高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线练习(含解析)新人教A版选修44

高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线练习（含解析）新人教A

版选修44

四渐开线与摆线

课时过关·能力提升

基础巩固

1若基圆的直径为5,则其渐开线的参数方程为()

A

B

C

D

解析因为基圆的直径为5,所以它的半径,知选项C正确.

答案C

2给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系的原点和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.

其中正确的说法有()

A.①③

B.②④

C.②③

D.①③④

解析对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着坐标系选择的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.

答案C

3下列各点中,在圆的摆

A.(π,0)

B.(π,1)

C.(2π,2)

D.(2π,0)

答案D

4当φ=2π时,圆的渐开

A.(11,0)

B.(11,11π)

C.(11,-22π)

D.(-π,22π)

解析当φ=2π时,代入圆的渐开线方程,得x=11(cos2π+2π·sin2π)=11,y=11(sin2π-

2π·cos2π)=-22π.故所求点为(11,-22π).

答案C

5已知圆的渐开线的参数方程

解析由圆的渐开线的参数方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.把

θ,得

x

答案2

6已知渐开

解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r=6,其方程为x2+y2=36,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的方程x轴上的椭圆.c((-

答案(

7当φ

解析把φ.

答案(2π-4,4)

8求摆≤t≤2π)与直线y=2的交点的直角坐标.

解当y=2时,2=

2(1-cos t),∴cos t=0.

∵0≤t≤2π,

∴t

∴x1=

x2=

故交点坐标为(π-2,2),(3π+2,2).

能力提升

1已知圆的摆线的参数方程

A.4π,2

B.2π,4

C.2π,2

D.4π,4

解析由摆线的参数方程可知,产生摆线的圆的半径r=2,又由摆线的产生过程可知,摆线一个拱的宽度等于圆的周长,即为2πr=4π,摆线的拱高等于圆的直径4.

答案D

2已知一个圆的参数方程

A

解析根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程

).把φ,

所以|AB|

答案C

★3如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其

A.3π

B.4π

C.5π

D.6π

解析根据渐开线的定义可1,长度2,

长度为π3,长度4,长度为2π.所以曲线段AEFGH 的长是5π.

答案C

4已知一个圆的摆线方程

答案16π

5已知圆C的参数方程

(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?

(2)写出平移后圆的渐开线的参数方程.

解(1)圆C平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-d,所

以直线和圆相切.

(2)由圆的半径是6,得渐开线的参数方程).

6已知圆的渐开≤φ≤2π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.

解把已知点(3,0)代入参数方程得

所以基圆的面积S=πr2=π×32=9π.

7

已知渐开

解把

φA,B两点的坐标分别

根据两点间的距离公式可得

|AB|

★8已知半径为8的圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应的曲线,求此曲线上点的纵坐标y 的最大值,说明该曲线的对称轴.

解点M的轨迹的参数方程,0≤t≤2π).

点M的轨迹曲线如图所示.

由图可知,当t=π,即x=8π时,y有最大值16.

曲线的对称轴为x=8π.

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