2018届福建省莆田第一中学高三第四次月考数学（理）试题Word版含答案

莆田一中2018届第四次月考理科数学试卷 2018.05.04

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

1.已知集合M?{x|x2?1}，N?{x|ax?1}，若N?M，则实数a的取值集合为（ ） A．{1} B．{?1,1} C．{1,0} D．{1,?1,0} 2.复数

5的共轭复数是（ ） i?2A．2?i B．?2?i C．?2?i D．2?i 3. 以下有关命题的说法错误的是（ ） ．．

A. 命题“若x2?x?2?0，则x??1”的逆否命题为“若x??1，则x2?x?2?0”

2B. “x?x?2?0”是“x?1”成立的必要不充分条件

C. 对于命题p:?x0?R，使得x0?x0?1?0，则?p:?x?R，均有x2?x?1?0 D. 若p?q为真命题，则?p与q至少有一个为真命题

4.执行如图所示的程序框图，如果输入的t?[?2,2]，则输出的S属于（ ） A．[?4,2] B．[?2,2] C．[?2,4] D．[?4,0]

2

第4题图 第5题图

5.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ） A．3 B．6 C．23 D．26 2?x2y26.?ABC中，?B?，A、B是双曲线E:2?2?1的左、右焦点，点C在E上，且

3abAB?BC，则E的离心率为（ ）.A．5?1 B．3?1 C.

3?13?1 D． 227.中国古代有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）

A．174斤 B．184斤 C.191斤 D．201斤

8.已知奇函数f(x)，当x?0时单调递增，且f(1)?0，若f(x?1)?0，则x的取值范围为（ ） A．{x|0?x?1或x?2} B．{x|x?0或x?2} C. {x|x?0或x?3} D．{x|x??1或x?1}

9.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0到9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ） A．

?个单位长度后与函数y?sin?x图像重合，则?的

3311513最小值为（ ） A． B． C. D．

222210. 若??0，函数y?cos(?x?2311 B． C． D． 510510

?)的图像向右平移

11.在?ABC中，B?60?，AC?43，AC边上的高为2，则?ABC的内切圆半径r?（ ）

A．22 B．2(2?1)

C．2?1

D．2(2?1)

12.如图，在四棱锥P?ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形

ABCD的中心且AB?2，设点M、N分别为线段PD、PO上的

动点，已知当AN?MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点， 则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）

A．

9? 2B．

16? 3C．

25?64?D． 49二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

?y?x?13.若x,y满足约束条件?x?y?1，则z?2x?y的最大值是 ．

?y??1??61?x??14. 若???的展开式的常数项是________．

xx??15.已知向量a，b，c满足a?b?2c?0，且a?1，b?3，c?2，a?b?2a?c?2b?c?_____．

5?5x1??,0?x?116.已知函数f?x???88，若?a?R,使得函数y?f?x??ax有三个零点，则m的取值范围

??lnx?m,x?1是_______.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..

217.Sn为数列?an?的前n项和．已知an＞0，2Sn?an?1?an?1?2,且a1?2． 2（1）求?an?的通项公式（2）设cn?(?1)nan，求c1?c2??c2018的值. ?18. 如图所示，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，?CAB?45，

AB?22，点E，F分别是AB1AC1的中点.

（1）求证：EF//平面BB1C1C；

（2）若二面角C?EF?B1的大小为90，求直线A1B1与平面B1EF

所成角的正弦值.

19. 已知点F(1,0)，圆E:(x?1)2?y2?8，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线与半径PE相交于Q．

（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；

（2）若直线l与圆O:x2?y2?1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、

?23B．当OA?OB=?，且满足???时，求?AOB面积S的取值范围．

3420.（12分）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，

以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：

??

（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y?bt?a，并预测2018年4月份参与竞拍的人数； （2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：

（i）求这200位竞拍人员报价X的平均值x和样本方差s（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；

（ii）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布N(?,?2)，且?与?可分别由（i）中所求的样本平均数x及s估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．

22

2参考公式及数据：①回归方程y?bx?a，其中b??xy?nxyiii?1nn?xi?12i?nx2，a?y?bx；

②

?ti?152i?55，?tiyi?18.8，1.7?1.3；

i?15③若随机变量Z服从正态分布N(?,?2)，则P(????Z????)?0.6826，

P(??2??Z???2?)?0.9544，P(??3??Z???3?)?0.9974．

2?x21.（12分）已知函数f?x??ax?x?ae?a?R?.

??（1）若a?0，函数f?x?的极大值为

3，求实数a的值； e （2）若对任意的a?0，f?x??bln?x?1?在x??0,???上恒成立，求实数b的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.

22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1:x?y?1与曲线C2:??x?2?2cos?（?为参数，

?y?2sin?．以坐标原点为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． ???0,2??）

（1）写出曲线C1,C2的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，已知点A是射线l:??????0?与C1的公共点，点B是l与C2的公共点，当?在区

间?0,OB???上变化时，求的最大值． ?OA?2?1|（a?0）． 23. （10分）已知函数f(x)?|x?a|?|x?a?（1）证明：f(x)?22；

（2）若f(2)?3，求实数a的取值范围．

a

莆田一中2018届第四次月考理科数学参考答案

DBDA BDBA CBBB 1 5 ?13 ln3e?m?1

24217.（1） 可得2Sn?1?an?an?2 (n?2)

22两式相减得，2an?an?1?an?an?1?an

即(an?1?an)(an?1?an?1)?0，又an?0

?an?1?an?1?0 即?an?1?an?1(n?2)

2 由已知可得a2?a2?6?0，a2?3

?a2?a1?1故?an?为等差数列，?an?n?1.

2(2) c1?c2??c2018??22?32?42?52???2019

?2?3?4??2019?2039189 18. （Ⅰ）连接AC1，BC1,则F?AC1且F为AC1的中点， 又

E为AB的中点，?EF//BC1，

又BC1?平面BB1C1C，EF?平面BB1C1C，故EF//平面BB1C1C. （Ⅱ）因为ABC?A1B1C1是直三棱柱，所以CC1?平面

ABC，得AC?CC1.因为AC?BC，?CAB?45?，

AB?22，故AC?BC?2.以C为原点，分别以CB，

CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空

间直角坐标系.

设CC1?2?(??0)，则E(1,0,1)，F(0,?,1)，B1(2,2?,0)，

CE?(1,0,1)，EF?(?1,?,0)，FB1?(2,?,?1).

取平面CEF的一个法向量为m?(x,y,z)，

??CE?m?0?x?z?0由?得?：令y?1，得m?(?,1,??)， ??EF?m?0??x??y?0同理可得平面B1EF的一个法向量为n?(?,1,3?)，

二面角C?EF?B1的大小为90，?m?n???1?3??0， 解得???22?232?2,1,，得n??，又AB?11?AB?(2,0,?2)， ??2?2?2设直线A1B1与平面B1EF所成角为?，则sin??cos?n,A1B1??n?A1B1nA1B1 ?6. 619. (Ⅰ)连接QF，∵|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=|PE|=22(?|EF|=2)，

∴点的轨迹是以E(-1，0) 、F(1，0)为焦点，长轴长2a?22的椭圆，

x2?y2?1； ……4分 即动点Q的轨迹Γ的方程为2(Ⅱ)依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线l的方程为x?my?n(m?R)． ∵直线l即x?my?n?0与圆O:x2?y2?1相切， ∴

|n|m2?1?1得n2?m2?1． ……5分

?x?my?n?x?2y?2?022又∵点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)满足：?消去整理得(m2?2)y2?2mny?n2?2?0，

n2?22mn由韦达定理得y1?y2??2，y1y2?2．

m?2m?2其判别式??4m2n2?4(m2?2)(n2?2)?8(m2?n2?2)?8， ……7分 ∵?=OA?OB=x1x2?y1y2?(my1?n)(my2?n)?y1y2

??3n2?2m2?2m2?123?(m?1)y1y2?mn(y1?y2)?n??∈[，]．……9分 2234m?2m?222S?AOB1?AB?1?1?m2?2m2?11． ……10分 ?2?y1?y2??4y1y2?2?2m?2m?22m2?11m2?123?2?1，且??2∵2∈[，]．

34m?2m?2m?2∴S?AOB?2???(1??)∈[

62，]． ……12分 3420.

?x2?x21.解：（1）由题意，f??x???2ax?1?e?ax?x?ae

2?x??e?x??ax??1?2a?x?a?1????e?x?1??ax?1?a? ………2分

???x（ⅰ）当a?0时，f??x???e?x?1?，令f??x??0，得x?1；f??x??0，得x?1，

所以f?x?在???,1?单调递增，?1,???单调递减所以f?x?的极大值为f?1??13?，不合题意. ee …………3分

（ⅱ）当a?0时，1?111?1，令f??x??0，得1??x?1；f??x??0，得x?1?或x?1， aaa所以f?x?在?1???1?1??,1?单调递增，???,1??，?1,???单调递减， a?a??2a?13?，得a?1. ee所以f?x?的极大值为f?1??综上所述a?1. …………5分 （2）令g?a??e?x?x2?1?a?xe?x，a????,0?，当x??0,???时，e?x?x2?1??0，

则g?a??bln?x?1?对?a????,0?恒成立等价于g?a??g?0??bln?x?1?， 即xe?x?bln?x?1?，对x??0,???恒成立. …………7分

?x（ⅰ）当b?0时，?x??0,???，bln?x?1??0，xe?0，此时xe?x?bln?x?1?，不合题意.

…………8分 （ⅱ）当b?0时，令h?x??bln?x?1??xe，x??0,???，

?xbbex?x2?1?x?x则h??x??，其中?x?1?ex?0，?x??0,???， ??e?xe??xx?1?x?1?e令p?x??be?x?1,x??0,???，则p?x?在区间?0,???上单调递增，

x2①b?1时，p?x??p?0??b?1?0，所以对?x??0,???，h??x??0，从而h?x?在?0,???上单调递增， 所以对任意x??0,???，h?x??h?0??0，即不等式bln?x?1??xe在?0,???上恒成立.

?x…………10分

②0?b?1时，由p?0??b?1?0，p?1??be?0及p?x?在区间?0,???上单调递增， 所以存在唯一的x0??0,1?使得p?x0??0，且x??0,x0?时，p?x0??0. 从而x??0,x0?时，h??x??0，所以h?x?在区间?0,x0?上单调递减， 则x??0,x0?时，h?x??h?0??0，即bln?x?1??xe，不符合题意.

?x综上所述，b?1 .…………12分

22.解：（1）曲线C1的极坐标方程为??cos??sin???1，即?sin???22????2． ??4?222曲线C2的普通方程为?x?2??y?4，即x?y?4x?0，所以曲线C2的极坐标方程为

??4cos?． ……………………4分

（2） 由（1）知OA??A?1,OB??B?4cos?，

cos??sin??OB????4cos??cos??sin???2?1?cos2??sin2???2?22sin?2????- OA4???2知

由0????4?2?+?4?5???，当2???， 442即???8时，

OBOA有最大值2?22．?-………………………10分

23.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jv2d.html