物理作业01-质点运动学

01 质点运动学

一、选择题

（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）

1．在下列关于质点速度的表述中，不可能出现的情况是：

A．一质点具有恒定的速率，但却有变化的速度； B．一质点向前的加速度减少了，其前进速度也随之减少； C．一质点加速度值恒定，而其速度方向不断改变；

D．一质点具有零速度，同时具有不为零的加速度。 （ B ）

[知识点] 速度v与加速度a的关系。

[分析与解答] 速度v和加速度a是矢量，其大小或方向中任一项的改变即表示速度或加速度在变化，且当速度与加速度间的方向呈锐角时，质点速率增加，呈钝角时速率减少。

因为质点作匀速运动时速率不变，但速度方向时时在变化，因此，A有可能出现，

抛体运动（或匀速圆周运动）就是加速度值（大小）恒定，但速度方向不断改变的情形，故C也有可能出现。

竖直上抛运动在最高点就是速度为零，但加速度不为零的情形，故D也有可能出现。

向前的加速度减少了，但仍为正值，此时仍然与速度同方向，故速度仍在增大，而不可能减少，故选B。

2． 在下列关于加速度的表述中，正确的是：

A．质点沿x轴运动，若加速度a< 0，则质点必作减速运动； B．质点作圆周运动时，加速度方向总是指向圆心； C．在曲线运动中，质点的加速度必定不为零；

D．质点作曲线运动时，加速度方向总是指向曲线凹的一侧； E．若质点的加速度为恒失量，则其运动轨迹必为直线；

F．质点作抛物运动时，其法向加速度an和切向加速度aτ是不断变化的，因此，加速度

2a?an?aτ2也是变化的。 （ C、D ）

[知识点] 加速度a及运动性质判据

[分析与解答] 因为判断作直线运动的质点作加速还是减速运动的判据是看a和v的方向关系，即a，v同向为加速运动，a，v反向则作减速运动，而不是只看a的正负。当a<0 时，若v<0，则质点是作反方向加速运动，故A错误。

平抛斜抛运动都是曲线运动，但其加速度却是恒矢量（大小、方向均不变），故E也错误。 作抛体运动时，虽然an和aτ是变化的，但合加速度a却是常数，等于g，故D也不成立。

在曲线运动中必向加速度an?v2?，故总加速度一定不为零，所以，C是正确的。

质点作匀速圆周运动时，加速度a的方向指向圆心，但作变速圆周运动时，由于aτ的存在，加速度a的方向如图1-1(a)所示，故B错误。

质点作曲线运动时，由于速度的方向是变化的，则加速度的方向总是指向曲线凹的一侧，如图1-1(b)所示，故D是正确。

yaOana?vAvAxAa?vBvBRO 图1-1(a) 图1-1(b) vB 图1-2

3. 如图1-2所示，质点作匀速圆周运动，其半径为R，从A点出发，经半个圆周而达到B点。则在下列表达式中，不正确的是：

A．速度增量?v?0，速率增量?v?0； B．速度增量?v??2vj，速率增量?v?0； C．位移大小

?r?2R，路程s?πR；

D．位移?r??2Ri，路程s?πR。 （ A ） [知识点] ?r与?v的分量表达方法，?v与?v、?r与s的计算

[分析与解答] 依题意，质点rA?Ri，rB?Ri，vA?vj，vB??vj，则从A点运动到B点时，速度的增量

Δv?vB?vA??vj?vj??2vj?0，而速率增量

?v?vB?vA?v?v?0；

位移?r?rB?rA??Ri?Ri??2Ri，位移的大小?r?2R，路程s?πR，故A不正确。

4． 一质点在xOy平面内作曲线运动，r为位置矢量，s为路程。在下列关于质点速率的表达式中，正确的是：

A．v?drdrds； B．v?； C．v?； dtdtdtdrdx2dy2 D．v?()?()； E． v?。 （B、C、D）

dtdtdt[知识点] 速率与径向速率 [分析与解答] v?drdrdsdrdr，它的大小等于瞬时速率v ；且为瞬时??v，而v?dtdtdtdtdtdydx，vy?是二维运动速度沿x，y轴的两个分量，且有 dtdt2速率的定义式；vx?2

?dy??dx?22????vx?vy ???dt??dt?即为瞬时速度的大小，它等于瞬时速率。

而

drdrdr是径向速率，是速度在r方向的分量，它只反映了r的大小变化，。 ?dtdtdt

5．如图1-3(a)所示，物块A与B分别置于高度差为h的水平面上，借一跨过滑轮的细绳连接，若A以恒定速度v0运动，则B在水平面上的运动为：

A．匀速运动，且v?v0； B．加速运动，且v?vo；

C．加速运动，且v?vo； D．减速运动。 （ B ）

[知识点] 加速、减速判据，第Ⅰ类问题 [分析与解答]

v0A

Ohrxh?vBx 图1-3(a)

y 图1-3(b)

选坐标原点O在滑轮处，x轴水平向右，y轴竖直向下，如图1-3(b)所示。任意时刻物块B的位矢为 r?xi?hj 设物块B的速度为v v?drdxdhdxdh?i?j?i?vxi （?0,vy?0） dtdtdtdtdt任意时刻物块B到原点的距离x都满足 x? vx?r2?h2

dxdrdr ?r2?h2?22dtdtdtr?h按题意v0??drdr?0 是物块A的速率，因为绳长r随时间在缩短，故

dtdtx2?h2v0??v0 则有 vx??22xr?hrx2?h2v??v0i

x物块B的速度方向沿x轴负向。物块B的速率为

v?v?v0xx2?h2?v0?v0 cosθ物块B的加速度为 a?dvdvx?i dtdtdvxdx2?h2ax??(?v0)dtdtx 222hdx?v0h?v0?222dtx3xx?h22v0ha?axi??3i

x物块B的加速度方向沿x轴负向。v与a方向相同，物块B作变加速直线运动。

26．已知质点的运动方程为：x?Atcos??Btcos?，y?Atsin??Btsin?，式中A、B、?2均为恒量，且A?0，B?0，则质点的运动为：

A．圆周运动； B．抛体运动； C．椭圆运动；

D．匀加速直线运动； E．匀减速直线运动。 （ D ）

[知识点] 轨道方程，加速、减速判据，第Ⅰ类问题

?x?Atcos??Bt2cos?[分析与解答] 质点的运动方程为 ? 2?y?Atsin??Btcos?由此可知

y?tan?， 即 y??tan??x x由于??恒量，所以上述轨道方程为直线方程。

?vx??A?2Bt?cos?又 ?

??v?A?2Btsin??y?ax?2Bcos??恒量 ?

a?2Bsin??恒量?y由于A?0，B?0，显然v与a同号，故质点作匀加速直线运动。

7．一质点沿x轴运动，其运动方程为x?4t?2t（SI），当质点再次返回原点时，其速度和

23加速度分别为：

A．8m/s，16m/s2； B．-8m/s，16m/s2；

C．-8m/s，-16m/s2； D．8m/s，-16m/s2。 （ C ）

[知识点] 第Ⅰ类问题的数值计算 [分析与解答] 速度 v?dx?8t?6t2 dt加速度 a?dvdt?8?12t 当质点再次返回原点时，有 x?4t2?2t3?0 得 t?0（舍去）和t?2s 则此时的速度和加速度分别为 v?8x2?6x2??8m/s

a?8?12x2??16m/s

8．已知质点的运动方程为x??10?12t?2t2（SI），则在前5s内质点作：

A．减速运动，路程为36m； B．加速运动，位移为10m；

C．前3s作减速运动，后2s作加速运动，路程为26m；

D．变速运动，位移的大小和路程均为10m。 [知识点] 第Ⅰ类问题，转向点条件，加速、减速判据，路程与位移。 [分析与解答] 速度 v?dxdt?12?4t 加速度 a?dvdt?12m/s?0 质点直线运动的转向点时刻应满足 v?12?4t?0

则得 t?3s

当0 ≤ t ＜ 3s时，v > 0，且a > 0，质点加速运动。

此段路程为s1?x2?x1???10?12?3?2?32????10??18m

当3 s< t ≤ 5s时，v ＜ 0，且a > 0，质点减速运动。 此段路程为s2?x3?x2

?(?10?12?5?2?52)?(?10?12?3?2?32)?8m

则质点的总路程为 s?s1?s2?26m

C ）

（

9．一质点沿半径R = 1m的圆轨道作圆周运动，其角位置与时间的关系为?则质点在t?1s时，其速度和加速度的大小分别为：

A．1m/s，1m/s2； B．1m/s，2m/s2； C．1m/s，

1，?t2?1（SI）

22m/s2； D．2m/s，2m/s2。 （ C ）

d??t dt[知识点] 角量与线量关系。 [分析与解答] 角速度 ?? 角加速度 ??d?

?1rad/2sdt 速度的大小v??R?t?1?t

v2t2??t2 线向加速度an?R1切向加速度a?dv?1m/s2 dt22an?a??t4?1

总加速度 a?则当t=1s时，质点的速度和加速度的大小为 v?1m/s a?14?1?

10．A、B两船都以2m/s的速率匀速行驶，且A船沿x轴正向运动，B船沿y轴正向运动。则B船相对于A船的速度（以m/s为单位）为

A．2i?2j； B．?2i?2j；

C．?2i?2j； D．2i?2j。 （ B ） [知识点] 运动相对性，伽利略速度变换式。

[分析与解答] 取地面为静止参考系S系，A船为运动参考系S’系，B船为运动物体。 则绝对速度为 u = 2j 牵连速度 v = 2i

而B船相对于A船的相对速度为 u??u?v?2j?2i 即 u???2i?2j

2

二、填空题

1．一质点沿x轴方向运动，其运动方程为x?10?9t 质点前2s的位移为?r= ?2i m； 质点速度的表达式为v?

，则： ?6t2?t3（SI）

(?9?12t?3t3)i m/s；

质点沿x轴的最大速度值为vmax= 3 m/s。 [知识点] 第Ⅰ类问题，位移的计算。

[分析与解答] 已知运动方程为 x?10?9t?6t?t

t?0s的位矢 r0?10im

t?2s的位矢 r2?10?9?2?6?22?23i?8im 则前2s的位移 ?r?r2?r0??2im 质点的速度 v?23??dxi??9?12t?3t2im/s dt??质点的加速度的大小 a?当

dv?12?6t dtdv?12?6t?0时，质点具有最大速度，即t=2s时，最大速度值为 dt vmax??9?12t?3t2??9?12?2?3?22?3m/s

2．一质点在xOy平面内运动，其运动方程为x?2t，y?19?2t（SI）。则

2x2 质点的轨迹方程为 y? 19? ；

2 t?2s时的位矢为 r? 4i?11j m； t?2s时的速度为 v? 2i?8j m/s； 前2s内的平均速度为 v? 2i?4j m/s。 [知识点] 轨迹方程与运动方程，二维第Ⅰ类问题，矢量表达式。 [分析与解答] 已知质点的运动方程为

x?2t (1) y?19?2t (2) 由式（1）得t?2x，代入式（2）即可得 2x2质点的轨迹方程 y?19?

2质点的位矢为 r?2ti?19?2t2j

当t=2s时，质点的位矢为 r?2?2i?19?2?22j??4i?11j?m 质点的速度为 v?当t=2s时，质点的速度为

v?2i?4?2j??2i?8j?m/s 质点在前2s内的平均速度为 v?????dr?2i?4tj dt?rr2?r0? ?t2 ???2?2i??19?2?2?2 ??2i?4j?m/s

?1?2?j?19j??

?23．一质点沿x轴正方向运动，其速度为v?8?3tm/s，当t?8s时，质点位于原点左侧52m

处，则其运动方程为x?t3且可知当t?0时，原点的初始位置为x0? -628 m，?8t?628m；

初速度为v0= 8 m/s。 [知识点] 第Ⅱ类问题，初始条件。 [分析与解答] 一维质点运动 v?dx?8?3t2 （1） dt分离变量 dx?8?3tdt 积分，且注意t?8s时，x??52m，即

3?2??x?52dx???8?3t?

t283则 x?52?8t?t?8?8?8 即运动方程为 x?t?8t?628 （2） 将t?0代入式（2），则质点的初始位置为 x0??628m 将t?0代入式（1），则质点的初速度为 v0?8m/s

4．在质点曲线运动中，切向加速度aτ是反映质点运动速度 大小 变化的物理量；而法向加速度an是反映质点运动速度 方向 变化的物理量。

一质点在xOy平面内作抛物运动，如图1-4(a)所示，若不计空气阻力，试在图上标出P、Q两

点

3yPPv0O图1-4(a)

Qv0a=nganQ的

a?

x

g

图1-4(b)

切向加速度aτ和法向加速度an。 [知识点] 切向、法向加速度。

[分析与解答] 不计空气阻力，质点作抛体运动时，只受到竖直向下的重力作用，即加速度始终向下且大小为重力加速度g，因此最高点P只有法向加速度an?g，在Q点既有切向加速度aτ，又有法向加速度an，方向如图1-4（b）所示。

5．如图1-5(a)所示，一炮弹作抛体运动，在轨道的P点处，其速率为v，且v与水平面的夹角

vdv? ?gsin? ；P点处的曲率半径?? 为?，则该时刻质点的 。 dtgco?s[知识点] 自然坐标系， aτ、an。

[分析与解答] 如图1-5(b)所示，抛体运动的加速度就是重力加速度g，它的切向分量为

2aτ?dv??gsinθ，式中负号表示切向加速度aτ的方向与速度v方向相反。 dt法向加速度 an?gcoθs?v2?

v2则由此知P点处的曲率半径为 ??

gcos?yvv

PO?Pa? 图1-5(a)

?anx

g 图1-5(b)

6．一质点沿x轴作直线运动，其v～ t曲线如图1-6所示。如果t则t?4.5s时，质点的位置为x? m/s2。

[知识点] 图线运用，第Ⅱ类问题.

[分析与解答] 在v－t图上，曲线任一点的斜率表明是加速度，即

2?0时，质点位于坐标原点，

961 m，质点所行的路程为s? m，质点的加速度为a? 2 412v(m/s)103142图1-6 4.5t(s)dv a?tanθ?

dt-1 在v－t图中曲线所包围的面积表示的是质点运动的路程s，处于第Ⅰ象限的为+s，处于第Ⅳ象限的为－s（即沿相反方向运动的路程）。

依图示可得 v?v0?a?t?t0? 在2s≤t＜3s内， a3??1?2??3m/s2，v30?2m/s

3?2则速度 v?2?3?t?2???3t?8 质点的转向点 v??3t?8?0 t?8s 3则从0～

8s内质点的路程为 s1?sABCD3?8??1???2113????m

2311m 3已知当t?0时，x0?0，而 s1?xD?x0?从

8s～4.5s内，质点的路程为 s2?sDEFG3??98???1??2?3???117??????m

212由于

817m s～4.5s内，质点作反方向运动，则 s2?xD?xG?3121711179???m 123124111761??m 31213则t = 4.5s时，质点的位置为 xG?xD?此时质点的路程为 s?s1?s2?由图求斜率得此时的加速度为 a?

1?2m/s 0.57．一汽车沿x轴正向行驶，其加速度与位置的关系为a?1?x（SI），已知汽车初始时刻在

x?0处的速度为v0 = 1m/s。则汽车在任一位置的速度为v? x?1 m/s，任一时刻的位置为x?

et?1 m。

[知识点] 第Ⅱ类问题，

dvdvdx?变量代换。 dtdxdtdvdvdxdv??v ⑴ dtdxdtdx[分析与解答] 由一维运动加速度定义有

a?

又由题意知 a?1?x ⑵ 由式⑴和式⑵得 vdv?1?x dx分离变量，积分并注意初始条件，则有

即 v2?v1vdv???1?x?dx

0x1211v??x?x2 222?x2?2x?1

得 v?x?1（舍去负值）

而由速度定义有 v?dx?x?1 dt则分离变量，积分并注意初始条件，则

?x0tdx?dt x?1?0 得 ln(x?1)?t 则任一时刻的位置为 x?e?1

8．如图1-7(a)所示，一辆货车的驾驶室后壁高度为h，车厢长为l，竖直下落的雨点速度为u，要使车厢中的货物不致淋雨，则车的速度v的大小必须满足的条件是 v?

tul 。 hhl?uvvuv'?

图1-7(a)

图1-7(b)

[知识点] 运动相对性，速度叠加。

[分析与解答] 如图1-7(a)所示，取地面为静止参考系，货车为运动参考系，雨点为运动物体，则绝对速度为u，方向竖直向下，牵连速度为v，方向水平向右，则雨点对货车的相对速度为

v??u?v 在图1-7(b)的速度三角形中，有 tan??u v当? 角小于车厢上的相应角度??（如图所示）时，即 tan??tan???h l亦即

uh? vl 即当v?

ul车厢上的货物不致淋雨。 h9．一小孩在车站站台上以初速度v0竖直向上抛出一小球，站台上的观测者S测得小球的运动方程为x?0，y1。此时，一列车以u?5m/s的速度沿x轴正方向驶过站台，?v0t?gt2（SI）

2则列车上的观测者S?（旅客）测得小球的运动方程为

x?? ?5t （SI），y?? v0t?12gt （SI） 2v0gx?2轨迹方程为 y??? （SI） 。 x??550[知识点] 运动描述的相对性，伽利略变换式。

[分析与解答] 取站台上的观测者S为静止参考系，列车上的观测者S?为运动参考系，小球为运动物体，S?系对S系的速度为u，则由伽利略时空变换关系为

?x'?x?ut? ?y'?y ⑴

?t'?t?且考虑x = 0，u?5m/s，y?v0t?12gt，则S?系测得小球运动方程为 2t??x'??512 ⑵ ?y'?v?gt0?2?由式⑵消去时间t ，得轨迹方程为

v0gx?2 y'??x'?

550

10．一质点从静止出发，作半径为R = 3.0m的圆周运动，其切向加速度的大小始终为

aτ?3m/s2。当质点的总加速度a与半径成450角时，质点所经过的时间为t? 1 s；在上述时间

内，质点所经过的路程为s? 1.5 m，角位移为??? 0.5 rad。 [知识点] 角量的第Ⅱ类问题，圆周运动中的aτ和an角量与线量的关系 [分析与解答] 已知aτ?3.0m/s，当??45?有

v2an?aτ??3

R则得此时 v?3m/s ⑴

而 aτ?dv?3 dt由题意知 t?0，v0?0，则 v?3t ⑵ 由式(1)和式(2)得 t?1s 又由 v?则 s?在一秒内的路程为 s?角位移为 ?θ?

ds?aτt dt1axt2 21?3?1?1.5m 2s1.5??0.5rad R3三、计算与证明题

1．一雨滴从高空云层由静止竖直下落，其加速度随速度的变化关系为a?m?nv（SI），式中m、n为常数。试求雨滴的下落速度v与时间t的函数关系，并讨论雨滴的运动情况。（假设雨滴在下落过程中质量不变。）

[分析与解答] 选雨滴的下落方向为y轴正方向，雨滴起点为坐标原点。 按题意t= 0时，y0?0,v0?0。 由 a?分离变量并积分得

dv?m?nv dt?v0vtdv1d(m?nv)?????dt 00m?nvnm?nvv?m(1?e?nt) n结果表明，雨滴速度随时间按指数规律增长，雨滴作加速运动。 当t

2．一质点以半径R?6m作圆周运动，其在自然坐标系中运动方程为：

??时，v?m= 常量，表明雨滴将以该极限速度作匀速运动。 n1s?bt?ct2（SI）

2式中，b?2.0m经历的时间。

[分析与解答] 由题设方程可知，质点圆周运动的速率为

s，c?1.0ms2。试求质点切向加速度与法向加速度大小相等之前，其所

v?ds?b?ct dtdv?c dt则其切向加速度的大小为 aτ?v2b2?c2t2?则其法向加速度的大小为 an? RR按题意有aτ?an，即

b2?c2t2?c R 代入b?2.0ms，c?1.0ms2，R?6m，得

t?2s

3．一小球沿x轴作直线运动，其x～t，v～t，a～t曲线分别如图1-8（a）（b）（c）所示。试求： （1）小球的运动方程；

（2）分析小球在0～3s内的运动情况； （3）3s内的位移和路程。

[分析与解答]（1）由a～t曲线可知，a = -8m/s2，表明小球做匀变速直线运动，其标准方程为：

x?x0?v0t? 又由v～t和x～t曲线可知，当t12at（SI） 2?0时，x0?10m，v0?8ms。

x?10?8t?4t2（SI）

所以，小球的运动方程为： （2）在t减速运动；

?0时，x0?10m，v0?8ms，a??8ms2。此时，质点开始沿x轴正方向匀

s2，

在t?1s时，质点到达x轴正方向最远处，即x?14m，但此时v1?0，a??8m表明此时刻质点瞬间静止，处于换向点； 在1~3s内，速度v?0，a??8ms2，表明质点沿x轴反方向作匀加速直线运动。

在t?3s时，质点到达x??2m处。

（3）由x～t曲线上可以看出，在0~3s 内的位移为：

?x?x3?x0??2?10??12m

路程为：s?(x1?x0)?x3?x1?(14?10)??2?12?20m

v(m/s)x(m)141210864AB128C

a(m/s2)40-4-831v123t(s)v20123t(s)20-21-12Dt(s)-4-16v3-8(a)

(b) 图1-8

(c)

4．已知某行星的运动方程为r，式中A、B、?均为正的常数，?Acos?ti?Bsin?tj（SI）

且A?B，i、j分别为x、y轴的单位矢量。

（1）试证：该行星的运动轨迹为椭圆； （2）试求行星的加速度a；

（3）试说明：行星途径第二象限任一点M时（如图1-9所示），是加速还是减速运动？ [分析与解答] （1）由题设可知，该行星运动方程的分量式为：

x?Acos?t， y?Bsin?t

消去t得

yMOxx2y2?2?1 2AB 表明行星是以2A为长轴，2B为短轴作椭圆轨道运动。

（2）因为

d2xax?2??A?2cos?t

dtd2yay?2??B?2sin?t

dt 则

图1-9

a?axi?ayj

??A?2cos?ti?B?2sin?tj ???2r

即a与r反向，表明a恒指向椭圆中心。

（3）因为 v?dr???Asinωti??Bcosωt j dta???2Acosωti??2Bsinωt j???2r

而 a?v?(??2Acosωti??2Bsinωt j)?(??Asinωti??Bcosωt j) ??3sinωtcosωt(A2?B2)

由题意知，此时行星在通过图中在第二象限的M点，有

sinωt?0，cosωt?0，且A?B，??0

则 a?v?0

a与v夹角为钝角，表明在M点切向加速度aτ的方向与速度v的方向相反。所以，质点在通过M点时速率会减小。

四、简答题

1．质点在xOy平面内运动，r为位置矢量。试说明

?r??r，并画出简图。

[答]：?r是位量矢量的模，它反映了r的大小、方向两个因素的变化。而?r=?r称为径向增量，它只反映r的大小变化，如图1-10所示。

2．一个作平面运动的质点，其切向加速度aτ和法向加速度an均不为零，试讨论在下列条件下质点的运动情况：

（1）加速度a?恒矢量； （2）加速度a随时间变化。

O图1-10

yA?rB?rr1r2x

[答]：（1）aτ、an不为零，表明质点速度的大小、方向均变化，但加速度a是恒矢量，表明质点作抛体运动。

（2）若a随时间变化，则质点作一般曲线运动。若其曲率半径?等于常量，则质点作变速圆周运动。

（3）因为 v?dr???Asinωti??Bcosωt j dta???2Acosωti??2Bsinωt j???2r

而 a?v?(??2Acosωti??2Bsinωt j)?(??Asinωti??Bcosωt j) ??3sinωtcosωt(A2?B2)

由题意知，此时行星在通过图中在第二象限的M点，有

sinωt?0，cosωt?0，且A?B，??0

则 a?v?0

a与v夹角为钝角，表明在M点切向加速度aτ的方向与速度v的方向相反。所以，质点在通过M点时速率会减小。

四、简答题

1．质点在xOy平面内运动，r为位置矢量。试说明

?r??r，并画出简图。

[答]：?r是位量矢量的模，它反映了r的大小、方向两个因素的变化。而?r=?r称为径向增量，它只反映r的大小变化，如图1-10所示。

2．一个作平面运动的质点，其切向加速度aτ和法向加速度an均不为零，试讨论在下列条件下质点的运动情况：

（1）加速度a?恒矢量； （2）加速度a随时间变化。

O图1-10

yA?rB?rr1r2x

[答]：（1）aτ、an不为零，表明质点速度的大小、方向均变化，但加速度a是恒矢量，表明质点作抛体运动。

（2）若a随时间变化，则质点作一般曲线运动。若其曲率半径?等于常量，则质点作变速圆周运动。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s5mo.html