轴的夹角分别为30°和45°，若要使小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动将两绳都拉直，小球最小角速度为多少（已知AC绳子长度为L）？

解析：设临界角速度为?，即角速度小于该值时BC绳子将松弛，故以该临界角速度运动时，等效于剪掉BC绳子，且AC绳子与转轴夹角仍保持30，设此时AC绳子张力为TAC则因小

00在水平方向做匀速圆周运动有球在竖直方向平衡有mg?TACcos3，

00m?2?Lsin3?0TACsi 0n 3 0联立解得?=23g 3L例题17． 已知力F的一个分力F1的方向及另一个分力F2的大小，求F1的大小，并就解的情况加以讨论。

解析：此类分解问题因已知分力F2的大小不同将有以下四种不同的结果：

①当

形，故无解。 ②当③当个解。 ④当

时，以F2为半径的圆与F1方向线没有交点（相离），不能构成一个平行四边

时，以F2为半径的圆与F1方向线有一个交点（相切），故此情形有唯一解。

时，以F2为半径的圆与F1方向线有两个交点（相割），故此情形有两

时，以F2为半径的圆与F1方向线有一个交点，此情形有唯一解。

例题18-1．如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑的斜面上，斜面倾角为?，在斜面上有

一个光滑的薄木板挡住球，使之处于静止状态，今使木板与斜面的夹角?从很小开始缓慢增大，问在此过程中，球对木板和球对斜面的压力大小如何变化？ 解法一（函数计算法）：

球体受力如下图所示。在木板与斜面的夹角?从很小开始缓慢增大过程中可认为球体总是处

0于平衡状态，依据平衡条件，在水平方向有 N1sin??N2cos(90????)…①

在竖直方向有 N1cos??G?N2sin(90????) …… ② ①②式联立解得

N2=sin?G sin?

N1=G00 显然随?在0-180范围的增大ctg(???)单调减小，故N1cos??sin?ctg(???)0n最小。 单调减小。而N2随?角度的增大先减后增，即?=90时 N2=Gsi?解法二（矢量图解法）：

C

对平衡状态的球体进行受力分析如图所示，三个力的合力为零.其中重力

B A O G 图17-2

D

G的大小和方向都不变；斜面对球体的弹力N（解法一中的N1）方向不变，大小可变，暂称为“单变力”； 挡板对球体的弹力F（解法一中的N2）方向随挡板逆时针转动而转动暂称为“双变力”，画出其矢量三角形如图所示.在这变化过程中，由图直接可以看出，N一直减小，而F先减小后增大.当F与N垂直（解法一中?=90）时，F的值最小；当F转至竖直向上（挡板水平，即解法一中?=180-?）时，N减小到零，F大小等于G。

例题18-2. 如图17-2所示，将一物体用两根等长OA、OB悬挂在半圆形架子上，B点固定不动，在悬挂点A由位置C向位置D缓慢移动的过程中，物体对OA绳的拉力变化是（ ） A.由小变大 B.由大变小 C.先减小后增大 D.先增大后减小

解析：在进行动态分析时，首先找到不变的恒力和力发生变化的临界点

悬挂点A由位置C缓慢移动的过程中，每个位置都处在平衡状态，合力为零。

以结点O为研究对象，受三个力的作用而处于平衡状态，因此三个力必构成一个闭合矢量三角形。因重力的大小和方向始终不变，BO绳的拉力方向不变，在AO绳由位

TB 置C到D移动过程中可以做出一系列的闭合的三角形，如图4所示。由图可知

TA1 OB绳的拉力由小变大，OA绳的拉力由大变小，当OA垂直于OB时绳OA的

拉力达到最小值，此时，绳OA的接力由减小到增大的临界点。则C正确。 TA2 【思维总结】作矢量图时，每个三角形所表示重力边的长度、方向都不变，TB

TA3

的方向不变，然后比较做出的各个三角形表示有哪些不同。要特别注意是否存G TA4 在极值和临界点，这是判断力变化的关键。

图4

例题19． 一个质点在F1和F2两个力的作用下，沿与F1成30°角的直线运动，已知F1＝10N，要使F2为最小值，F2应该等于多少

解析 ：物体由静止开始做直线运动，合力方向一定是物体运动方向。所以将F1正交分解成一个沿运动方向与一个垂直运动方向的力。此时，垂直运动方向的分力必须得抵消掉，即F2大于等于F1的垂直运动方向分力，所以F2最小值为5N，方向是垂直运动方向。 例题20． 证明小船渡河速度垂直于水流速度时渡河时间最短。 证明 设河宽为d，船速为v，船速与水速夹角为? 则渡河时间

00t?

dd0 显然当 ?=90时tmin? （如下图所示）

vsin?v

例题21． 证明 如果小船速度大于水流速度时，小船渡河的最短航程即为河流宽度。

解析；小船“斜逆航行”渡河，且船速逆向上行的分位移与水流引起小船漂流的分位移抵消， 即船逆向上行的分速度与水的漂流速度抵消，所以小船的合速度与河岸垂直，到达对岸时的位移即是河宽。（如下图所示）

例题22． 证明如果小船速度小于水流速度时，船速垂直于合速度时小船渡河的航程最短。

解法一（正弦函数法）；

如图所示，取水流方向为X轴正向，小船初始位置为坐标原点，设水速、船速分别为vs、vc船速与X轴负方向所夹锐角为?

河流宽度为d，渡河后到达彼岸P点，则航程s?d2?x2 而x?vs?t?vccos??t?(vs?vccos?)?d

vcsin?变形为 xvcsin??vcdcos??vsd 再变形为

x2?d2(xx2?d2sin??ddx2?d2cos?)?vsd vc令xx?d22=cos?

x?d22=sin?

（?+?）?则上式变为x?dsin22vsv1d 所以S?sd? vcvcsin(???)vsd（如下图所示） vc0显然当?+?=90（即船速垂直于合速度）时 Smin?解法二（矢量图解法）：

如图所示，船速（图中矢量圆半径）大小一定，方向可以调整变化，而水速（大小方向均一定）与船速的合速度与AB夹角越大，则渡河航程越大（即到达彼岸的位置举B点越远），只有当合速度与该矢量圆相切时航程最短。

小船渡河两类问题的三种矢量图比较

例题23． 如图所示，工人师傅想把一个重800N的油桶滚上一个台阶，他沿最省力的方向推动油桶，在图中画出这个力和它的力臂。

解析： 上滚过程必以台阶边缘O为转轴，故过O点做直径OP，过P点做OP的垂线PA。则OP为力臂，沿PA即为所加拉力方向。 例题24．甲车在平直公路上以v1匀速行驶，乙车在甲车后面距离甲车ｓ处以更大的速度v2同向匀速行驶，为确保甲乙两车不相撞，在甲车仍以v1匀速行驶的情况下，乙车做匀减速直线运动的加速度大小至少为多少。

解析：以甲车为参照物，乙车初速为v2?v1，临界状态时末速为０，匀减速运动的加速度大

(v2?v1)2小为a，位移为ｓ，则有0?(v2?v1)?2(?a)s 解得a?

2s225例题24．一列火车总质量m=500t，机车发动机的额定功率pe?6?10w，行驶时轨道对列车

的阻力f是车重的0.01倍，求（1）列车行驶的最大速度.（2）若从静止开始保持a?0.5m的加速度匀加速运动的最长时间。

解析：（1）列车加速的加速度减小至a=0时速度最大，设为vmax则pe?f?vmax

s2pe6?105??12m 所以vmax=3sf0.01?500?10?10（2）机车瞬时功率pt?F?vt?(ma?f)?at?pe

pe6?105??4s 所以t?(ma?f)?a(500?103?0.5?0.01?500?103?10)例题25． 试证明完全非弹性碰撞中的机械能损失最大。

证明：设质量为m2的小球2静止于水平面上，质量为m1的小球1以速度v1与其对心碰撞，并设碰后小球1、2的速度分别为v3、v4，依据动量守恒定律有m1v1?m2?0?m1v3?m2v4 所以v4?m1(v1?v3) ……① m2该碰撞过程系统机械能损失

m111E?m1v12?m1v32?m2v42 将v4?1(v1?v3)代入并整理得

m2222m1m12v1m2E?-(m1?m2)?v3??v3?1(m2?m1)v12 显然机械能损失量E是关于v32m2m22m2的二次函数，其二次项系数小于零。所以当v3?m1v1 时E最大，代入①式知

m1?m2此时v4?m1m1(v1?v3)=v1?v3 故碰后两球等速，即合为一体。 m2m1?m2例题26． 以弹簧振子为例，分析简谐运动过程的位移、恢复力、加速度、速度、动量、动能、

势能、机械能的变化情况。

解析：简谐运动过程八个物理量变化可用如下的菱形图所示。其中A、O、C分别表示弹簧振子（泛指简谐运动）的最大位移处和平衡位置，如果振子从A向O运动，则

122kx12AB的降势反映了振子x、kx、、kx的变化趋势，

m21212AO的水平态势反映了振子机械能mv?kx守恒，

22AD的升势反映了振子v、mv、mv的变化趋势，

同理从O向C的运动过程分别用DC、BC、OC表示其变化趋势。

显然振子在平衡位置O处时速度、动量、动能最大；在A(C)处时位移、回复力、加速度、振动势能最大，振动过程机械能保持不变。

例题27．铁道上每根钢轨长12.5 m，若支持车厢的弹簧和车厢组成的系统固有周期为0. 5s，那么当列车以_________速度行驶时，车厢振动最厉害。

解析：列车行驶过程每当车轮滚动至两节钢轨缝隙处就会受到向列车后上方的冲击力，这种

T驱?冲击力的驱动作用周期

12.5v车，列车在该力作用下做受迫振动，当驱动力的周期与振动系

统的固有周期相等时就发生了共振，车厢振动得最厉害。

令

T驱=T固=0.5 所以

v车=S212.5=25（ms）0.5

例题28．在同一均匀介质中有

S1、两个波源，这两个波源的频率、振动方向均相同，且振

动步调完全一致，在该连线上除

S1、

S2之间相距8m（已知波长?=4m），O点为

S1、

S2连线的中点，求

S1、

S2两波源外振动幅度最大的点的位置？

解析：因为两个波源同相位，所以连线中点O必为振动加强点，且两边各距离中点

??2=2m4处也为振动加强点，振动幅度最大。

例题29．水平向右的匀强电场场强未知，悬点O有一长为l的细线下端系质量为m、电量为+q小球。把小球拉到水平位置A由静止释放，小球摆到C点，即由C点重新摆回。如图所示，已知OC与竖直方向成30°角，求小球在运动过程中的最大速度。

解析：分析知小球平衡位置必在?AOC平分线上，即在竖

0直线右侧30处。所以qE?mg?tg30 在该位置（图中B

0点）时小球势能最小，故动能最大。对从A到B过程依动能定理有 mglsin60?qElcos60?001mvB2?0 将qE?mg?tg300代入解得 2vB?23gl 3例题30-1．如图6所示，在边界为CD、EF的狭长区域内，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸而向里，磁场区域宽度为d，电子以不同的速率v 从边界CD的S处沿垂直磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ．已知电子的质量为m，带电量为e。为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足什么条件（不计重力）？

解析：由，可知当m、e、B一定时，速率v大则轨迹半径R亦大。

设当电子以速率v0射入磁场时，其运动轨迹恰好与边界EF相切，则有

……①

圆心确定：过S点做V0垂线必过圆心；做V0与EF夹角平分线必过圆心。可得圆心O，从而画出电子的轨迹（如图7所示）。

由图7，运用几何知识不难发现

②

由①、②解得

例题30-2．（2004年广东省高考试题）如图9所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0．60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3．0×106m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5．0×107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。

解析：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有qvB=mv2/R，

由此得 R=mv/qB，代入数值得R=10cm。

可见，2R>l>R，如图9所示，因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点。为定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，

以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。

，

再考虑N的右侧。任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。 由图中几何关系得

，所求长度为 P1P2=NP1+NP2，代入数值得 P1P2=20cm。

点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小，其对应的轨迹半径也就确定了。但由于入射速度的方向发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图（对应的临界状态的速度的方向），再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围。 例题31-1．阻性负载时电源最大输出功率的求解。

P出?IR?(2?R?r)R?2?2R(R?r)2?4Rr??2(R?r)2?4rR

解法一、电源的输出功率为

当R=r时，P出有最大值，即

Pm??24R??24r

解法二、电源输出功率为

P出?IR?(2?R?r)R?2?2r(Rr?)R?rR?r 因为RR?rr?0R?r 0

RrRr??1?R?rR?r为定值 所以当R?rR?r时 P出有最大值，

即

Pm??24r

解法三、电源输出功率为

P出?Iu?I?(??Ir)?-rI??I?02I?? 显然当

??2r??2r 时

P出有最大值，即

Pm??24r

Ir(??Ir)r

解法四、电源输出功率为

P出?Iu?I?(??Ir)?因为Ir0 (??Ir)0 Ir?(??Ir)??为定值，所以当Ir?(??Ir)时

P出有最大值，即

Pm??24r

解法五、电源输出功率为

?P出?Iu??-u1?u??u2?u?0rrr 所以当

u??r12(?)r??2 时

P出有最大值，即

Pm??24r

P出?Iu??-uru?解法六、电源输出功率为

(??u)ur 因为(??u)0 u0

(?-u)?u??为定值 所以当(??u)?u时

P出有最大值，即

Pm??24r

解法七、电源输出功率为

P出?Iu?uu1uu(??r)??r?(??r)RRrRR因为(??ur)Ru0 rR0

uuuur?(??r)??(??r)?rRRRR时 为定值，所以当

P出有最大值，即

Pm??24r

P出?IR?2?2(R?r)2R??2r2R??2rR

解法八、电源输出功率为

因为Rr2r2r22?0R??rR??RR时 为定值 所以当0 RP出有最大值，即

Pm??24r

解法九、电源输出功率为

P出?IR?(2?2R?r2)R??2(R?r2)R 因为R0

rR0 且R?r?r为定值 R所以 当R=r时输出功率最大。 RP出?IR?2?2(R?r)2R??2r2R??2rR

例题31-2．如图，电源的电动势E=10V，r=1欧，R1=5欧，R2的最大值为20欧，求①R2 取何值时R2消耗的功率最大？②R2取何值时R1消耗的功率最大？

解析：①利用上题结论，将R1看成电源内阻的一部分，则r’=r+R1，R2的滑片从最右端向左端滑动的过程中，R2上的输出功率在不断的增大当R2=r+R1时R2上功率达到最大，随后输出功率开始减小，即R2=r+R1是临界条件。利用临界条件就有R2=1欧+5欧=6欧，此时R2上消耗的功率最大。

（②R1消耗的功率P1?E1022）?R1?（）?5 显然是R2的单调减函数，所以当

R1?r?R25?1?R2R2取端点值，即R2=0时 P1max?125瓦 9例题32．阻值为R0的滑变采用对称式接法，求其阻值的最大值。 解析： R=

R左（R0-R左） 因为R左?0 R0?R左?0 且（R0?R左）+R左=R0为定值

R0所以 当R左=R0R时，R最大，此时电阻 Rmax?0。 24例题33．在倾角为θ的斜面上，放置一段通有电流强度为I，长度为L，质量为m的导体棒a，

（通电方向垂直纸面向里），如图所示，棒与斜面间动摩擦因数μ< tanθ。欲使导体棒静止在斜面上，应加匀强磁场，磁感应强度B最小值是多少？如果要求导体棒a静止在斜面上且对斜面无压力，则所加匀强磁场磁感应强度又如何？

解析：（1）设当安培力与斜面成α角时B最小，则由平衡条件得： mgsinθ＝μFN＋BILcosα，FN=mgcosθ＋BILsinα．

解得

∴当α＋β=90°时，

（2）当FN=0时，则BIL＝mg，∴BIL=mg，由左手定则知B方向水平向左．

例题34-1．在水下H=1m深处有一点光源,求该点光源所能照亮的水面面积S（水的折射率n=4/3）

解析 ：临界状态时sinC=RR2?H2

又因为sinC=

H1 解得R=所以照亮的

2nn?1水面面积为S=?R=代值得 S=

2?H2n?129? 7r 例题34-2．半径为r、厚度不计的圆形木的中心插一根钉子，如图所示，漂浮在水面上．调节钉子在木板下方的长度，当水面下的钉长为h时，在水面上从木板边缘

h

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