误差理论与测量平差基础第七章 间接平差

第七章——间接平差

第七章§7-1 间接平差原理

间接平差

§7-2 误差方程§7-3 非线性误差方程的线性化 §7-4 精度评定

第七章——间接平差§7-1 间接平差原理1、函数模型 间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为式中： V B x ln 1 n t t 1 n 1

且

v1 a1 v2 a2 V , B v a n nrk ( B) t

b1 t1 x1 L1 d1 b2 t 2 x2 L2 d 2 , x , l x L d bn t n n t n

第七章——间接平差2、随机模型 间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即 2 2 DLL 0 QLL 0 P 1n n n n n n

3、基础方程及其解误差方程的个数为观测值的个数n,而未知数的个数为n+t > n。 所以误差方程有无穷组解。而满足 V T PV min解只有一组。由于向量V是向量 的方法有：

x

的函数，按数学上求自由极值

V T PV V T PV V V 2V T P 2V T PB 0 x V x x

第七章——间接平差转置后得：B T PV 0

将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为：B T PV 0 l V Bx

基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。 为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V,得 B T PBx B T Pl 0

因为 rk (BT PB) rk (B) t ,所以上式有唯一解。 令 T TN BB B PB, W B Pl 1 x N BBW

则

第七章——间接平差 由上式解出参数 x 后，代入误差方程可得到改正数V。 进而可求得观测值的平差值： L L V

间接平差的计算步骤1、根据平差问题的性质，选择 t 个独立量作为参数； 2、列出误差方程； 3、组成法方程； 4、解算法方程； 5、计算改正数V; 6、计算观测值的平差值 L L V

教材：7-1,7-2 习题：7.1.04,7.1.05

第七章——间接平差§7-2 误差方程间接平差的关键是列误差方程，而列误差方 程的关键是选择待估参数(未知数)。1、未知数的个数 在间接平差中，未知数的个数等于必要观测数t。 2、未知数的选择 选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数 关系容易写出来。

第七章——间接平差3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立 (1)、水准网 在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差值作为 待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 数关系。如图，选 X1 H E , X 2 H F

第七章——间接平差于是

有： v1 X 1 h1 H A v 2 X 1 h2 H B v X X h3 1 2

令X i X i0 xi,则有 v1 x1 l1

3

v 4 X 2 h4 H C v5 X 2 h5 H D其中：

v 2 x1 l 2 v3 x1 x 2 l 3 v4 x2 l4 v5 x 2 l5

0 l1 h1 H A X 10 , l2 h2 H B X 10 , l3 h3 X 10 X 2 0 0 l4 h4 H C X 2 , l5 h5 H D X 2

第七章——间接平差例：水准网如右图所示，已知 H A =5.000m, B =3.953m, H H C =7.650m。各点的近似高程为：H 01 H B h2 5.053m p H 02 H A h7 8.452m p H 03 H C h4 7.450m p

观测值见下表，试列出误差方程。 1 21.100

32.398

40.200

(m)

5

63.404

73.452

hi

0.050

1.000

第七章——间接平差 解：设 X 1 H p , X 2 H p , X 3 H p1 2

3

0 X i0 H pi

于是误差方程为：

v1 x1 3 v2 x1 0 v3 x1 x3 1 v4 x3 0 v5 x2 x3 2 v6 x1 x2 5 v7 x 2 0

习题：7.2.15

第七章——间接平差(2)、GPS网三维无约束平差在GPS网三维无约束平差中，常常选某点 i作为参考点，则该点 在WGS84系下的三维坐标 X i、Yi、Z i 可看作已知数据，其余各点 作为待定点。在WGS84系下，要确定一个点的空间位置，需要X、 Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m个，则必要观测数 为 t 3(m 1) ,因此，可选 m 1 个点的坐标平差值作为参数。 如图，以A点为参考点，即 X A , YA , Z A 已知，则t个参数为：

X 1 X B , X 2 YB , X 3 Z B X 4 X C , X 5 YC , X 6 Z C X X ,X Y ,X Z7 D 8 D 9

D

第七章——间接平差于是，误差方程为：

v X AB X 1 X A X AB v X Y Y YAB 2 A AB

v Z AB X 3 Z A Z AB v X AC X 4 X A X AC v X Y Y v Z AC X 6 Z A Z AC v X AD X 7 X A X AD v X Y Y v Z AD X 9 Z A Z AD YAD 8 A AD YAC 5 A AC

v X BC X 1 X 4 X BC v YBC X 2 X 5 YBC v X X Z v X BD X 1 X 7 X BD v YBD X 2 X 8 YBD v X X Z v X CD X 4 X 7 X CD v YCD X 5 X 8 YCD v X X Z Z CD 6 9 CD Z BD 3 9 BD Z BC 3 6 BC

第七章——间接平差(3)、三角网在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值 h 作为待估参数，即t=2m 。 这样选，既足数，又独立， 而且容易写出参数与观测 值之间的函

数关系。一般 L j 地，角度观测值可由右图 k 表示，于是有： Yk Y j Yh Y j vi jk jh arctan arctan Li X X X Xi

k

j

h

j

教材：7-4 习题：7.2.14

第七章——间接平差

例如右图所示的大地 四边形，其必要观测 数为4,图中待定点坐 标也是4,故选： X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD

于是，误差方程为： YB Y A X 2 YA v1 AB AC arct an arct an L1 X XB XA X1 A

第七章——间接平差1 A

v 2 AC AD v3 v4 v5 v6 v7 v8

X 2 YA X 4 YA arct an arct an L2 X X X X3 A

YA X 4 YB X 4 DA DB arct an arct an L3 X A X3 XB X3 YB X 4 X2 X4 DB DC arct an arct an L4 X XB X3 X1 3 X4 X2 YA X 2 CD CA arct an arct an L5 X X3 X A X1 1 YA X 2 YB X 2 CA CB arct an arct an L6 X A X1 X B X1 X 4 YB X 2 YB BC BD arct an arct an L7 X X X3 X1 B B Y A YB X 4 YB BA BD arct an arct an L8 X XA XB X3 B

第七章——间接平差(4)、三边网 有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是选m个 待定点的坐标平差值作为待估参数，即t=2m 。一般地， 边长观测值可由下图表示，于是有：

k

S

i

j vi ( X k X j ) 2 (Yk Y j ) 2 S i

第七章——间接平差例如在下图，我们选 X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD

第七章——间接平差于是，误差方程为： v1 ( X A X 3 ) 2 (Y A X 4 ) 2 L1 v 2 ( X B X 3 ) 2 (YB X 4 ) 2 L2 v3 ( X 1 X 3 ) 2 ( X 2 X 4 ) 2 L3 v 4 ( X A X 1 ) 2 (Y A X 2 ) 2 L4 v5 ( X B X 1 ) 2 (YB X 2 ) 2 L5

教材：7-5 习题：7.2.16

第七章——间接平差(5)、导线网 导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m(m为待 定点个数),其观测值为角度观测值和边长观测值两 类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程 两类。可以先列角度误差方程：

Y j Yi Yk Yi vi ik ij arctan arctan Li Xk Xi X j Xi再列边长误差方程。

vi ( X i X j ) 2 (Yi Y j ) 2 Li

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