2019届山东省济宁市高三二模数学（文）试题（解析版）

2019届山东省济宁市高三二模数学（文）试题

一、单选题 1．已知全集A．C．【答案】A

【解析】由题意结合补集的定义求解不等式即可确定补集. 【详解】 由题意可得：表示为区间形式即故选：A. 【点睛】

本题主要考查集合的表示方法，补集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．已知复数满足A．第一象限 【答案】B

【解析】由题意首先求得复数z的值，然后结合复数对应的点即可确定其所在的象限. 【详解】

由复数的运算法则可得：

，

，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

.

，

，集合

B．D．

，则

（ ）

故复数在复平面内对应的点故选：B. 【点睛】

所在的象限是第二象限.

本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

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3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 【答案】D

D．向左平移个单位长度

【解析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后确定函数的平移方向和所要平移的长度即可. 【详解】 由于

，且

，

故要得到函数单位长度. 故选：D. 【点睛】

的图象，只需将函数的图象向左平移个

本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于（ ）

A．30 【答案】B

B．31 C．62 D．63

【解析】首先确定流程图的功能，然后计算其输出的结果即可. 【详解】

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由流程图可知该算法的功能为计算的值，

即输出值为：故选：B. 【点睛】

识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：

.

(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 5．已知双曲线

的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A． B．

C．【答案】A

D．

【解析】由题意结合双曲线的性质确定a,b的关系式，据此即可确定双曲线的渐近线方程. 【详解】

由离心率的定义可知：

，

则双曲线的渐近线方程为：故选：A. 【点睛】

.

本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线的渐近线的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．已知等差数列A．26 【答案】C

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的公差为4，且，B．30

，

成等比数列，则

（ ） D．38

C．34

【解析】由题意首先求得的值，然后结合等差数列的性质即可确定【详解】 由题意可得：结合题意有：则故选：C. 【点睛】

.

，即

，解得

， ，

的值.

本题主要考查等差数列的性质，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．已知向量，满足A．

B．

，

，且

C．

，则与的夹角为（ ）

D．

【答案】D

【解析】由题意首先求得数量积【详解】 由题意可得：结合题意有：

，

，

的值，然后计算向量的夹角即可.

则，

故与的夹角为. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查向量夹角的计算，向量数量积的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．已知

是定义在上的周期为4的奇函数，当（ ）

A．-1 【答案】A

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B．0

C．1

D．2

时，

，则

【解析】由题意结合函数的周期性和函数的奇偶性计算函数值即可. 【详解】 由题意可得：

.

故选：A. 【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长度为（ ）

A．3 【答案】D

B．4 C． D．

【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求得每条棱的棱长，据此即可确定最大的棱长. 【详解】

如图所示，在棱长为2的正方体的三视图所对应的几何体为四棱锥

，

中，点M为边CD的中点，则题中

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易知其棱长分别为：

，

则最长的棱长为故选：D. 【点睛】

.

，

本题主要考查由三视图还原所给的几何体，棱锥的空间结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）

A． 【答案】C

B． C． D．

【解析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可. 【详解】 由题意可得：

，

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设被污损的数字为x，则： ，

满足题意时，，即：，

即x可能的取值为,

结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：故选：C. 【点睛】

.

本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．已知拋物线

的焦点为，过点的直线与该抛物线交于、两点，且

，为坐标原点，记直线

范围是（ ） A．C．【答案】B

【解析】由题意首先对一般情况确定角函数的性质即可确定其取值范围. 【详解】

对于一般的抛物线方程

、的斜率分别为、，则的取值

B．D．

的解析式，然后结合抛物线的弦长公式和三

，设过焦点的直线方程为，

与抛物线方程联立可得：，故，

设，则：

，

其中为直线AB的斜率，

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由抛物线的焦点弦公式可知：，

则，，

故，

的取值范围是故选：B. 【点睛】

.

本题主要考查抛物线焦点弦的性质，直线斜率的计算，抛物线中设点的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．已知函数取值范围为（ ） A．C．【答案】D

【解析】首先绘制函数范围. 【详解】

由函数的解析式易知

恒成立，则

，

的图像，然后数形结合考查临界值即可确定实数的取值

B．D．

，若不等式

恒成立，则实数的

原问题等价于函数绘制函数

的图像恒不在函数图像的下方；

的图像，如图所示，

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函数题意， 当

表示过定点的直线，很明显时不满足题意，时满足

时，考查如图所示的临界条件，即直线与二次函数相切，

，设切点坐标为

，切线的斜率为

过点，

，故

，此时切线的斜率.

，

，

，

则切线方程即：数形结合可知

故实数的取值范围为故选：D. 【点睛】

本题主要考查分段函数的性质及其应用，导函数研究函数的切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题 13．已知【答案】45

【解析】由题意利用对数的运算法则和指数的运算法则计算可得【详解】 由题意可得：由对数恒等式可知：

，

，

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的值.

，

，则

_________．

则【点睛】

.

本题主要考查对数的运算法则及其应用，属于基础题. 14．若变量，满足【答案】-3

【解析】首先画出可以域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可. 【详解】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

，则目标函数

的最小值为_____．

目标函数即：截距最小，

，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值， 联立直线方程：

，可得点A的坐标为：

，

据此可知目标函数的最小值为：【点睛】

.

求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 15．已知数列____．

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的前项和为

，若

，则数列

的前100项的和为

【答案】

【解析】首先求得数列的通项公式，然后列项求和可得其前100项和. 【详解】 当当且当

时，时，时，

，故数列，

，

的通项公式为

，

，

则数列的前100项的和为：

【点睛】

.

本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 16．已知三棱锥面

的四个顶点均在体积为

的球面上，其中

平面

，底

为正三角形，则三棱锥体积的最大值为________．

【答案】9

【解析】设出底面边长，结合外接球的体积公式确定三棱锥的高，据此可得体积函数，最后利用均值不等式即可确定三棱锥体积的最大值. 【详解】

由球的体积公式可得：

，

不妨设底面正三角形的边长为，则，

设棱锥的高为h，由三棱锥的性质可得：，

解得：，据此可得：

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.

故，当且仅当，时等号成立.

综上可得，三棱锥【点睛】

体积的最大值为9.

本题主要考查棱锥的体积公式，棱锥外接球的性质，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题 17．在

中，角，，的对边分别为，，，已知

.

（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）已知

，

，求的值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

(Ⅰ)由题意利用正弦定理边化角， 【解析】然后结合三角函数的性质即可确定角的大小；(Ⅱ)由题意首先由面积公式确定c的值，然后结合余弦定理即可求得边长a的值. 【详解】 （Ⅰ）因为

，由正弦定理得

，

因为，所以，所以，

所以，

所以，因为，所以.

（Ⅱ）因为，所以，所以，

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所以【点睛】

，所以.

在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 18．如图，四棱锥

，

中，底面底面

，

为梯形，

，是

，的中点.

，

（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）求点到平面

平面的距离.

；

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】(Ⅰ)由题意利用几何关系首先证得理即可证得题中的结论；

平面，然后利用面面垂直的判定定

(Ⅱ)由题意首先求得相应三棱锥的体积，然后利用等体积法即可求得点到平面距离. 【详解】 （Ⅰ）∵∴由题意，∴又∵∵

平面.

，且，很明显，且，∴平面

平面

，，∴，平面

. 平面

，∴

是等腰直角三角形，

，∴平面

， ，

底面

，

底面

，

的

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（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面作

，垂足为，∴

平面平面

，平面，

平面，

∵是的中点，∴，，

∴三棱锥的体积为.

设点到面的距离为，由（Ⅰ）知，，

所以的面积为.

∴，

∵即，∴.

所以点到平面【点睛】

的距离为.

本题主要考查面面垂直的判定定理，点面距离的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．某大型超市公司计划在市新城区开设分店，为确定在新城区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据统计后得到下列信息（其中表示在该区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和）： 分店个数（个） 2 3 4 5 6 年收入（万元）

250 300 400 450 600 （Ⅰ）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的回归方程；

（Ⅱ）假设该公司每年在新城区获得的总利润（单位：万元）与，之间的关系为

，请根据（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司在新城区开设多少

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个分店时，才能使新城区每年每个分店的平均利润最大. 参考公式：回归方程

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】(Ⅰ)由题意结合回归方程系数的计算公式即可确定直线的回归方程； (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论首先求得利润函数，然后结合均值不等式的结论即可确定利润取得最大值的分店个数和最大的利润值. 【详解】 （Ⅰ）

，

.

由公式： ，

，

∴

；

，

（Ⅱ）由题意：

所以，年平均利润，

当且仅当时，取得等号，

所以，该公司在新城区开设4个分店时，新城区每年每个分店的平均利润最大为45万元. 【点睛】

本题主要考查线性回归方程的计算及其应用，均值不等式在实际问题中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20．在平面直角坐标系

，线段

中，点是圆：

于，记点的轨迹为.

上的动点，定点

的垂直平分线交

（Ⅰ）求轨迹的方程； （Ⅱ）若动直线：且四边形

与轨迹交于不同的两点、，点在轨迹上，

的面积为定值.

为平行四边形.证明：四边形

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【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明

【解析】(Ⅰ)由题意利用图形的几何性质和椭圆的定义即可确定轨迹方程；

(Ⅱ)联立直线方程与(Ⅰ)中求得的轨迹方程，结合韦达定理和平行四边形的性质得到面积的表达式，进一步计算即可证得其面积为定值. 【详解】 （Ⅰ）由题意：

，

，

.

∴根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中∴

，

，

，

∴轨迹的方程为：；

（Ⅱ）证明：设、，

联立方程组，得，

，∴，

，，

∴的中点，∴，

点在椭圆上，∴，

∴，

∴ ，

点到直线的距离，

∴

.

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∴四边形【点睛】

的面积为定值.

解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数（Ⅰ）若函数（Ⅱ）若

在，求

.

上单调递减，求实数的取值范围； 的最大值. （Ⅱ）

【答案】（Ⅰ）

【解析】(Ⅰ)由题意分离参数，将原问题转化为函数求最值的问题，然后利用导函数即可确定实数的取值范围；

(Ⅱ)结合函数的解析式求解导函数，将其分解因式，利用导函数研究函数函数的单调性，最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最值. 【详解】 （Ⅰ）由题意知，

在

上恒成

立，所以在上恒成立.

令，则，

所以所以

在

.

上单调递增，所以，

（Ⅱ）当时，.

则，

令，则，

所以在上单调递减.

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由于，，所以存在满足，即.

当所以所以

在

时，，

上单调递增，在

；当

上单调递减. ，

时，，.

因为，所以，所以，

所以【点睛】

.

本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，零点存在定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22．在平面直角坐标系

中，曲线的参数方程为

（为参数）.

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线与曲线有两个不同的交点，，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】(Ⅰ)将所给的参数方程消去参数即可确定曲线的直角坐标方程，然后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可；

(Ⅱ)联立(Ⅰ)中的极坐标方程和直线的极坐标方程，结合韦达定理和参数的几何意义即可确定【详解】

（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为即又

，

，

，

.

. ，

的取值范围.

∴曲线的极坐标方程为

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（Ⅱ）把代入

.

得

设，，则，.

所以 ，

又射线与曲线有两个不同的交点，，∴，

∴，∴，

∴，

∴【点睛】

的取值范围为.

本题主要考查直角坐标与极坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23．已知函数（Ⅰ）解不等式

；

，记

的最小值为.

（Ⅱ）若正实数，满足，求证：.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明

【解析】(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可； (Ⅱ)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式. 【详解】 （Ⅰ）①当∴②当∴

；

时，；

，

时，

，即

，

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③当∴

时，

.

.

，即，

综上所述，原不等式的解集为（Ⅱ）∵当且仅当∴

的最小值

时，等号成立. .

，

∴ ，

即，

当且仅当即时，等号成立.

又，∴，时，等号成立.

∴【点睛】

.

本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

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