微积分习题课题目

2015秋微积分A（1）第八周习题课

一．函数的极限与连续（下）

例.1

例.2

例.3

例.4

例.5

例.6 设函数f(x)在 0, 上满足f(x2) f(x)，且lim f(x) limf(x) f(1)，求证：x 0x x a 已知极限lim x x 1 x 1 e 2，求常数a。 cos1 1x limxe e求极限 x 21 1 xx 1 求极限limx3 3 x 2若limx(cosx b) 5，则a =，b=. x 0e asinx求极限lim sinx x 0x 11 cosx

f(x) f(1),x (0, )。

例.7 设函数y f(x)在( , )上连续，且limf(x) 0存在，若y f(x)在 x

( , )内可取到正值，证明函数y f(x)在( , )上必有正的最大值。

例.8 设f C( , )，且 x,y ,f(x y) f(x) f(y)，证明：存在实数a使

得f(x) ax,x 。

例.9 设f(x)在(a,b)内至多只有第一类间断点，且

x y f(x) f(y)f , x,y (a,b)（*） 22

证明：f C(a,b)。

二．微分与导数（上）

例.1 设y f(x)在B(x0)有定义，则与f (x0)存在不等价的是( )。

（A）limx 0f(x0 kx) f(x0)x(k 0,1)

（B）limx 0f(x0 (x)) f(x0) (x)

(x) 0,lim (x) 0 x 0 （C）limx f x0 x 1 f(x0) 存在 x

存在 （D）limx 0f(x0 x) f(x0)sinx

例.2 1 cos 设f(x) x2 xg(x)x 0x 0，其中g(x)是有界函数，则f(x)在x 0处有（）。

(A) 极限不存在； (B)极限存在，但不连续 (C) 连续，但不可导； (D) 可导

设f(x)可导，F(x) f(x)(1 sinx)，若使F(x)在x 0处可导，则必有例.3

（）。

(A) f(0) 0， (B) f (0) 0 (C) f(0) f (0) 0， (D) f(0) f (0) 0

f(h2) 1,则【】 例.4 设函数f(x)在x 0处连续,且lim2h 0h

(0)存在。 (B)f(0) 1且f (0)存在 (A)f(0) 0且f

(0)存在。 (D)f(0) 1且f (0)存在 (C)f(0) 0且f

例.5

f(x) (x2 x 2)x3 x有几个不可导点？

例.6 f(x),g(x)定义在( 1,1)，在x 0连续，若

g(x) f(x) x 2

证明：limg(x) 0,g (0) 2。 x 0x 0x 0

1 fa x 例.7 f(x)在x a可导，f(a) 0，求lim x f(a)

x

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