动量方程

水力学网上辅导材料3：

一、第3章 水动力学基础(2)

【教学基本要求】

1、掌握恒定总流的动量方程及其应用条件和注意事项，掌握动量方程投影表达式和矢量投影正负号的确定方法，会进行作用在总流上外力的分析。

2、能应用恒定总流的动量方程、能量方程和连续方程联合求解，解决工程实际问题。。 3、了解液体运动的基本形式：平移，变形（线变形和角变形），旋转。 4、理解无旋流动（有势流动）和有旋流动的定义。 5、初步掌握流函数、势函数的性质和流网原理。

【学 习 重 点】

1、掌握恒定总流动量方程的矢量形式和投影形式，掌握恒定总流动量方程的应用条件和注意事项。重点注意和影响水体动量变化的作用力。

2、能应用恒定总流的连续方程、能量方程和动量方程进行水力计算。

【内容提要和学习指导】

3.6恒定总流动量方程

恒定总流动量方程是动量定理在液体流动中的表达式，它反映水流动量变化与作用力之间的关系。

恒定总流动量方程主要用于求解水流与固体边界之间的相互作用力，如水流对弯管的作用力，水流作用在闸门和建筑物上的动水压力以及射流的冲击力等。

（1）恒定总流动量方程

根据动量定理可导出恒定总流的动量方程式为

???F??Q?????? 2 2 1

? （3—9）

?恒定总流动量方程的物理意义表明：单位时间内流出控制体与流入控制体的水体动量之差等于作用在控制体内水体上的合外力。

恒定总流的动量方程是个矢量方程，把动量方程沿三个坐标轴投影，即得到投影形式的动量方程：

∑Fx=ρQ（β2 v 2x-β1 v 1x）

∑Fy=ρQ（β2 v 2y -β1 v 1y） （3—10） ∑Fz=ρQ（β2 v 2z -β1 v 1z）

式中：∑Fx、∑Fy、∑Fz是作用在控制体上所有外力的合力沿x、y、z轴方向的分量； v1x、v2x、v1y、v2y、v1z、v2z分别是控制体进出口断面上的平均流速在x、y、z轴上的分量；

1

β1、β2为进出口断面处的动量修正系数，已知断面上的点流速u分布规律时，可以按下式计算

u2dAA?? v 2 A ? （3—11）

β值一般约为1.02 ~ 1.05，通常取β1 =β2 = 1.0计算。

（2）恒定总流动量方程的应用条件和注意事项

a）水流是恒定流，并且控制体的进出口断面都是渐变流，但两个断面之间可以是急变流。这与恒定总流能量方程的条件相同，这样在应用能量方程和动量方程进行联解时不会出现适用范围的不一致。

b）动量方程是矢量方程，方程中的流速和作用力都具有方向的。因此，应用动量方程解题必须建立坐标系。坐标系可以任意选择，但所选的坐标系应使流速和作用力的投影分量越少越好，这样可以减少方程中的未知数。还必须注意，当流速或者作用力的投影分量与坐标方向一致时，则为正值，否则应为负值。这一点在解题中经常容易发生错误，学员应特别注意。

c）动量方程式的右端应该是流出液体的动量减去流入液体的动量。

? d）∑ F 包括作用在控制体上的全部外力，不能遗漏，也不能多选，这也是解题中常会发生错误的地方。

外力通常包括重力（质量力）、压力和周围固体边界对水体的反作用力。求水流与固体边界之间的作用力是应用动量方程解题的主要任务，当所求的力的方向不能事先确定时，可以先假设其方向进行求解。如果求出该力为正值，表示假设方向正确；否则表示该力的实际作用方向与假设方向相反。

e）动量方程只能求解一个未知数，如果方程中的未知数多于1个，必须与连续方程、能量方程联合求解。

f）对于有分岔的管道，动量方程的矢量形式为

? F ?? Q ? v ? 流出 ? ? ? ? Q ? v ? 流入 （3—12） ? ?

3.7液体微团的运动形式

在理论力学中，刚体有两种基本运动形式，即平移和绕某瞬时固定轴的转动。而液体能够流动，发生变形，因此液体微团具有四种基本运动形式，即：

（1）平移运动：平移的速度为 ux, uy, uz

?uz （3—13） （2）线变形运动：线变形速度为 ? ? x , ? ? y , ? ? ? u

x?xx?yz?z?u?（3）角变形运动：角变形速度为

?u?u?u?uyy1?uz1?ux1xz??(?),??(?),??(? y z ) x2?y?z2?z?x2?x?y （3—14）

2

（4）旋转运动：旋转角速度为

?u?u?u?uyy1?uz1?ux1z ? ), ? ), ? ? ( ? x ) ? ( ?? ( ?xyz2?y?z2?z?x2?x?y （3—15）

式中：εi─边线变形速度，θi─角变形速度，ωi─旋转角速度。

在液体上述四种基本运动形式中，我们最关心的是旋转运动，它对讨论液体的运动和运动的求解十分重要。

如果液体微团的旋转角速度ωx =ωy =ωz = 0，则液体是无旋流动或有势流动（存在流速势函数）；当ωx、ωy、ωz有一个不为0，则液体作有旋流动或有涡流动。 3.8平面势流的流函数和流速势函数

（1） 流函数：平面流动中的流线方程uxdy-uydx=0能够进行积分的条件是：它必须是某函数ψ(x,y)的全微分，我们把ψ称为流函数。

流函数ψ存在的充分必要条件是满足连续性方程，也就是说，对于连续的平面运动，流函数ψ总是存在的。

流函数与流速之间的关系可以表示为：

? ? u , ? u （3—16）

?xy?yx????流函数具有四个重要的性质：

1） 在平面无旋运动中，流函数满足拉普拉斯方程，即

? ? 0 （3—17）

?x2?y22??2??在数学上把满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，所以ψ是调和函数。 2） 等流函数线就是流线，即ψ= 常数，它代表一条流线。 3） 两条流线的流函数值之差等于两条流线之间通过的单宽流量。 4）流函数的增值方向是流速矢量方向逆时针旋转90°的方向。

（2）流速势函数：有势流动的流场中必定存在一个流速势函数φ(x,y,z)，流速势函数φ对各个坐标轴的偏导数等于流速向量在该坐标轴上的投影，即

ux????x,uy????y,uz????z（3—18）

也可以表示为 dφ= ux dx+uydy （3—19） 流速势函数具有下面四个性质：

1） 某瞬时流速势函数φ对某方向的偏导数等于流速在该方向上的投影。 2） 流速势函数也满足拉普拉斯方程，即φ也是调和函数。 3） 当势函数φ=常数，它表示一条等势线。 4）流速势函数的增值方向与流速方向一致。

3

3.9流网原理

在平面势流中，流速势函数φ等于不同常数时构成了一组等势线，流函数ψ为不同常数时代表一组流线，这些等势线和流线构成的网格即是流网。

流网有下列特征：

1） 流线与等势线处处正交，也就是说流网是正交网格。

2）如果取△φ=△ψ，则流网构成正交方格。利用组成流网的流函数与流速势函数的性质，可以求解流场内任何一点的流速和压强。

【思 考 题】

3—10建立动量方程有哪些条件？应用时要注意哪些问题？ 3—11建立动量方程时如何建立坐标可以简化计算过程？ 3—12为什么边界对水流的作用力方向可以任意假设？ 3—13液体运动的基本形式有哪几种？ 3—14什么是平面流动？

3—15什么是有势流动和有旋流动？有势流动如何判别？

3—16什么是流函数和流速势函数？它们存在的条件是什么？有哪些性质？ 3—17流网是怎么构成的？它具有什么性质？

【解 题 指 导】

例题3—4请参阅教材上的例3—11，

例题3—5有一个水平放置的弯管，直径从d1 =30cm渐变到d2 =20cm，转角θ=60°，如图所示。已知弯管1—1断面的平均动水压强p1 =35000N/m2，断面2—2的平均动水压强为p2 =25840N/m2，通过弯管的流量Q =150L/s。求水流对弯管的作用力。 解：根据题意要求水流对弯管的作用力，应该用动量方程进行求解。

P12P21Ryv2yRxv11αθ2xRx′R′Ry′ （1）取弯管的1—1与2—2断面之间的水体作为脱离体（如图）。断面1—1和2—2两过水断面的动水压力可以按静水总压力的公式计算。

（2）分析作用在脱离体上的外力：

4

断面1-1和2-2上的动水总压力分别为P1与P2，

P1=p1A1， P2=p2A2。

管壁对水流作用力R，它实际上是水流对管壁作用力R′的反作用力，二者大小大小相等，方向相反。这一作用力R′包括水流对管壁的动水总压力与水流对管壁表面作用的摩擦阻力，如果求出作用力R，也就求得了水流对管壁的总作用力R′。为了计算方便，将作用力R分解为x和y方向上的两个分量Rx和Ry，Rx和Ry 的方向可以任意假设，如果计算结果为正值，说明假设方向是正确的，若为负值，说明假设方向与实际作用力方向相反。

重力（脱离体内水体自重）垂直于水平面，对弯管水流运动没有影响。

（3） 建立x轴与y轴方向的动量方程，所取坐标系如图所示。取动量修正系数

?1??2??=1.0。

沿x轴方向写动量方程，得

?Q?(v2cos60??v1)?P1?P2cos60??Rx

v1?v2?QA1QA2??4?150?103??3023?212.3cm/s?2.12m/s ?477.7cm/s?4.78m/s

3.14?0.3424?150?10??2022P1?p1P2?p2?d14?35000?2?2472.8N

2?d24?25840?3.14?0.24?811.4N

?2.12)

Rx?P1?P2cos60????Q(v2cos60??v1)?2472.8?811.4?12?1.0?1000?0.15(4.78?12?2472.8?405.7?40.5?2026.5N(假设方向正确）沿y轴方向写动量方程得

P2sin60??Ry???Q(?v2sin60??0)

Ry?P2sin60????Qv?2472.8?322sin60?32?1?1000?0.15?4.78?

?2141.5?620.9?2762.4N(假设方向正确）合力的大小为

R?Rx?Ry22?2026.6?2762.422?3426N

合作用力的方向为 ??tan?1RxRy?tan?12762.42026.6?tan?11.3631?53?44?

所以水流对弯管的作用力为R′=R，方向与R相反，与x轴的夹角为α=53o44′ 例题3—6如图所示，一个水平放置的三通管，主管的直径D=120cm，两根支管的直径为d = 85cm，分叉角α=45°，主管过水断面1—1处的动水压强水头p1/γ=100m（水柱），

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