山东省威海市2012届高三第二次模拟考试 数学文科试题（2012威海二模）

绝密★启用并使用完毕前 2012

年威海市高考模拟考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1.已知集合A?{1,10,A.{1},B?{y|y?lgx,x?A},则A?B? 101} B. {10} C. {1} D. ? 1012.复数的共轭复数为

1?i11111111A.+i B. ?i C.?+i D. ??i 222222223.如图，边长为2的正方形内有一不规则阴影部分，随机向正方形内投入200粒芝麻，恰有60粒落入阴影部分，则不规则图形的面积为 A.

3463 B. C. D. 55524.若函数f(x)?sin(x??)是偶函数，则tan?2?

第3题图

A.0 B.1 C.?1 D. 1或?1

5.如图，三棱锥V?ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA?VC,已知其主视图的面积为

2，则其左视图的面积为 3A

V C

B 第5题图

A.

3333 B. C. D. 23466.等差数列{an}中，S10?90,7.已知命题p：函数y?2?aa5?8，则a4=

A.16 B.12 C.8 D.6

x?1恒过（1,2）点；命题q：若函数f(x?1)为偶函数，则f(x)的图像关于直线x?1对称，则下列命题为真命题的是

A.p?q B.?p??q C.?p?q D.p??q

8.R上的奇函数f(x)满足f(x?3)?f(x)，当0?x?1时，f(x)?2x，则f(2012)? A. ?2 B. 2 C. ?11 D. 223x2y29.椭圆2+2?1(a?b?0)的离心率为，若直线y?kx与其一个交点的横坐标为b，

3ab则k的值为

A.?1 B.?2 C.?3 D. ?3 310.函数f(x)=y lgxx2的大致图像为

y y y o x o x o x o x A B C D 11.如图，菱形ABCD的边长为2，?A?60,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点

M ?????????D C （含边界），则AM?AN的最大值为 A.3 B. 23 C.6 D.9

A

第11题图

?N B 12.函数f(x)的定义域为A,若存在非零实数t，使得对于任意x?C(C?A)有x?t?A,且

+??的函数f(x?t)?f(x)，则称f(x)为C上的t度低调函数.已知定义域为?0，+??上的6度低调函数，那么实数m的取值范围是 f(x)=?mx?3，且f(x)为?0，+?? C.???,0? D.???,0???1,??? A.?0,1? B. ?1，第Ⅱ卷（ 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1:2:3，则购鞋尺寸在

0.0875 0.0375 35.5 37.5 39.5 41.5 43.5 45.5 频率 组距 ?39.5,43.5?内的顾客所占百分比为______.

????14.已知a?(?1,k)，b?(4,?2)且a?b与?a垂直，则k的值为__________.

第13题图 尺寸 15.阅读右侧程序框图，则输出的数据S为________.

16.若集合A1,A2?An满足A1?A2???An?A,则称A1,A2?An为集合A的一种拆分.已知:

①当A1?A2?{a1,a2,a3}时，有3种拆分；

4②当A1?A2?A3?{a1,a2,a3,a4}时，有7种拆分；

3开始 S?1,i?1，a4,a5}时，有155③当A1?A2?A3?A4?{a1,a2,a3种拆分； ……

由以上结论，推测出一般结论：

当A1?A2???An?{a1,a2,a3,?an?1}有 _____________种拆分.

i?5是 否 S?S?(?1)i 输出S i?i?1第15题图

结束 三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

从总体中抽取容量为50的样本，数据分组及各组的频数如下： 分组 ［22.7，25.7） ［25.7，28.7） ［28.7，31.7） ［31.7，34.7） 频数 4 2 30 10 4 ［34.7，37.7） （Ⅰ）估计尺寸在［28.7，34.7）的概率；

（Ⅱ）从样本尺寸在［22.7，28.7）中任选2件，求至少有1个尺寸在［25.7，28.7）的概率. 18.（本小题满分12分）

已知函数f(x)?sin?x?cos?x?3cos?x?23（??0），直线x?x1，x?x2是2y?f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1?x2|的最小值为

（I）求f(x)的表达式；

（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移

?． 4?个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原8来的2倍，纵坐标不变，得到函数y?g(x)的图象，若关于x的方程g(x)?k?0，在区间

???0,?上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围. ??2?19.（本小题满分12分）

在等比数列{an}中，a2?11，a3?a6?．设bn?log2a22?log2a22，Tn为数列

nn?14512{bn}的前n项和．

（Ⅰ）求an和Tn；

?（Ⅱ）若对任意的n?N，不等式?Tn?n?2(?1)恒成立，求实数?的取值范围．

n

20.（本小题满分12分）

如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，

A AD=3，AP=5，PC=27. （Ⅰ）求证：EF∥平面PDC； （Ⅱ）若∠CDP＝90°，求证BE⊥DP; （Ⅲ）若∠CDP＝120°，求该多面体的体积.

21.（本小题满分12分）

B

E

F D

P

C

a?12x?1． 211（Ⅰ）当a??时，求f(x)在区间[,e]上的最值；

2e已知函数f(x)?alnx?（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性. 22.(本小题满分14分)

x2y2如图，已知椭圆C:??1,F1，F2分别为其左右焦点，A为左顶点，直线l的方程

43为x?4，过F2的直线l′与椭圆交于异于A的P、Q两点．

????????（Ⅰ）求AP?AQ的取值范围；

（Ⅱ）若AP?l?M,AQ?l?N,求证：M、N两点的纵坐标之积为定值；并求出该定值．

?P A F1 F2 Q M N 文科数学参考答案

一、选择题

C B C D B, D B A C D, D D

二、填空题

13. 55% 14. 3或-1 15. 0 16. (2?1)三、解答题

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）尺寸在［28.7，34.7）中共有40个，所以所求的概率为

nn?1

40?0.8--------4分 50（Ⅱ）设尺寸在［22.7，25.7）中的产品编号为a1,a2,a3,a4，在［25.7，28.7）中产品编号为b1,b2，从样本中尺寸在［22.7，28.7）中任选2件共有：a1a2,a1a3,a1a4,

a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2，15种情况；

------------------- 7分

其中至少有1个尺寸在［25.7，28..7）中的有：

a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b29种情况 ----------------------------- 10分

因此所求概率为

93? --------------------------------12分 15518．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）

11+cos2?x313?f(x)?sin2?x?3??sin2?x?cos2?x?sin(2?x?)，

222223-------------------------------------------3分

由题意知，最小正周期T?2??4??2，

T?2?????，所以??2， 2??2∴f(x)?sin(4x??3) -----------------------------------------6分

??个单位后，得到y?sin(4x?)的图象，再将所得图

68?象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y?sin(2x?)的图象.

6? 所以　g(x)?sin(2x?). -------------------------9分

6???5令2x??t，∵0?x?,∴??t??

6266???（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个

g(x)?k?0，在区间?0,?上有且只有一个实数解，即函数y?g(x)与y??k在区间

?2?11???上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知或?k?1 0,???k???222?? ∴?11?k?或k??1. -------------------12分 221511得q?， q?16512219. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设{an}的公比为q，由a3a6?a2?q?∴an?a2?qn?2251?()n． ---------------------------------- 2分 2bn?log2a22?log2a22=lognn?1

1111??(?)(2n?1)(2n?1)22n?12n?111111111n∴Tn?(1??????． ?)?（1?)?23352n?12n?122n?12n?1-------------------------------------5分

（Ⅱ）

①当n为偶数时，由?Tn?n?2恒成立得，??即??(2n?1()2n?122?log1()2n?122(n?2)(2n?1)2?2n??3恒成立，

nn2?3)min， ----------------------------------6分 n22而2n??3随n的增大而增大，∴n?2时(2n??3)min?0，

nn∴??0； ----------------------------------8分

(n?2)(2n?1)2②当n为奇数时，由?Tn?n?2恒成立得，???2n??5恒成立，

nn2即??(2n??5)min， -----------------------------------9分

n而2n?222?5?22n??5?9，当且仅当2n??n?1等号成立， nnn∴??9． ---------------------------------------11分

综上，实数?的取值范围. ----------------------------------------12分 （-?，0）20．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO， ∵F,O分别为BP，PC的中点， ∴FO∥BC，且FO?1BC, 21BC, 2又ABCD为平行四边形,ED∥BC，且ED?∴FO∥ED，且FO?ED

∴四边形EFOD是平行四边形 ---------------------------------------------2分 即EF∥DO 又EF?平面PDC

∴EF∥平面PDC． --------------------------------------------- 4分 （Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC， 又AD⊥平面PDC ∴AD⊥DP,

∴PD⊥平面ABCD, --------------------------------- 6分 ∵BE?平面ABCD，

∴BE⊥DP -------------------------------- 8分 （Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知?ABC与?ADC面积相等，

所以三棱锥P?ADC与三棱锥P?ABC体积相等， 即五面体的体积为三棱锥P?ADC体积的二倍. ∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4 又∠CDP＝120°PC=27，

由余弦定理并整理得DC?4DC?12?0, 解得DC=2 -------------------------- 10分 ∴三棱

211P?ADC的体积V???2?4?sin120??3?23 32∴该五面体的体积为43 ----------------------------- 12分 21.（本小题满分12分）

1x21解：（Ⅰ）当a??时，f(x)??lnx??1，

242?1xx2?1∴f?(x)?． ??2x22x∵f(x)的定义域为(0,??)，∴由f?(x)?0 得x?1． ---------------------------3分 ∴f(x)在区间[,e]上的最值只可能在f(1),f(),f(e)取到，

1e1e51311e2而f(1)?,f()??2,f(e)??，

4e24e24∴f(x)max1e25?f(e)??,f(x)min?f(1)? ． ---------------------------6分

244(a?1)x2?a，x?(0,??)． （Ⅱ）f?(x)?x①当a?1?0，即a??1时，f?(x)?0,?f(x)在(0,??)单调递减；-------------7分 ②当a?0时，f?(x)?0,?f(x)在(0,??)单调递增； ----------------8分

③当?1?a?0时，由f?(x)?0得x?2?a,?x?a?1?a?a或x??（舍去） a?1a?1∴f(x)在(综上，

?a?a,??)单调递增，在(0,)上单调递减； --------------------10分 a?1a?1当a?0时，f(x)在(0,??)单调递增；

当?1?a?0时，f(x)在(?a?a,??)单调递增，在(0,)上单调递减． a?1a?1当a??1时，f(x)在(0,??)单调递减； -----------------------12分 22. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）①当直线PQ的斜率不存在时，由F2(1,0)可知PQ方程为x?1,

x2y233代入椭圆C:??1得P(1,),Q(1,?),又A(?2,0)

4322????????????273????3∴AP?(3,),AQ?(3,?)，AP?AQ? ------------------------------2分

224

②当直线PQ的斜率存在时，设PQ方程为y?k(x?1)(k?0)

x2y2??1得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0--------------------------4分 代入椭圆C:438k24k2?12设P(x1,y1),Q(x2,y2),得x1?x2?,x1x2?----------------------------5分 223?4k3?4k?9k2y1y2?k(x1?1)(x2?1)?k(?x1?x2?x1x2?1)?

3?4k222????????∴AP?AQ?(x1?2)(x2?2)?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?y1y2

27k22727 ----------------------------------------9分 ???(0,）233?4k4?42k????????27综上,AP?AQ的取值范围是(0,] ---------------------------------------10分

4

（Ⅱ）AP的方程为y?y1(x?2)与l的方程:x?4联立 x1?2得M(4,6y16y2) --------------------------------------11分 ) 同理,得N(4,x2?2x1?2?yMyN?6y16y236y1y2??x1?2x2?2x1x2?2(x1?x2)?43336??(?)22??9 ------------------------------------12分 1?当k不存在时,yMyN?1?1?2(1?1)?4324k2?23?4k2?当k存在时,yMyN?2??9 ----------------------------------13分

4k?1216k2??4223?4k3?4k

∴M,N两点的纵坐标之积为定值?9 -----------------------14分

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