一阶直线倒立摆系统的可控性研究

引言

倒立摆系统是具有高阶次、多变量、非线性等特性的自然不稳定系统。很多控制理论及方法都可以利用倒立摆系统得到充分的验证与实践。本设计通过线性二次最优控制法对一阶直线倒立摆系统进行研究控制，线性二次最优控制法就是其中线性控制法的一种。

本设计将建立一阶直线倒立摆系统的物理模型，通过MATLAB软件中的SIMULINK模块对其进行仿真，该模块可以创建一个建模、分析、仿真等软件环境并提供所需的动态系统的结构方块图模型，所以不必编写复杂的程序代码就能快速、可靠地对系统进行建模与仿真。在建立系统模型时，忽略了空气阻力、小车静摩擦力等不确定因素，因而所建模型为近似模型，不是精确模型，最后检验系统鲁棒性的目的就是验证近似模型在摆杆质量或摆杆长度变化时是否仍然能够满足设计要求拥有和精确模型相近的动态响应曲线。

第一章 倒立摆系统

1.1 倒立摆系统的概述

本设计研究的被控对象是一阶直线倒立摆系统，倒立摆系统是一个具有高阶次、多变量、非线性、强耦合等诸多特性的自然不稳定系统，它能有效的反应现实中的很多问题。倒立摆系统的稳摆控制，可以由多种理论和方法实现，状态反馈等多种理论和方法都能以倒立摆系为被控对象来实现证明。

本设计将对一阶直线倒立摆系统进行控制，用来检验线性二次最优控制法所设计出的控制器的正确性、稳定性以及系统的鲁棒性。

1.1.1 倒立摆系统的工作原理

倒立摆系统结构图如图1-1所示。

图1-1 倒立摆系统结构图

倒立摆工作原理图如图1-2所示。

图1-2 倒立摆系统工作原理图

表1-1表示倒立摆系统中各部分装置功能与作用，如下所示[1]。

表1-1 倒立摆系统结构中各装置功能与作用

1.1.2 倒立摆系统的分类

如表1-2所示，介绍几种按摆杆的运动形式来划分的倒立摆系统。

表1-2 各种类型的倒立摆系统

1.2 倒立摆系统的研究意义

倒立摆系统作为控制理论中的一个典型被控对象，在控制理论的发展过程中，很多新的控制理论的提出，都可以由倒立摆对这一理论的正确性及在实际应用中的可行性来进行验证。所以说，倒立摆系统具有典型性，它的典型性在于：作为一个被控对象，它结构简单，可以实现模拟和数字两种控制方式。就其本身而言，倒立摆系统是一个自然不稳定系统，只有采用某种特定的控制方法才能使其达到稳定。在控制理论中，倒立摆系统能解决很多的重要问题，所以说对于倒立摆的研究在理论上意义深重。

说到对倒立摆系统的研究在某些科技运用中的作用，也是有着深远的意义。在军事、科技和一般工业生产等领域，它都有着广泛的用途，如机器人怎样实现更平稳的走路、火箭发射时角度的精确性、海上钻井平台的平稳控制问题（如图1-3所示）、飞机怎样能更加安全的着陆等都涉及到了倒立摆的稳摆控制问题。

图1-3 海上钻井平台

随着时代科技的发展，研究人员对倒立摆的研究逐步深入，更加复杂多样的倒立摆系统的不断出现，很多新的控制和方法的也随之不断出现，研究人员可以通过倒立摆这样一个典型的不稳定系统，来检验这些新的控制理论和方法解决不稳定性等问题的能力。

1.3 倒立摆系统在国内外的研究现状

对于倒立摆系统的研究，是从1952年开始的，是由麻省理工学院的一个老教授设计提出的。在20世纪50年代后期，一种被称作bang-bang的控制理论被论证出来，此理论的应用相比本文研究的线性二次最优控制理论也是十分广泛的[7]。

60年代后期，控制理论界正式对倒立摆进行了定义，受到国内外许多控制理论专家的重视。70年代初期，由倒立摆为被控对象证明状态反馈理论成了当时的一个研究热点。80年代后期，倒立摆系统在模糊理论的应用中取得了很大成功。90年代起，智能控制法中的神经网络控制法的发展较为快速，此控制法对倒立摆系统的研究也有着重要的意义。

亚洲是倒立摆系统研究、开发、应用的主要集中地。此外，俄罗斯、美国、波兰、意大利等多国的高校也对倒立摆领域有着持续的研究。随着时代的发展，各种新型倒立摆不断问世，但是这些倒立摆系统并不是任意公司都能研究与开发出来的，仅有香港某公司和加拿大的一家公司有较强的能力自主研发倒立摆系统，我们国内各高校所使用的倒立摆系统大部分都是出自这两家公司的。近日，国内郑州微纳科技公司在倒立摆系统的研究与应用上取得了突破性的成功。

1.4 倒立摆系统的主要控制方法

倒立摆系统的控制采用以下几种理论的方案和控制方法，可以实现实物实验并能取得较为满意的成果。倒立摆的控制方法主要有线性控制法、非线性控制法和智能控制法。

1.4.1 倒立摆系统的线性控制方法

为了得到期望的控制器，必须将倒立摆系统的非线性模型进行模型简化，使之成为线性模型，才能实现倒立摆系统的稳定控制。线性控制法有PID控制、状态反馈控制和LQR控制算法。

状态反馈控制原理是解决倒立摆系统的稳摆控制的常用理论，但状态反馈控制的范围有限。因此如果某个倒立摆系统的阶次过高、结构较为复杂的话，以线性系统为设计方案的局限性将变得十分明显。

本设计主要采用线性二次最优控制（LQR算法），下面章节会详细介绍。

1.4.2 倒立摆系统的非线性控制方法

研究人员提出，非线性特性的控制器是解决非线性系统控制问题的必由之路。

变结构控制具有非线性的特性，它也叫做滑动模态控制，它的控制并不是连续的，它能随意改变控制对象在滑动曲面上的位置而且保持其稳定性和鲁棒性。它能使系统的滑动模态不会随外界干扰或系统的扰动而发生改变，鲁棒性能非常好，但是系统存在抖振。

1.4.3 倒立摆系统的智能控制方法

智能控制方法种类有很多，主要介绍其中的模糊控制。

模糊控制具有系统化的理论，而且有着广泛的应用。模糊控制是一种新型的自动控制理论和控制方法。模糊控制所设计出的控制器对实现倒立摆的控制效果同样十分显著。目前，模糊控制理论对于倒立摆系统的控制尚不完全，因为对于倒立摆系统多变量的特性问题，模糊控制理论还未找出简单而实用的办法来解决。

通过对以上诸多的控制方法的认识，了解到对倒立摆系统的研究方法有很多，且这些控制方法对倒立摆系统的控制都有着很好的效果，本设计将在第二章中详细的介绍上文中的线性二次最优控制法。

第二章 线性二次型最优控制系统

2.1 线性二次型问题的概念

线性二次型问题的定义：若系统是线性的，性能指标是状态变量和控制变量的二次函数，则把这种动态系统的最优控制问题称为线性二次型最优控制问题，简称线性二次型问题。对于线性二次型问题的研究具有重要的工程背景，此外它还可以检测系统的诸多性能指标。作为现代控制理论及应用中最重要的成果之一，它让控制理论界研究人员投入很大精力进行深度研究，使其得到了较大发展，其中对线性二次型最优反馈系统的设计方案、对调节器的性质与作用等多方面的研究，得到了许多有益的成果。它有以下两个特点：

（1）线性二次最优控制问题是多个输入-多个输出的控制问题，特例：单输入-单输出的情况；

（2）线性二次最优控制问题的系统性能指标具有很好的多变性与综合性。

2.1.1 线性二次型问题的提出

设线性时变系统的状态方程为：

x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) （2-1）

.

y(t)=C(t)x(t)

式中，x(t)为n维状态矢量；y(t)为l维输出向量；u(t)为m维控制矢量

m n ；A(t)为n n维时变矩阵；B(t)为n m维时变矩阵。假定控制矢量u(t)是

不受约定的。

若另yl(t)表示l维输出向量，则：

e(t) yl(t) y(t) （2-2） 称为误差向量。

要求最优控制u (t)，是下列二次型性能指标极小：

1T1tfTT

J e(tf)Fe(tf) e(t)Q(t)e(t) u(t)R(t)u(t)dt （2-3）

22t0

在式（2-3）中，F为n n维半正定对称常数的终端加权矩阵；Q(t)为n n维半正定对称时变的状态加权矩阵R(t)为m m维正定对称时变的控制加权矩阵；始端时间t0及终端时间tf固定。

假定A(t)、B(t)、Q(t)、R(t)和的各参数均是时间t的连续函数，且全部矩阵函数和R 1(t)都是有界的。

在式（2-3）中，其各项物理意义如下：

右侧第一项叫做终端代价，意义是对终端状态提出一个合乎需要的要求，即在给定的终端时间tf到将要来时，达到系统的终态e(tf)接近预定状态的目的。

右侧的第二项是综合指标。其中2 1eT(t)Q(t)e(t)表示对于所有的t [t0,tf]状态x(t)的要求，整个控制时间内系统的给定状态与实际状态之间的综合误差将用它作为标准。假定x(t)表示误差矢量，那么该项为用来检测误差大小的代价函数。在x(t)为标量函数的情况下，该项积分与典控制理论中给定输入量与被控制量之间误差的平方积分一样。显然，此积分项与系统的控制性能成反比，越小越好。

右侧第二项中的第二项是对控制过程中总能量的一个限制，表示动态过程中对控制的约束或要求。假定u(t)表示U或I的函数，那么2 1uT(t)R(t)u(t)与功率成正比，那么u(t)可以看做是在[t0,tf]区间内所消耗的控制能量。因此，该项表示衡量消耗能量的大小。

右侧第二项中的第一项和第二项实际上是相互制约的。其中一项减小必然会增大另一项。也就是说，如果为了节省控制能量的消耗，必须减少对控制性能的要求。所以，求这俩项和的最小值，实际上是求取在系统最优前提下的折衷。但即使这样，也会出现侧重那一方面的问题，我们可以经过对Q(t)和R(t)的选择来体现。举个例子，要想增加控制系统的快速响应特性，那么必须提高Q(t)中某一元素的比重；同理，要想降低控制量的幅值和它所引起的能量消耗，那么就得增大R(t)中某一元素的比重。

在二次型性能指标中引入系数1/2，将会便于计算。

2.2 线性二次最优控制问题的三种类型

线性二次型最优控制问题有三种调节器问题，下面我们将会分别进行简单的介绍。

2.2.1 状态调节器问题

状态调节器问题：系统受到外部的扰动或其它的因素影响时，将偏离了给定的平衡状态，这时对系统进行控制，而使系统恢复或接近于平衡状态。状态调节器问题的扰动一般是初始状态矢量，状态调节器问题的平衡状态一般是零状态。此时，此类问题就变成求解最优控制问题，使系统在时间[t0,tf]内从初始状态转移到零状态，并且取性能指标的最小值。

在式（2-1）、（2-2）中，若

C(t) I,yl(t) 0

则有：e(t) y(t) x(t) 式（2-3）演变为：

J

1T1tf

x(tf)Fx(tf) xT(t)Q(t)x(t) uT(t)R(t)u(t)dt (2-4) 22t0

这时，线性二次型问题归结为：欲要求系统状态x(t)始终保持在零平衡状态附近，则当系统受到扰动偏离原平衡零状态时，系统必须产生一向量，让式（2-4）的变为最小值。

2.2.2 输出调节器的问题

被控系统受到外部的扰动或其他的因素影响而偏离了给定的平衡状态时却不浪费太多能量为前提，保持系统的输出矢量无限接近于其平衡，这是状态输出调节器的作用。实际上，状态调节器问题和输出调节器问题描述的是同一个控制问题。这是因为，状态x(t)只有经过检测并转换为输出y(t)后才能成为可用的信息，而输出y(t)和状态x(t)之间的转换关系，决定了输出矩阵C(t)的结构型式。因此，输出调节器的控制系统的规律可以像状态调节器那样来建立，可以由受控系统的能观性条件，证明输出调节器问题可以变换成等效的状态调节器问题，再利用状态调节器问题的有关公式。

在向量误差（2-2）中，如果

y1(t) 0

则有：e(t) y(t) 式（2-3）演变为：

1T1tfT

J y(tf)Fy(tf) y(t)Q(t)x(t) uT(t)R(t)u(t)dt （2-5）

t022

此时，当系统受到扰动偏离原平衡零状态时，系统必须产生一个控制向量，式（2-5）最小，让系统状态y(t)一直保持在零平衡状态的附近。

2.2.3 跟踪系统问题

跟踪器的控制目的，是使系统的输出y(t)紧紧跟随所希望的输出yl(t)，即寻找最优控制u (t)，致使系统的实际输出y(t)在确定的时间间隔[t0,tf]上尽量接近预期输出yl(t)，且不消耗过多的控制能量，这类问题称为最优跟踪问题，或简称跟踪问题。

若yl(t) 0，则式（2-2）成立，式（2-3）将不改变，此时线性二次型问题

归纳为：当要求输出量yl(t)作用于控制系统时，系统必须产生一控制向量，使性能指标（2-3）最小，让系统的实际输出y(t)始终随yl(t)的变化而变化[2]。

第三章MATLAB介绍

3.1 MATLAB产生的历史背景

对于MATLAB，首先我觉得应该介绍它是怎么产生并取得应用：1975年，Cleve Moler教授等研究人员研究出了用来提取EISPRCK和LINPRCK的FOATRAN子程序库。他们研究出的这俩个子程序是当时的最高水平。到了1978年，Cleve Moler教授为了他的弟子们更好地学习，研究出了EISPACK和LINPRCK的接口程序。Cleve Moler教授把matrix和laboratory俩单词里mat、和lab这六个字母的组合起来的接口程序取叫为MATLAB。80年代，Cleve Moler教授进行了一次有关MATLAB的教学，工程师John Little有幸聆听了这次演讲。在听完精彩的演讲后，他认为MATLAB在工程领域将会有广阔的前景。所以他马不停蹄的找到了Cleve Moler说明了来意，之后他们开发了新的MATLAB语言，具有数值计算和数据图示化的功能第二代MATLAB语言。20世纪80年代后期，MATLAB软件首次推向市场，MathWorks公司的研究人员从此开始了对MATLAB的长期专研。

当今的数学类科技应用软件很多很多，就软件数学处理的原始内核而言，分为两种。数值计算型软件有MATLAB、Gauss等，这类软件在数值计算具有叫高效率效；数学分析型软件有Mathemetica、Maple等，这类软件对于符号计算能给出解析解和任意精度解，相反对于处理大量数据时效率较低。因为Math Works公司开发的MATLAB软件在数据计算和图像能力上都很先进，而且他们接着又在软件中开发了其他一些很好的功能，成功地把MATLAB研究成适合多种学科和部门需要的软件，所以即使多年深陷激烈的市场环境中，MATLAB仍在全世界范围占主导地位。

经过研究人员对MATLAB的努力改进，MATLAB成为了适合多种科目和工作平台的功能强大的语言软件。在国外高校，MATLAB已经成为高等教育的基本教学工具；是攻读高学位必须掌握的基本技能。在很多科技领域，MATLAB被广泛用[5]。

3.2 MATLAB的显著特点

要说当今时代什么程序语言是最流行的，答案是一定是MATLAB语言。MATLAB之所以能够成为这么实用的科学计算语言，是因为它具有卓越的科学计算及数据处理的能力和出色的图形处理功能等特点。

3.2.1 MATLAB具有强大的科学计算及数据处理能力

MATLAB可以提供给用户所需的各种计算功能，它拥有近600多个数学运算函数。其中的函数所使用的算法都是不断更新的，都是当代最新研究成果，而且进行了优化，所以相比其他软件使用起来更加稳定和可靠。通常，它可以用来代替底层编程语言，如C和C++等语言。在数据量一样的情况下，使用MATLAB语言工作量会减少很多。MATLAB函数所能解决的问题包括多种运算，本文将会在第四章的仿真内容中用到MATLAB中的多种函数。

3.2.2 MATLAB编程效率高

MATLAB软件具有丰富的库函数，即M文件。不仅有一些常用的库函数，还包括种类多样、功能齐全的专用数据库，即工具箱。

函数是已经编程好的子程序。在进行数学运算的时候，函数可以直接被调用，而不需要再按命令一一编写子程序，使编程效率大大提高。

MATLAB语言的程序编程效率也是非常高的，比其他汇编语言高出好几倍。

3.2.3 MATLAB界面友好，用户使用方便

（1）MATLAB用户界面友好，体现在界面拥有帮助系统，这样也可以使初次使

用的用户更加容易的学习和使用MATLAB。

（2）在MATLAB里，编辑、编译、连接、执行等步骤可一步完成，因为它们是

一体的。

（3）MATLAB支持跟踪调试，它可以对中端结果进行不仅一个的储存，因为

MATLAB里有中断点，可进行多个储存。

（4）MATLAB即可指向程序又可以通过人机对话来调试不同的子程序，方便快

速的达到了用户的目的。

（5）MATLAB 可是称作“演算纸”，因为它可以一边演算一遍编程。

3.2.3 MATLAB图形功能强大方便

（1）MATLAB可以画二维曲线和三维曲线，比其他软件效果明显。

（2）与其他软件对三维曲线处理的不同，MATLAB可以对三维曲线进行更加复

杂的处理。

（3）MATLAB可以通过改变开关参数对曲面进行透明等处理。 （4）MATLAB具有缩放功能，能对图片进行局部的放大。

（5）MATLAB可以对曲面全方位观察，因为它可以对曲面调整角度观察。 （6）MATLAB具有光照效果，可以像素描一样增加曲面的阴暗度，增强了视觉

效果。

总之，MATLAB使用简单、功能强大，对用户的知识要求低，是一款非常流行实用的语言软件[3]。

第四章 直线一阶倒立摆的建模与仿真

4.1 直线一阶倒立摆的模型

倒立摆系统是一个不稳定的系统，在实验中建模有很多困难，但是我们可以假设忽略掉一些实际存在的问题。

4.1.1 一阶直线倒立摆的数学模型

在没有这些不利因素后，直线一阶倒立摆系统即为一个小车与匀质杆组成的系统，如图4-1所示。

图4-1 直线一级倒立摆的模型

小车参数如表4-1所示。

表4-1 倒立摆的各项参数设置

根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，则有以下方程式： （1）摆杆的转动方程：

..

Jθ Fylsinθ Fxlcosθ （4-1）

（2）摆杆水平方向运动方程：

d2

Fx m2 lsinθ) （4-2）

dt

（3）摆杆垂直方向运动方程：

d2

Fy mg m2 （4-3）

dt

（4）小车水平方向运动方程：

d2x

F Fx m02 （4-4）

dt 由式（4-2）和式（4-4）得：

(m0 m)x ml(cosθ θ sinθ θ) F （4-5） 由式（4-1）、（4-2）和（4-3）得：

..

..

.

2

θ mlcosθ x mlgsinθ (J ml)（4-6） 由式（4-5）、（4-6）得：

.

. ..(J ml2)F lm(J ml2)sinθ θ2 m2l2gsinθcosθ x 2222 (J ml)(m m) mlcosθ0 （4-7）

.

..

mlcosθ F m2l2sinθcosθ θ2 (m0 m)mlgsinθ θ 2222 mlcosθ (m m)(J ml)0

2

....

因为摆杆是均匀质杆，取摆杆单位长度的质量为 1，取杆上一个微分段dx，则转动惯量有：

J

ml2

3

式（4-7）为非线性微分方程组。为了便于应用经典控制理论对该系统进行设计，必须将其简化为线性定常的系统模型。

若只考虑θ在其工作点θθ<10 ）的微小变化，则有以下0 0附近（-10 <假定：

θ 0，sinθ θ，cosθ 1

则系统精确模式（4-7）可简化为：

..

.

..222

x (J ml)F mlgθ J(m0 m) m0ml2

..(m0 m)mlgθ mlFθ (m0 m)J m0ml2

代入表4-1的参数，取重力加速度取g=10m/s2，则J 0.03 那么可得到进一步简化模型：

..

x 6θ 0.8F

.. （4-8）

θ 40θ 2.0F

根据拉普拉斯变换得：

θ(s) 2 G(s) 1 F(s)s2 40

（4-9） 2

X(s) 0.4s 10 G(s) 2

θ(s)s2

.

.θ,θ,x,x 同理可得系统的状态方程模型。设X ， 则有系统状态方程：

.

x1

. 0 x2 40

X .

x3 0 . 6 x4

1

0000000

0 x1 0 x 0 22 F AX BF (4-10) 1 x3 0 0 x4 0.8

x1 xθ 1000 2 CX' （4-11） Y x 0010 x3 x4

4.2 一阶直线倒立摆系统在SIMULINK中的仿真

对于一阶倒立摆系统，R为一阶矩阵，取R=1；对于Q，我们取

Q diag[q11q22q33q44]

可见，对于任意一组Q中的参数，我们都可以得到其对应的最优反馈控制量。当q11，q22，q33，q44较大时，控制量权重相对较小，将需要较大作用力。

取q11=q22=200，q33=q44=50。根据MATLAB中提供的解决线性二次最优控制问题的命令：K lqr(A,B,Q,R)可得：

K （121.31，12.12,5.03,7.67） F=-[121.31 12.12 5.03 7.67]X+r

4.2.1 基于系统状态空间描述的仿真

系统仿真结构如图4-3所示。

图4-3 一阶直线倒立摆系统近似模型仿真结构图

仿真结果如图4-4所示。 （t）and x（t）Response to a step input

小车位移

）da r（noi tulov

e elgnA

Times（s）

图4-4 近似模型为控制对象的仿真结果图

通过图4-4的仿真结果可见，一阶直线倒立摆系统的动态性能达到了最优，所以说线性二次最优控制策略可以同时达到小车位置伺服控制和摆角控制的目的。

Evolution of the x position（m）

4.2.2 基于系统精确模型的仿真

以系统精确模型进行仿真，结构图如图4-5所示。

图4-5 一阶直线倒立摆系统精确仿真结构图

仿真结果如图4-6所示。

小车位移

（t）and x（t）Response to a step input

摆杆偏角

Times（s）

图4-6 精确模型为控制对象的仿真结果图

从图4-4与图4-6的仿真结果可见，两个模型的动态响应曲线图是几乎是一样的，所以可以证明，前面所述的模型简化是合理的。

Evolution of the x position（m）

Angle evolution（rad）

4.2.3 一阶直线倒立摆系统的鲁棒性实验

为了进一步检验线性二次最优控制器的鲁棒性能，改变倒立摆的摆杆质量和长度多做几组试验，试验的仿真结果如图4-7和图4-8所示。

Angle evolution（rad）

（t）and x（t）Response to a step input

mmmEvolution of the x position

=4

Times（s）

图4-7仅改变摆杆质量的一组曲线

Angle evolution（rad）

（t）and x（t）Response to a step input

l=1.8

l=0.6

=1.8

l=1.2

=0.6

Times（s）

图4-8 仅改变摆杆摆长的一组曲线

从图4-7和图4-8的仿真结果可见，系统具有较理想的鲁棒性，具体表现在摆长与摆杆质量这两个参数在2-3倍范围内变化时表现出较强的不敏感性[4]。

Evolution of the x position

结论

倒立摆系统是阶次很高，而且变量如摆杆质量、摆杆摆长等有很多，是一个非线性系统，是一个自然不稳定的系统。此一阶直线倒立摆系统能有效的反映控制理论中的鲁棒性问题。本文通过对一阶直线倒立摆的控制，检验了线性二次最优控制法设计出的控制器的正确性和稳定性及系统的鲁棒性。总结出了以下结论:

(1) 本设计前边建立一阶直线倒立摆系统物理模型，模型简化后得到近似模型和精确模型，通过MATLAB/SIMULINK的系统仿真，得出近似模型与精确模型的动态响应是很相近的。

(2) 通过不断的仿真试验，总结出了控制器中性能矩阵Q选择的基本规律。同时仿真实验证明：一阶直线倒立摆系统的动态性能达到了最优，所以说线性二次最优控制策略可以同时达到小车位置伺服控制和摆角控制的目的。

(3) 鲁棒性实验得出：系统具有较理想的鲁棒性，具体表现在摆长与摆杆质量这俩个参数在2-3倍范围内变化时，系统表现出较强的不敏感性。

本设计所有的仿真都是建立在MATLAB/SIMULINK软件下的，虽然这种控制算法取得了一定的控制效果，但由于条件限制没有进行倒立摆实物实验，因此得出的结论不具有很强的说服力，所以今后要在有条件的时候进行实物实验，将理论和实践相结合。

参考文献

[1] liutao926801.倒立摆系统结构.百度文库、

/view/b3935a60f5335a8102d220c7.html.2012-05-12 [2] yaleqi.最优控制型线性二次问题.百度文库、

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社.2009

[4] 张晓华.控制系统数字仿真与CAD[M].北京.机械工业出版社.2009-12 [5] 徐欣，李涛.MATLAB工具箱应用指南[M].北京.电子工业出版社.2000 [6] 张葛祥.倒立摆与自动控制技术研究[J].西南工学院学报.2001,16(3):9-11 [7] 王轶卿.基于Bang-Bang控制的倒立摆系统起摆和镇定[J].2002,23(7):3-8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n894.html