2021届辽宁省大连市第二十四中学高三4月模拟考试数学(理)试题

高中数学高考同步试卷

2020届辽宁省大连市第二十四中学高三4月模拟考试数学

（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合{}2|320M x x x =++<和集合1()42x N x ?

?

=≤????

，则M N ?= A ．{}|2x x ≥-

B ．{}1|x x ≥-

C ．{}|1x x <-

D ．{}|2x x ≤-

2．设复数z 满足|z ﹣i |+|z +i |＝4，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ） A ．22

143x y -= B ．22143

x y += C ．22143

y x -= D ．22

143y x += 3．已知向量a ，b 满足||4a =，b 在a 上投影为2-，则|3|a b -的最小值为（ ）

A ．12

B ．10

C

D ．2 4．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上

B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C ．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%

D ．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多

5．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()'f x ，且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大

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值，则函数y ＝x ()'f x 的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．将函数sin(2)4y x π=-的图象向左平移4

π个单位，所得图象对应的函数在区间(,)m m -上无极值点，则m 的最大值为（ ）

A ．8π

B ．4π

C ．38π

D ．2π 7．记[]m 表示不超过m 的最大整数.若在11(,)82x ∈上随机取1个实数，则使得2[log ]x 为偶数的概率为（ ）

A ．23

B ．12

C ．13

D ．14 8．如图所示，边长为a 的空间四边形ABCD 中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD ，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90° 9．已知函数()f x 对x R ?∈满足：()()2f x f x +=-，()()()12f x f x f x +=?+，且()0f x >，若()14f =，则()()20192020f f +=（）

A ．34

B ．2

C ．52

D ．4 10．若()*3n x n N

?+∈ ?

的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则

a

a -=?（ ）

A ．36π

B ．812π

C ．252π

D ．25π

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11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，

cosA cosC tanA sinA sinC +=+，则b c sinB sinC

++的取值范围是（ ）

A ．（+∞）

B ．（，4）

C ．3? ?

D ．3??+∞ ? ???

12．在平面直角坐标系xOy 中，点A （1，0），动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相

切．过A 作直线x +（m ﹣1）y +2m ﹣5＝0的垂线，垂足为B ，则|MA |+|MB |的最小值为（ ）

A ．2

B ．2

C 1

D ．3

二、填空题

13．若sin 6x π?

?+ ???，则sin 26x π??-= ???

________． 14．已知O 是ABC 的外心，45C ∠=?,2,(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则22

14m n +的最小值为____． 15．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右顶点为A ,且以A 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C 两点，若2,33BAC ππ??∠∈????

，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________．

三、双空题

16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．

四、解答题

17．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝BC ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1．

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（1）证明：BC ⊥平面ACFE ；

（2）设点M 在线段EF 上运动，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求cosθ的取值范围．

18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*2,n S n n n N =-∈

(1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)设()()22,211n

a n n n

b a a +??=??--? ()()()

*212n k k N n k =-∈=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 19．近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：

根据以上数据，绘制了散点图.

（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与x y c d =?（,c d 均为大于零的常数），

哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 与x

的回归方程，并预测活动推出

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第8天使用扫码支付的人次；

（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：

西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16

的概率享受7折优惠，有13

的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n （n ∈+N ）年才能开始盈利，求n 的值.

参考数据：

其中其中lg i i v y =，7

1

17i i v v ==∑， 参考公式：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，，(,)n n u v ，其回归直线??v u α

β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1

22

1?n i i

i n i i u v nu v u

nu β==-?=-∑∑，??v u α

β=-. 20．在平面直角坐标系中，若(3,)a

x y =+，(3,)b x y =-，且4a b +=. （Ⅰ）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中曲线C 的左、右顶点分别为A 、B ，过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于两点P ，Q （不与A ，B 重合）.若直线PB 与直线4x =相交于点N ，试判断点A ，Q ，N 是否共线，并说明理由.

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21．已知函数sin ()a x f x x

-=，0πx <<． （Ⅰ）若0x x =时，()f x 取得极小值()0f x ，求实数a 及()0f x 的取值范围； （Ⅱ）当a π=，0m π<<时，证明：()ln 0f x m x +>．

22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα

=??=+?(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系()0,02ρθπ>≤<，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足6OA OB ?=，点B 的轨迹为2C ．

(1)求1C ，2C 的极坐标方程；

(2)设点C 的极坐标为(2，0)，求△ABC 面积的最小值．

23．已知函数(),f x x x a a R =-∈.

（Ⅰ）当()()111f f +->，求a 的取值范围；

（Ⅱ）若0a >，对(],,x y a ?∈-∞，都有不等式()54f x y y a ≤+

+-恒成立，求a 的取值范围.

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参考答案

1．A

【解析】

由已知得{}|21M x x =-<<-，{}

{}2|22|2x N x x x -=≤=≥-，所以有{}|2M N x x ?=≥-，故选A.

2．D

【分析】

利用复数模的几何意义以及椭圆的定义即可求解.

【详解】

设z x yi =+，则()1z i x y i -=+-，所以z i -=

同理可得z i +=

即|z ﹣i |+|z +i |=4，

即(),x y 到两点()()0,1,0,1-的距离之和为4， 所以z 在复平面内对应的点（x ，y ）的轨迹为22

143

y x += 故选：D

【点睛】

本题考查了复数模的几何意义以及椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题. 3．B

【分析】

根据依题可知||cos ,2<>=-b a b ，然后根据cos ,[1,0)?>∈-a b ，可知min ||2=b ，最后将|3|a b -平方进行计算即可.

【详解】

b 在a 上投影为2-，即||cos ,2<>=-b a b .

||0>b ，，cos ,0∴<a b ,则cos ,[1,0)?>∈-a b ，min ||2∴=b ， 222222|3|69||6||||cos ,9||9||64-=-?+=-+=+a b a a b b a a b a b b b ，

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min |3|910∴-=?=a b .

故选：B ．

【点睛】

本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到||b 的最小值. 4．C

【分析】

根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．

【详解】

A 选项，由图可知90后占了56%，故正确；

B 选项，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为0.5639.6%0.221760.2?=>，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；

C 选项，互联网行业中从事产品岗位的90后人数所占比例为0.56 6.5%0.03640.05?=<，故不正确；

D 选项，互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例为0.560.170.09520.03?=>，故正确．

故选：C ．

【点睛】

本道题考查了统计方面的知识，关键抓住各个群体的比例，逐一分析，得出结论，即可，难度较容易．

5．D

【分析】

由极值与导数的关系确定，确定当0>x >﹣1以及x >0时，()xf x '的符号；当x ＝﹣1时，()xf x '＝0；当x <﹣1时，()xf x '符号．由此观察四个选项能够得到正确结果．

【详解】

∵函数f （x ）在R 上可导，其导函数()'f x ，

且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，

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∴当x >﹣1时，()'f x <0；

当x ＝﹣1时，()'

f x ＝0；

当x <﹣1时，()'f x >0． ∴当0>x >﹣1时，()xf x '>0；x >0时，()xf x '<0；

当x ＝﹣1时，()xf x '＝0；

当x <﹣1时，()xf x '＜0．

故选：D ．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．

6．A

【分析】 由三角函数的图象变换，求得函数sin 24y x π??=+ ??

?，求得增区间3,,88k k k Z ππππ??-++∈????，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ??-???

?，进而根据函数sin 24y x π??=+ ??

?在区间(),m m -上无极值点，即可求解. 【详解】 由题意，将函数sin 24y x π?

?=- ???的图象向左平移4

π个单位， 可得函数sin 2sin 2444y x x πππ??????=+-=+ ? ?????????

， 令222,242k x k k Z π

ππππ-+≤+

≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 即函数sin 24y x π?

?

=+ ???的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ??-++∈????，

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令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ??-????

， 又由函数sin 24y x π??=+

???在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为8

π，故选A. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.

7．A

【解析】

【分析】

根据题意得到[)2log 2,1x ∈--.所以11,

42x ??∈????

，再由几何概型的长度模型得到结果. 【详解】 若11,82x ??∈ ???

，则()2log 3,1x ∈--.要使得[]2log x 为偶数，则[)2log 2,1x ∈--.所以11,42x ??∈????，故所求概率1122411328

P -==-. 故答案为：A.

【点睛】

本题考查了对数不等式的解法，以及几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．

8．C

【解析】

【分析】

由题意得BC CD a ==，90BCD ∠=?，

从而BD =，90BAD ∠=?，取BD 中点O ，连结AO ，CO ，从而AO ⊥平面BCD ，延长CO 至点E ，使CO OE =，连结ED ，EA ，

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EB ，则四边形BCDE 为正方形，即有//BC DE ，从而ADE （或其补角）即为异面直线AD 与BC 所成角，由此能求出异面直线AD 与BC 所成角的大小．

【详解】

由题意得BC ＝CD ＝a ，∠BCD＝90°，

，∴∠BAD＝90°，

取BD 中点O ，连结AO ，CO ，

∵AB＝BC ＝CD ＝DA ＝a ，

∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO ＝BO ＝OD ＝OC ＝2

， 又∵平面ABD⊥平面BCD ，平面ABD∩平面BCD ＝BD ，AO⊥BD，

∴AO⊥平面BCD ，

延长CO 至点E ，使CO ＝OE ，连结ED ，EA ，EB ，

则四边形BCDE 为正方形，即有BC∥DE，

∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD 与BC 所成角，

由题意得AE ＝a ，ED ＝a ，

∴△AED 为正三角形，∴∠ADE＝60°，

∴异面直线AD 与BC 所成角的大小为60°．

故选C ．

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．

9．A

【分析】

由抽象函数关系式赋值得特殊点的函数值，找出其函数值的周期规律得解.

【详解】

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因为()()()12f x f x f x +=?+，

∴()()()213f x f x f x +=+?+，又()0f x >

故()()

13f x f x +=，即()()6f x f x += 所以函数的周期为6，

由已知可得

当0x =时，()()20f f =，()()()102f f f =?，又()0f x >，

所以()()202f f ==，并且()()()()1113,4,5,62242

f f f f =

===， 所以()()()()1132019202034244f f f f +=+=+=， 故选A.

【点睛】

本题考查抽象函数的求值，考查函数的周期性，属于中档题.

10．C

【解析】

()*

3x n n N ∈展开式的通项为 (

)52133,0,1,,r n r n r r n r r r n n T C x C x r n ---+===，因为展开式中含有常数项，所以502

n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为5．

所以5252

a π--?=?=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.

11．B

【分析】

利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：cos2A ＝cos B ，结合角的范围可求2A ＝B ，

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利用三角形内角和定理及已知可求范围A 3C π-=∈(6π，4π)，可得sin A ∈(12)，而根据正弦定理，比例的性质即可求解．

【详解】 ∵cosA cosC sinA tanA sinA sinC cosA

+==+， ∴cos 2A +cos C cos A ＝sin 2A +sin A sin C ，22cos sin (cos cos sin sin )A A A C A C -=--,

cos 2cos()A A C =-+,可得：cos2A ＝cos B ，

∴在锐角△ABC 中，2A ＝B ，

∵A +B +C ＝π，可得：3A +C ＝π，C ∈(0，2

π)，

∴A 3C

π-=∈(6π，4π)，可得：sin A ∈(12，2

)， ∵a ＝2，

∴b c a sinB sinC sinA

+=+∈(，4)． 故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，比例的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

12．D

【分析】

根据题意，设M （x ，y ），求出M 点轨迹方程y 2＝4x ，即可得M 的轨迹是抛物线，其焦点为A （1，0），准线为x ＝﹣1，过点M 作MD 与准线垂直，且交准线于点D ，分析可得直线x +（m ﹣1）y +2m ﹣5＝0经过定点（3，﹣2），设P （3，－2），由点B 性质可得B 在以AP 为直径的圆上，由抛物线的定义可得又由|MA |＝|MD |，则|MA |+|MB |＝|MD |+|MB |，通过MD MC +（C 为AP 中点，圆心）结合图形分析可得答案．

【详解】

根据题意，设M （x ，y ），以MA 为直径的圆的圆心为（12

x +，y 2）， 又由动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，则有（12x +）2＝（12x +-1）2+（y 2）2，

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变形可得：y 2＝4x ，

则M 的轨迹是抛物线，其焦点为A （1，0），准线为x ＝﹣1，

过点M 作MD 与准线垂直，且交准线于点D ，

设直线l 为x +（m ﹣1）y +2m ﹣5＝0，变形可得m （y +2）＝y ﹣x +5，

∴可得直线l 经过定点（3，﹣2），

设P （3，－2），设AP 的中点为C ，则C 的坐标为（2，﹣1），|CP |=

若AB ⊥l ，则B 在以AP 为直径的圆上，该圆的方程为22(2)(1)2x y -++=，

又由|MA |＝|MD |，则|MA |+|MB |＝|MD |+|MB |，

则当C 、M 、D 三点共线时，|MA |+|MB |取得最小值，且|MA |+|MB |取得最小值为圆22(2)(1)2x y -++=上的点到D 的最小值，

此时|MA |+|MB |min ＝|CD |﹣r ＝3

故选：D ．

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，关键是求出M 的轨迹方程，属于综合题．

13．13

【分析】 利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得2cos 263sin x x ππ????-=+

? ?????212sin 6x π??=-+ ???，计算求得结果.

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【详解】

63sin x π??+= ??

?， 则2cos 2626

sin x x πππ??????-=-- ? ????????? 2cos 212sin 36x x ππ????=+=-+ ? ????? 111233=-?=，故答案为13

. 【点睛】

三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 14．16

【分析】

根据45C ∠=?得到0OA OB ?=，平方2OC mOA nOB =+得到2241m n +=，变换 ()22222214414m n m n m n ??+=+??

+ ?利用均值不等式计算得到答案. 【详解】

()2222

222244OC mOA nOB OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB =+∴=+=++? 90045C AOB OA OB ∠=?∴∠=?∴?=故2241m n +=

()

2222

222222414141644816m n n m m n m n m n

??+=+=+++≥= ??+? 当222216n m m n

=即2211,28n m ==时等号成立 故答案为：16

【点睛】

本题考查了向量的运算，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.

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15

．,23??????

【分析】

如图所示：过点A 作AD BC ⊥于D

，,22b AD ??∈????

，点(),0A a 到渐进线的距离为

2ab b d c ?==∈???

即112e ?∈???

得到答案. 【详解】

如图所示：过点A 作AD BC ⊥于D

，则cos cos 22BAC b AD AC DAC b ?∠=∠=∈???

一条渐近线方程为：b y x a =，点(),0A a

到直线的距离为,22ab b d c ??==∈????

即11,2223e e ???∈∴∈???????

故答案为：23??????

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，计算得到,22b AD ??∈????是解题的关键

.

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16 【分析】

(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.

【详解】

(1)每个三角形面积是112S ?=?= ??

，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，

3=，故四面体体积为13=

因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是6

； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，

连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，

所以1663R R ??=??= ? ???

所以球的体积3

344339729V R ππ??=== ? ???

.

【点睛】

本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力. 17．（1）见解析（2）12cos θ?∈??

?， 【分析】

（1）证明BC ⊥AC ．通过平面ACFE ⊥平面ABCD ，推出BC ⊥平面ACFE ．

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（2）分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAB 的一个法向量，平面FCB 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

【详解】

（1）证明：在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°

所以AB ＝2，所以AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB ?BC ?cos60°＝3，

所以AB 2＝AC 2+BC 2，所以BC ⊥AC ．

因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，

因为BC ?平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ．

（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，

令(0FM λλ=≤≤，则C （0，0，0）

，)

0A ，，B （0，1，0），M （λ，0，1）．

∴()0AB =-，，()11BM λ=-，，．

设n =（x ，y ，z ）为平面MAB 的一个法向量， 由00n AB n BM ??=??=?

得00y x y z λ?+=??-+=??，取x ＝1，则n =(1

λ)， ∵m =(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量

∴cosθ

13n

m n m ?==

=+

∵0λ≤≤λ＝0时，cosθ，当λ=cosθ有最大值12． ∴12cos θ?∈???，．

高中数学高考同步试卷

【点睛】

本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．

18．（1）1n a n =-；（2）1141163422

n

n ??-?- ?+?? 【解析】

试题分析：（Ⅰ）依题意，当2n ≥时，122222n n n a S S n -=-=-，()12n a n n =-≥， ，再检验1n = 时，是否适合，以确定是分是合，从而可得数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）由()()()222111122n n a a n n n n +==---++可得

()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++，分组求和即可．

试题解析：(1)当2n ≥时，()()2212221122n n n a S S n n n n n -??=-=-----=-??，

()12n a n n =-≥，

当1n =时，由21211S =-得10a =，

显然当1n =时上式也适合，∴1n a n =-

(2)∵()()()222111122n n a a n n n n +==---++，

∴()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++

()022********

222446222n n n --????????=++++-+-++- ? ? ???+????????

高中数学高考同步试卷

11114122214

n

n ??- ???+-+- 1141163422n n ??=-?- ?+??. 19．（1）x y c d =?（2）0.540.250.2510 3.4710x x y +?==?，3470（3）7 【分析】

（1）由散点图可知，更接近指数增长，所以x y c d =?适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型.

（2）根据（1）的判断结果x y c d =?两边取对数得lg lg lg y c d x =+?，则lg ,y x 两者线性

相关，根据已知条件求出lg ,y x 得回归方程，进而得到y 关于x 的回归方程，再令8x =，求预测值

（3）设一名乘客一次乘车的费用为ξ元，根据题意ξ得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2，求出分布列，进而求得期望，然后再建立不等式求解.

【详解】

（1）根据散点图判断，在推广期内， x y c d =?（,c d 均为大于零的常数），适宜作为扫码

支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型.

（2）根据（1）的判断结果x y c d =?，

两边取对数得lg lg lg y c d x =+?，

其中lg i i v y =，711 1.547i i v v ===∑，77211

50,12,4,140i i i i i x x v x =====∑∑， 71

221lg 0.2?5i i

i n i i x v nx v d x

nx β==-?===-∑∑，

??lg 0.54c v x α

β==-=， 所以lg 0.540.25y x =+?。

高中数学高考同步试卷

所以0.540.250.2510 3.4710x x y +?==?。

当8x =时， 0.540.258210 3.4710347y +?==?=。

所以活动推出第8天使用扫码支付的人次3470人.

（3）设一名乘客一次乘车的费用为ξ元，

根据题意ξ得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2

11( 1.4)0.30.05,( 1.6)0.60.30.763

p p ξξ==?

===+?=， 1( 1.8)0.30.15,(2)0.12p p ξξ==?===， () 1.40.05 1.60.7 1.80.1520.1 1.66E ξ=?+?+?+?=。

假设这批车需要n （n ∈+N ）年才能开始盈利，

则1.66121800.6612n n ???≥+??， 解得203

n ≥。 所以需要7年才能开始盈利.。

【点睛】

本题主要考查用样本估计总体，变量得相关性以及离散型随机变量得期望，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

20．（Ⅰ）2

214

x y +=（Ⅱ）见解析 【分析】 第（Ⅰ）问由且4a b +=可得点到两定点的距离之和为常数，可得动点轨迹为椭圆； 第（Ⅱ）问分类讨论直线l 的方程，斜率不存在时可直接求出所需点的坐标；斜率存在时则先设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程求出交点关系，再求出点N ，利用,AQ AN k k 的关系判断即可.

【详解】

解：（Ⅰ）设()1F ，)2F ，则

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