(新课程)高中数学《第二章 圆锥曲线与方程》归纳整合 新人教A版选修2-1

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要点归纳 1.研究椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的方法是一致 的.例如在研究完椭圆的几何特征、定义、标准方程、简单性 质等以后，通过类比就能得到双曲线、抛物线所要研究的问题 以及研究的基本方法.

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2.对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.如(1)在求轨迹 时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的 方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与 两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识 来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到 焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义 去解决.

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3.直线l与圆锥曲线有无公共点，等价于由它们的方程组成的 方程组有无实数解，方程组有几组实数解，直线l与圆锥曲线 就有几个公共点；方程组没有实数解，直线l与曲线C就没有公 共点. (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理； (2)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不 求，简化运算.

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专题一 求曲线的方程 求曲线方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法 有： (1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x,y),根据几何条 件直接寻求x、y之间的关系式. (2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点 的关系，把所求动点转换为已知动点.具体地说，就是用所求 动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的 曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式.网 络 构 建 专 题 归 纳 解 读 高 考

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(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、 抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出 动点的轨迹方程. (4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x,y)的坐标x,y所 满足的关系式时，借助第三个变量t,建立t和x,t和y的关系式 x=φ(t),y=φ(t),再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所 满足的方程，从而求出动点P(x,y)所形成的曲线的普通方 程.

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(5)交轨法：有些情况下，所求的曲线是由两条动直线的交点 P(x,y)所形成的，既然是动直线，那么这两条直线的方程就 必然含有变动的参数，通过解两直线方程所组成的方程组，就 能

将交点P(x,y)的坐标用这些参数表达出来，也就求出了动 点P(x,y)所形成的曲线的参数方程，消掉参数就得到了动点 P(x,y)所形成的曲线的普通方程.

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【例1】 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2, 若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点 M的轨迹方程. 解 法一 设点M的坐标为(x,y). ∵M为线段AB的中点， ∴A的坐标为(2x,0),B坐标为(0,2y). ∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4), 4-0 ∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1,而kPA= (x≠1). 2-2x 4-2y 2-y 2 kPB= ,∴ · =-1(x≠1), 1 2-0 1-x 整理，得x+2y-5=0(x≠1)网 络 构 建 专 题 归 纳 解 读 高 考

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∵当x=1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4), ∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0 综上所述点M的轨迹方程是x+2y-5=0. 法二 设M的坐标为(x,y),则A、B两点的坐标分别是(2x, 0),(0,2y),连接PM.∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|. 而|PM|= (x-2)2+(y-4)2, |AB|= (2x)2+(2y)2, ∴2 (x-2)2+(y-4)2= 4x2+4y2, 化简得x+2y-5=0为所求轨迹方程.网 络 构 建 专 题 归 纳 解 读 高 考

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法三 ∵l1⊥l2,OA⊥OB. ∴O、A、P、B四点共圆，且该圆的圆心为M,∴|MP|=|MO|. ∴点M的轨迹为线段OP的中垂线. 4-0 ∵kOP= =2, 2-0 OP的中点坐标为(1,2). 1 ∴点M的轨迹方程是y-2=-2(x-1), 即x+2y-5=0.

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专题二 圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”,对于 圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “回归定义”是一种重要的解题策略. 研究有关点点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点 到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的 点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再从几何图形利 用几何意义去解决有关的最值问题.

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【例2】 抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 三点，F是它的焦点，若|AF|,|BF|,|CF|成等差数列，则( A.x1,x2,x3成等差数列 B.y1,y2,y3成等差数列 C.x1,x3,x2成等差数列 D.y1,y3,y2成等差数列 ).

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解析 如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′, B′,C′,由抛物线定义：|AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,|CF|= |CC′|.∵2|BF|=|AF|+|CF|,∴2|BB′|=|AA′|+|CC′|,又∵|AA′| p p p p p =x1+2,|BB′|=x2+2,|CC′|=x3+2,∴2(x2+2)=x1+2+x3 p +2 2x2=x1+x3,∴选A. 答案 A

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x2 y2 【例3】 若

点M(2,1),点C是16+ 7 =1 椭圆的右焦点，点A是椭圆上的动点，则 |AM|+|AC|的最小值是________. 解析 点M(2,1)在椭圆内，那么 |BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+|AC|=2a, 所以|AM|+|AC|≥2a-|BM|, 而a=4,|BM|= (2+3)2+1= 26, 所以(|AM|+|AC|)最小=8- 26. 答案 8- 26网 络 构 建 专 题 归 纳 解 读 高 考

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专题三 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与圆锥曲 线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中 变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次 方程的判别式Δ,则有：Δ>0 直线与曲线有两个交点；Δ=0 直 线与曲线有一个交点；Δ<0 直线与曲线无交点. 而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与 对称轴平行，双曲线中与渐近线平行),反映在消元后的方程上， 该方程是一次的.

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(2)直线l被曲线截得的弦长|AB|= 1 (1+k2)(y1-y2)2

(1+k2)(x1-x2)2 (或

,其中k是直线l的斜率，(x1,y1),

(x2,y2)是直线与曲线的两个交点A,B的坐标.

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【例4】 已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上.若 右焦点到直线x-y+2 2=0的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M、N.当 |AM|=|AN|时，求m的取值范围. x2 2 解 (1)依题意，可设椭圆方程为a2+y =1, | a2-1+2 2| 则右焦点F( a2-1,0),由题设 =3, 2 x2 2 解得a2=3,故所求椭圆的方程为 +y =1. 3网 络 构 建 专 题 归 纳 解 读 高 考

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y=kx+m 2 (2)设P为弦MN的中点，由 x +y2=1 3 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, 由于直线与椭圆有两个交点， ∴Δ >0,即m2<3k2+1 xM+xN 3mk ∴xP= 2 =- 2 , 3k +1 m 从而yP=kxP+m= 2 , 3k +1 yP+1 m+3k2+1 ∴kAP= =- , xP 3mk网 络 构 建 专 题 归 纳 解 读 高 考

①

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又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN, m+3k2+1 1 则- =-k,即2m=3k2+1 3mk 把②代入①得2m>m2,解得0<m<2, 2m-1 1 由②得k = >0,解得m> , 3 22

②

1 故所求m的取值范围是(2,2).

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专题四 圆锥曲线中的定值、定点问题 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有：证明 直线过定点和证明某些量为定值.而解决这类定点与定值问题 的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到 定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找； 另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验 证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方

向.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5i6e.html