高中物理相遇和追击问题

相遇和追及问题分析

1.相遇和追及问题的实质:研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。

2.画出物体运动的情景图，理清三大关系（1）时间关系：tA?tB?t0（2）位移关系：sA?sB?s0（3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

3.两种典型追及问题

（1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）

①当v1=v2时，A末追上B，则A、B永不相遇，此时两者间有最小距离；②当v1=v2时，A恰好追上B，则A、B相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；③当v1>v2时，A已追上B，则A、B相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。

（2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）

①当 v1=v2 时，A、B距离最大；②当两者位移相等时,有 v1=2v2且A追上B。A追上B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。

4.相遇和追及问题的常用解题方法:画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。 1)基本公式法—根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解2)图像法—正确画出运动的v-t图像,根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解3)相对运动法—巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解4)数学方法—根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解。

5.追及和相遇问题的求解步骤

两个物体在同一直线上运动，往往涉及追及，相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时达到空间某位置。基本思路是：①分别对两物体进行研究；②画出运动过程示意图；③列出位移方程④找出时间关系，速度关系⑤解出结果，必要时进行讨论。

(1)追及问题：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。 第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀减速直线运动）

① 当两者速度相等时,追者位移追者位移仍小于被追者位移,则永远追不上,此时两者之间有最小距离。 ② 若两者位移相等,且两者速度相等时,则恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。

③ 若两者位移相等时,追着速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,当速度相等时

1

两者之间距离有一个最大值。

在具体求解时,可以利用速度相等这一条件求解,也可以利用二次函数的知识求解，还可以利用图象等求解。

第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（匀速直线运动）。 ① 当两者速度相等时有最大距离②当两者位移相等时，则追上

具体的求解方法与第一类相似，即利用速度相等进行分析还可利用二次函数图象和图象图象。 (2)相遇问题

① 同向运动的两物体追及即相遇②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时相遇

6.分析追及，相遇问题时要注意

(1)分析问题是，一个条件，两个关系。一个条件是：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等。两个关系是：时间关系和位移关系。

时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处。

(2)若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意，追上前该物体是否已停止运动。仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖出题目中的隐含条件，如“刚好”，“恰巧”，最多“，”至少“等。往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。

7.追及问题的六种常见情形

(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体：这种情况定能追上，且只能相遇一次；两者之间在追上前有最大距离，其条件是V加 = V匀

(2)匀减速直线运动追匀速直线运动物体：当V减 = V匀时两者仍没到达同一位置，则不能追上；当V减 = V匀时两者正在同一位置，则恰能追上，也是两者避免相撞的临界条件；当两者到达同一位置且V减＞ V时，则有两次相遇的机会。

(3)匀速直线运动追匀加速直线运动物体：当两者到达同一位置前，就有V加 = V匀，则不能追上；当两者到大同位置时V加 = V匀，则只能相遇一次；当两者到大同一位置时V加＜ V匀则有两次相遇的机会。

(4)匀速直线运动物体追匀减速直线运动物体：此种情况一定能追上。 (5)匀加速直线运动的物体追匀减速直线运动的物体：此种情况一定能追上。

(6)匀减速直线运动物体追匀加速直线运动物体：当两者在到达同一位置前V减 = V加，则不能追上；当V减 = V加时两者恰到达同一位置，则只能相遇一次；当地一次相遇时V减＞ V加，则有两次相遇机会。（当然，追及问题还有其他形式，如匀加速追匀加速，匀减速追匀减速等，请同学们独立思考）。

8.典型例题

匀

2

例1.A火车以v1=20m/s速度匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞,a应满足什么条件？

解1：（公式法）两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由A、B 速度关系： v1?at?v2由

12(v1?v2)2(20?10)2A、B位移关系： v1t?at?v2t?x0a??m/s2?0.5m/s2?a?0.5m/s2

22x02?100解2：（图像法）在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100.

1?(20?10)t0?1002?t0?20sa?tan??20?10?0.5 20?a?0.5m/s2

物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移。

解3：（相对运动法）以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。

2vt2?v0?2ax0a?2vt2?v00?102?m/s2??0.5m/s2 2x02?100（由于不涉及时间，所以选用速度位移

?a?0.5m/s2备注：以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。

解4：（二次函数极值法）若两车不相撞，其位移关系应为v1t?1at2?v2t?x0代入数据得：

21124?a?100?(?10)2?aat?10t?100?0其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有2?0214?a2?0.5m/s2把物

理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。

例2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

解1：（公式法）当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则

2

v汽?at?v自?t?v自6?s?2s a3?xm?x自?x汽?v自t?11at2?6?2m??3?22m?6m 223

解2：（图像法）在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。

v-t图像的斜率表示物体的加速度

6?t0?tan??3t0?2s

当t=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积?xm?1?2?6m?6m 动态分析随着时间的推

2移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律.

解3：（相对运动法）选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v0=-6m/s，a=3m/s，两车相距最远时vt=0

对汽车由公式vt?v0?at（由于不涉及位移，所以选用速度公式）t?2

vt?v00?(?6)?s?2s a32对汽车由公式 ：vt2?v0?2as （由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式。）

2vt2?v00?(?6)2s??m??6m表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位

2a2?3移为向后6m.

解4：（二次函数极值法）设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则

13?x?v自t?at2?6t?t2当t??22632?(?)2?2s时，??xm??6234?(?)2?6m

思考：汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？

?x?6t?32t?0?T2?4sv汽?aT?12m/ss汽?1aT2＝24m 2例3.一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？(以g表示重力加速度)

解：设圆盘的质量为m，桌长为l，在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为a1，有

?1mg?ma1桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以a2表示加速度的大小，有 ?2mg?ma2设盘刚离

开桌布时的速度为v1，移动的距离为x1，离开桌布后在桌面上再运动距离x2后便停下，

22有 v1?2a1x1v1?2a2x2盘没有从桌面上掉下的条件是 x1?x2?l 2设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x，有

x?121l??2?2atx1?a1t2而 x??x1由以上各式解得 ：a?1?1g 222?2例4.一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆

自行车以v0＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前

4

经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？

解析： 法一：用临界条件求解．

v

(1)当汽车的速度为v＝6 m/s时,二者相距最远，所用时间为t＝＝2 s,最

a1

远距离为Δs＝v0t－at2＝6 m.

2

1

(2)两车距离最近时有v0t＝at2解得t＝4 s汽车的速度为v＝at＝12 m/s.

2法二:用图象法求解．

(1)汽车和自行车的vt图象如图所示，由图象可得t＝2 s时，二者相距最远．最1

远距离等于图中阴影部分的面积，即Δs＝×6×2 m＝6 m.

2

(2)两车距离最近时，即两个vt图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v＝12 m/s. 法三:用数学方法求解．

－v01

(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为Δs＝v0t－at2因二次项系数小于零，当t＝＝2 s时

21?2×??－2a?11

有最大值，最大值Δsm＝v0t－at2＝6×2 m－×3×22 m＝6 m.

22

1

(2)当Δs＝v0t－at2＝0时相遇得t＝4 s，汽车的速度为v＝at＝12 m/s.

2

分析追及、相遇问题的常用方法1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景2)相对运动法：巧妙地选取参考系,然后找两物体的运动关系3)极值法：设相遇时间为t,根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论,若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0,说明追不上或不能相碰4)图象法：将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解.

一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申

A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A在前，速度为vA＝10m/s，B在后，速度为vB＝30m/s，因大雾能见度低，B车在距A车500m时，才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过1800mB车才能停下，问：(1)车若要仍按原速前进，两车是否相撞？试说明理由。(2)B在刹车的同时发出信号，A车司机在收到信号1.5s后加速前进，A车加速度为多大时，才能避免事故发生？（不计信号从A传到B的时间）

第一问的解法如下：

解：先求B车从刹车到停下来所需时间tB 由sB =1vB·tB得 tB=2sB =2×1800s=120s

2vB30s0 sA 再求在相同的时间内A车通过的位移sA,sA=vA·tB=10×120m=1200m

sB 最后比较sA+s0和sB的大小关系即可判断结果.由于sA+s0=(1200+500)m=1700m故sA+s0＜sB由位置关系图可知两车会相撞。

提问1：通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？

解：设B车刹车后经过时间t两车相遇，依题意有sA+s0=sB而sA=vA·t，sB=vB·t+1at2（其中a为B

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