高三数学集合复习资料解析

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2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料

第1讲 集 合

一．【课标要求】

1．集合的含义与表示

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 二．【命题走向】

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2010年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：

（1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用

三．【要点精讲】

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a?A；若b不是集合A的元素，记作b?A；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；

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整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。 2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A?B（或A?B）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A?B且B?A，则称A等于B，记作A=B；若A?B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；

（2）简单性质：1）A?A；2）??A；3）若A?B，B?C，则A?C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）； 3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；

（2）若S是一个集合，A?S，则，CS={x|x?S且x?A}称S中子集A的补集； （3）简单性质：1）CS(CS)=A；2）CSS=?，CS?=S

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集A?B?{x|x?A且x?B}。

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。并集A?B?{x|x?A或x?B}

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5．集合的简单性质：

（1）A?A?A,A????,A?B?B?A; （2）A???A,A?B?B?A; （3）(A?B)?(A?B);

（4）A?B?A?B?A;A?B?A?B?B；

（5）CS（A∩B）=（CSA）∪（CSB），CS（A∪B）=（CSA）∩（CSB）。

四．【典例解析】 题型1：集合的概念

(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__ 答案 ：12

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解析 设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15?x)人，只喜爱乒乓球的有由此可得(15?x)?(10?x)?x?8?30，解得x?3，所以15?x?12，即 所(10?x)人，求人数为12人。

例1．（2009广东卷理）已知全集U?R，集合M?{x?2?x?1?2}和

N?{xx?2k?1,k?1,2,}的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集

合的元素共有

( )

A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 答案 B 解析 由M?{x?2?x?1?2}得?1?x?3，则M?N??1,3?，有2个，选B.

2例2．(2009山东卷理)集合A??0,2,a?,B?1,a,若A??B??0,1,2,4,16?,则a的值

( ) 为 A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D

2?a2?16解析 ∵A??0,2,a?,B??1,a?,AB??0,1,2,4,16?∴?∴a?4,故选D.

?a?4【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

题型2：集合的性质

2例3．(2009山东卷理)集合A??0,2,a?,B?1,a,若A??B??0,1,2,4,16?,则a的值为

( )

A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D

2

?a2?16解析 ∵A??0,2,a?,B??1,a?,AB??0,1,2,4,16?∴?∴a?4,故选D.

?a?4【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,

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本题属于容易题.

随堂练习

1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x2

+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）

A．{2}

B．{3}

C．{－3，2} D．{－2，3}

2. 已知集合A={y|y-(a+a+1)y+a(a+1)>0},B={y|y-6y+8≤0}，若

2

2

2

2

A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）．

分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答． 解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y

例4．已知全集S?{1,3,x3?x2?2x}，A={1,2x?1}如果CSA?{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由

解：∵CSA?{0}；

∴0?S且0?A，即x?x?2x＝0，解得x1?0,x2??1,x3?2

当x?0时，2x?1?1，为A中元素； 当x??1时，2x?1?3?S

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32??3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！

当x?2时，2x?1?3?S

∴这样的实数x存在，是x??1或x?2。 另法：∵CSA?{0} ∴0?S且0?A，3?A ∴x?x?2x＝0且2x?1?3

∴x??1或x?2。

点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x?0时，

322x?1?1”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CSA?{0}是两层含义：

0?S且0?A。 2变式题：已知集合A?{m,m?d,m?2d},B?{m,mq,mq，其中m?0,且A?B,}求q的值。 解：由A?B可知， ?m?d?mq?m?d?mq2（1）?，或（2）? 2m?2d?mqm?2d?mq??解（1）得q?1， 解（2）得q?1,或q??1， 22又因为当q?1时，m?mq?mq与题意不符， 所以，q??1。 2题型3：集合的运算 例5．(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数f(x)?x?1的定义域集合是A,函数x?2g(x)?lg[x2?(2a?1)x?a2?a]的定义域集合是B （1）求集合A、B

（2）若A?B=B,求实数a的取值范围． 解 （1）A＝x|x??1或x?2 B＝x|x?a或x?a?1

????（2）由A?B＝B得A

a??1?B，因此???a?1?2

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所以?1?a?1,所以实数a的取值范围是??1,1?

例6．（2009宁夏海南卷理）已知集合A?1,3,5,7,9?,B??0,3,6,9,12?,则AICNB?( ) A.1,5,7? B.3,5,7? C.1,3,9? D.1,2,3? 答案 A 解析 易有A?????CNB??1,5,7?，选A

点评：该题考察了集合的交、补运算。 题型4：图解法解集合问题 2y2?xy??x?例7．（2009年广西北海九中训练）已知集合M=?x|??1?，N=?y|??1?，则

?32??94?M?N? （ ）

A．? B．{(3,0),(2,0)} D．?3,2? C．??3,3? 答案 C

例8．湖南省长郡中学2008届高三第六次月考试卷数学（理）试卷 设全集??R，函数f(x)?lg(|x?1|?a?1)(a?1)的定义域为A，集合

B?{x|cos?x?1}，若(C?A)?B恰好有2个元素，求a的取值集合。 解：|x?1|?1?a?0?|x?1|?1?a a?1时，1?a?0 ∴x??a或x?a?2 ∴A?(??,a?2)?(?a,??) cos?x?1,?x?2k?，∴x?2k(k?z)

∴B?{x|x?2k,k?z}

当a?1时，C?A?[a?2,?a]在此区间上恰有2个偶数。

?a?1???2?a?0 ?a??a?2??4?a?2??2?3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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2、A??a1，a2，，ak?(k≥2)，其中ai?Z(i?1，2，，k)，由A中的元素构成两个相应的集合：

S??(a，b)a?A，b?A，a?b?A?，T??(a，b)a?A，b?A，a?b?A?．其中

(a，b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a?A，总有?a?A，则称集合A具有性质P．

（I）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤k(k?1)； 2（II）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

解：（I）证明：首先，由A中元素构成的有序数对(ai，aj)共有k个． 因为0?A，所以(ai，ai)?T(i?1，2，，k)； 又因为当a?A时，?a?A时，?a?A，所以当(ai，aj)?T时，

2(aj，ai?)Ti，(j?，，1，2k． 从而，集合T中元素的个数最多为即n≤12k(k?1)(k?k)?， 22k(k?1)． 2（II）解：m?n，证明如下： （1）对于(a，b)?S，根据定义，a?A，b?A，且a?b?A，从而(a?b，b)?T． 如果(a，b)与(c，d)是S的不同元素，那么a?c与b?d中至少有一个不成立，从而a?b?c?d与b?d中也至少有一个不成立． 故(a?b，b)与(c?d，d)也是T的不同元素． 可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n， （2）对于(a，b)?T，根据定义，a?A，b?A，且a?b?A，从而(a?b，b)?S．如果(a，b)与(c，d)是T的不同元素，那么a?c与b?d中至少有一个不成立，从而

a?b?c?d与b?d中也不至少有一个不成立，

故(a?b，b)与(c?d，d)也是S的不同元素．

可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m， 由（1）（2）可知，m?n．

例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成

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的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

解：赞成A的人数为50×

3=30，赞成B的人数为5AX30-XUB33-XX+1330+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集B。

设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B不赞成的学生人数为

事合都

x+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为3x33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，

3都不赞成的有8人。 点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。 例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？ 解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件 的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5) 5的倍数－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15) 2的倍数＋(200÷30)＝146 3的倍数所以，符合条件的数共有200－146＝54（个） 点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。 题型7：集合综合题 例11．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x|2x?1<1}，若A?B，求实数ax?2的取值范围。 解：由|x－a|<2，得a－22x?1x?3<1，得<0，即－2

?a?2?3因为A?B，所以?点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。

例12．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,

Sn1)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}。

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试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明： （1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； （2）A∩B至多有一个元素；

（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠?。

n(a1?an)SS1,则n?(a1+an),这表明点(an,n)的2n2nS111坐标适合方程y?(x+a1),于是点(an, n)均在直线y=x+a1上。

222n11?y?x?a1??22（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组?的解，由方程组1?x2?y2?1??4解：（1）正确；在等差数列{an}中，Sn=消去y得：2a1x+a12=－4(*)， 当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=?； 2??4?a1?y?22a1?4?a?1当a1≠0时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解?,故

22a1?y?a1?4?4a1?上述方程组至多有一解。 ∴A∩B至多有一个元素。 （3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0,Sn >0，这时集合nA中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠?，那么?4?a1a?x032据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=??＜0,y0=1?＜0，这2a1524样的(x0,y0)?A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=?，所以a1≠0时，一定有A∩B≠?是不正确的。

点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。 变式题：解答下述问题： （Ⅰ）设集合A?{x|x?2x?2m?4?0},B?{x|x?0},，若A?B??,求实数m的取值范围.

分析：关键是准确理解A?B? 的具体意义，首先要从数学意义上解释A?B?意义，然后才能提出解决问题的具体方法。 解：

的

22命题?方程x2?2x?2m?4?0至少有一个负实数根,设M?{m|关于x的方程x2?2x?2m?4?0两根均为非负实数}, ???4(?2m?3)?0?3?则?x1?x2?2?0??2?m??,2???x1x2?2m?4?03eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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33?M?{m|?2?m??}设全集U?{m|??0}?{m|m??} 22?m的取值范围是

UM={m|m<-2}.

(解法二)命题?方程的小根x?1??2m?3?0??2m?3?1??2m?3?1?m??2.

（解法三）设f(x)?x2?2x?4,这是开口向上的抛物线，?其对称轴x?1?0，则二次函数性质知命题又等价于f(0)?0?m??2,

注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。

（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},

B?{a1,a2,a3,a4},其中a1?a2?a3?a4

若A?B?{a1,a4},且a1?a4?10,且A?B的所有元素之和是124,求集合A、B.

分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，

2222?1?a1?a2?a3?a4,?a1?a2?a3?a4,?A?B?{a1,a4},?只可能有a1?a1?a1?1,2而a1?a4?10,?a4?9,?a4?a4,2(1)若a2?a4,则a2?3,?A?B?{1,3,a3,9,a3,81},222222

?a3?a3?94?124?a3?5;(2)若a3?a4,则a3?3,同样可得a2?5?a3,与条件矛盾,不合;综上,A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81}.（Ⅲ）设集合A?{(x,y)|y?x?1},B?{(x,y)|4x?2x?2y?5?0},

2222C?{(x,y)|y?kx?b},问是否存在自然数k,b,使(A?B)?C?试证明你的结论.分析：正确理解(A?B)?C?,

,并转化为具体的数学问题.

,必须A?C?且B?C?,

要使(A?B)?C?(A?C)?(B?C)??y2?x?1由??k2x2?(2kb?1)x?b2?1?0, ?y?kx?b当k=0时，方程有解x?b?1,不合题意；

24k2?1当k?0时由?1?(2kb?1)?4k(b?1)?0得b?①

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?4x2?2x?2y?5?0又由??4x2?2(1?k)x?5?2b?0,

?y?kx?b20?(k?1)2由?2?4(1?k)?16(5?2b)?0得b?②，

82由①、②得b?k?120?1,而b?, 4k8∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1

点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。 题型6：课标创新题 例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？ 解：设集合A={甲站在最左端的位置}， B={甲站在最右端的位置}， C={乙站在正中间的位置}， D={丙站在正中间的位置}， 则集合A、B、C、D的关系如图所示， 765∴不同的排法有A7?4A6?4A5?2640种. 点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。 例14．A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数?(x)组成的集合：①对任意x?[1,2]，都有?(2x)?(1,2) ； ②存在常数L(0?L?1)，使得对任意的x1,x2?[1,2]，都有

|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2| （1）设?(x)?31?x,x?[2,4]，证明：?(x)?A （2）设?(x)?A,如果存在x0?(1,2),使得x0??(2x0),那么这样的x0是唯一的; （3）设?(x)?A,任取xl?(1,2),令xn?1??(2xn),n?1,2,???,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk?l解：

对任意x?[1,2],?(2x)?31?2x,x?[1,2],33??(2x)?35,1?33?35?2,所以

Lk?1?xk|?|x2?x1|H。

1?L?(2x)?(1,2)

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对任意的x1,x2?[1,2]，

|?(2x1)??(2x2)|?|x1?x2|3?

323?1?2x1?2?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?2，

?1?2x1?23?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?，

3? 所以0<

2?1?2x1?22?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?22?2, 3令3?1?2x1?2?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?=L， 0?L?1，|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2| 所以?(x)?A ??(1,2),x0?x0?使得x0??(2x0),x0???(2x0?)。 反证法：设存在两个x0,x0则由|?(2x0)??(2x0)|?L|x0?x0|， 得|x0?x0|?L|x0?x0|，所以L?1，矛盾，故结论成立。 ////x3?x2??(2x2)??(2x1)?Lx2?x1， 所以xn?1?xn?Ln?1x2?x1 Lk?1|xk?p?xk|??xk?p?xk?p?1???xk?p?1?xk?p?2????xk?1?xk??|x2?x1| 1?L?xk?p?xk?p?1?xk?p?1?xk?p?2??xk?1?xk ?Lk?p?2x2?x1?Lk?p?3x2?x1+…Lk?1x2?x1 LK?1?x2?x1。 1?L点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖

五．【思维总结】

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如?、?、

?、、=、CSA、∪，∩等等；

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2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与、与?、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A?B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ

③若集合A中有n(n?N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2－1, 所有非空真子集的个数是2?2 ④区分集合中元素的形式： 如A?{x|y?x2?2x?1}； B?{y|y?x2?2x?1}； nnnC?{(x,y)|y?x2?2x?1}； D?{x|x?x2?2x?1}； E?{(x,y)|y?x2?2x?1,x?Z,y?Z}； F?{(x,y')|y?x2?2x?1}； yG?{z|y?x2?2x?1,z?}。 x⑤空集是指不含任何元素的集合。{0}、?和{?}的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况。 ⑥符号“?,?”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“?,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力 3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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