第十三章 材料力学中的几个专题

力学

工程力学

第13章 压杆稳定

第十三章

材料力学中几个专题的简介

第一节 动载荷第二节 交变应力

第三节 压杆稳定

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第13章 压杆稳定

第一节 动 载 荷若在载荷作用下，构件各部分的加速度相当显著 而不可忽略时，则这种载荷称为动载荷。构件在动载

荷作用下产生的应力称为动应力。本节将讨论构件在动载荷作用下的强度问题。

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第13章 压杆稳定

一、构件作匀加速直线运动的应力计算桥式起重机以匀加速度 提升一重物，如图。物体重 力 W=10kN , a=4m/s2 , 起 重 机横梁为28a 号工字钢，跨度 l=6m 。不计横梁和钢丝绳的 重力。求此时钢丝绳所受的 拉力及梁的最大正应力。 解 按动静法假想在重物 上加上惯性力Wa/g。 建立平衡方程 ∑Fy=0 FNd-W-Wa/g=0 横梁的最大弯矩在中点处 FNd 14.08 6 M max kN m 21.12kN m 4 4

3ma W a

3m FNd W a W g

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已知： W=10kN , a=4m/s2 ,

横梁为28a号工字钢，l=6m。 求：此时钢丝绳所受的拉力 及梁的最大正应力。解 按动静法假想在重物 上加上惯性力Wa/g。 Mdmax=21.12kN· m 查表得28a号工字钢 Wz=508.15cm3,梁的最大应力为

3ma W a

3m FNd W a W g

d max

M d max 21.12 106 MPa 41.56MPa 32 Wz 508.15 10

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三、冲 击 载 荷

当运动物体(冲击物)以一定的速度作用于静止构件(被冲击物)而受到阻碍，其速度急剧下降，使构件 受到很大的作用力，这种现象称为冲击。此时，由于 冲击物的作用，被冲击物中所产生的应力，称为冲击 应力。工程中的锻造、冲压等，就是利用了这种冲击

作用。但是，一般的工程构件都要避免或减小冲击，以免受损。

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工程中只须求冲击变形和应力的

W

瞬时最大值，冲击过程中的规律并不重要。由于冲击是发生在短暂的时间内， 且冲击过程复杂，加速度难以测定，所 以很难用动静法计算，通常采用能量法。 如图，物体重力为W,由高度h自由下落，h

A

冲击下面的直杆，使直杆发生轴向压缩。l B

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为便于分析，通常假设： 1)冲击物变形很小，可视为刚体。

W

2)直杆质量相对于冲击载荷很小，可忽略不计，杆的力学性能是线弹性的。 3)冲击过程中，无能量损耗。冲击物与被 h

A

冲击物一经接触后就互相附着，作为一个整体运动。 根据功能原理，在冲击过程中，冲击物所 做的功A 应等于被冲击物的变形能Ud,即 A=Ud (a) B l

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A=Ud

(a)

W

当物体自由落下时，其初速度为零；当冲击

直杆后，其速度还是为零，而此时杆的受力从零

增加到Fd,杆的缩短量达到最大值 d。因此，在 整个冲击过程中，冲击物的动能变化为零，冲击 h

W A

物所做的功为A=W(h+ d) 杆的变形能为 Ud= Fd d/2 (c) (b) l

B

d

A

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A=UdA=W(h+ d) Ud= Fd d/2 Fd/ d = W/ j 和 Fd=W d/ j

(a)(b) (c) h W

W

又因假设杆的材料是线弹性的，故有

W

j

(d)

A

式中， j为直杆受静载荷W作用时的静位移。 (e) W 2 Ud d 2 j再将式(b)、式(e)代人式(a),得 W(h+ d)=

A

W 2 d 2 j

l

B

B

d

A

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A=Ud Ud= Fd d/2

(a) (c) (e)2

A=W(h+ d) Fd=W d/ j

(b) (d)

W 2 Ud d 2 j 整理后得解方程得

W 2 W(h+ d)= d 2 j

d 2 d j 2h j 02 j

2 h d j 2h j 1 1 j j

为求冲击时杆的最大缩短量，上式中根号前应取正号，得

2 h d 1 1 j K d j j

(13-3)

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2 h d 1 1 j K d j j 式中，Kd为自由落体冲击的动荷系数。

(13-3)

Kd 1 1

2h

由于冲击时材料服从胡克定律，故有

j

(13-4) (13-5)

d=Kd j

由式(13-3)可见，当h=0时，Kd=2,即杆受突加载荷时，杆内 应力和变形都是静载荷作用下的两倍，故加载时应尽量缓慢且避 免突然放开。为提高构件抗冲击的能力，还应设法降低构件的刚 度。当h为一定时，构件的静位移 j,动荷系数Kd即减小，从而降 低了构件在冲击过程中产生的动应力。如汽车车身与车轴之间加

上钢板弹簧，就是为了减小车身对车轴冲击的影响。

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第二节

交 变 应 力

一、交变应力及其循环特征 构件内一点的应力随时间而交替变化，这种应力

称为交变应力。产生交变应力的原因可分为两种：一是构件受交变载荷的作用；另一种是载荷不变，而构 件本身在转动，从而引起构件内部应力发生交替变化。 图示的火车轮轴即属于后一种情况。

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当轮轴旋转一周，轮轴横截面边缘上A点的位置将由l-2-

3-4-l,A点的应力也经历了从0- max-0- min-0的变化。这种应力每重复变化一次的过程，称为一个应力循环。

A

M图

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为清楚地看出交变应力的变化规律，可应力 随时间t变化 的情况绘成一条 -t曲线，如图。图中 max、 min表示应力的

极值。通常可以用最小应力和最大应力的比值来说明应力变化规律，该比值称为循环特征，用r表示，即 min (13-6) r

max

一个应力

循环

min max

O

t

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最大应力和最小应力的平均值称为平均应力，用 m表示。 最大应力和最小应力之差的一半称为应力幅度，用 a 表示， 即

1 m ( max min ) 2 1 a ( max min ) 2一个应力循环

(13-7)

a min m max

O

t

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由此可见，一个非对称循环亦可认为是在平均应 力 m 上叠加一个幅度为 a的对称循环，图中说明了 这种情况。对称循环由于其 max=- min,故循环特征r

=-1。一个应力循环

a min m max

O

t

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在非对称循环中， 若 min=0,则循环特 征r =0,这就是工程

静应力也可看作交

变应力的特殊情况，其循环特征r =1。

中较为常见的脉冲循环。 max

- =0 max min

O

t

O

t

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二、疲劳破坏和持久极限1.构件的疲劳破坏及其产生的原因 实践表明，长期在交变应力作用下的构件，虽然其最大工作应力远低于材料在静载荷下的极限应力，也会突然发生断 裂；即便塑性很好的材料，破坏时也无明显的塑性变形。这种 构件在交变应力下发生的断裂破坏，称为疲劳破坏。观察构件 的断口，明显呈现两个不同的区域，一个是光滑区，一个是粗 糙区。 粗糙区

光滑区

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通常，产生疲劳破坏的原因是：当交变应力的大小超过一定限

度时，经过很多次的应力循环，在构件中的应力最大处和材料缺陷处产生了细微的裂纹，随着应力循环次数增加，裂纹逐渐扩大，裂 纹两边的材料时合时分，不断挤压形成断口的光滑区。经过长期运 构件突然断裂，形成断口的粗糙区。 由于疲劳破坏是在构件没有明显的塑性变形时突然发生的，故 常会产生严重的后果。 粗糙区

转，裂纹不断扩展，有效面积逐渐缩小；当截面削弱到一定程度时，

裂纹源

光滑区

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第三节 压 杆 稳 定一、 压杆稳定的概念受前面在研究直杆轴向压缩时，认为满足压缩

F

强度条件，直杆就能保证安全工作。这个结论对短粗压杆是正确的，但对于细长压杆就不适用了。例 如，一根宽30mm,厚2mm,长400mm的钢板条，其 材料的许用应力[ ]=160MPa,按压缩条件计算，它 的承载能力为 F≤A[ ]=30 2 160N=9600N

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但实验发现，当压力接近70N时，它在外界得微扰动下已开始微弯；若压力继续增大，则弯曲变形 急剧增加而最终导致折断，此时压力远小于9.6kN。 它之所以丧失工作能力，时由于它不能保持原有的 直线形状而发生弯曲。这种丧失原

有平衡形状的现 象，称为压杆丧失稳定，简称失稳。失稳会给工程 带来严重后果，如1907年魁比克圣劳伦斯河上一座 钢桥在工程中就因失稳而倒塌。 工程中，如连杆、桁架中的某些压杆、薄壁筒 等，这些构件除了要有足够的强度外还必须有足够 的稳定性，才能保证正常工作。

F

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