中学数学思想方法的培养与探究-以数形结合为例

学科代码： 070101 学 号： 20090060329

成人教育本（专）科毕业论文（设计）

题 目： 中学数学思想方法的培养与探究

——以“数形结合”思想为例

学 院：＿理 学 院 专 业：＿数学与应用数学 班 级：＿＿2 班＿＿＿＿ 学生姓名：＿龙 润 文＿＿ 指导教师：＿＿＿＿＿＿＿＿

2010年12月30日

中学数学思想方法的培养与探究

——以“数形结合”思想为例

摘要：数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。 在中学数学教学中，要注重培养学生数形结合的思想方法，不断提高学生综合的思维能力。

关键词：数学思想方法 数形结合

1 数形结合思想在数学思想方法中的意义

数学在其漫长的发展过程中，不仅建立了严密的知识体系，而且形成了一整套行之有效的思想方法，一般认为数学思想方法是一类数学方法的概括，是贯穿于该类数学方法中的基本精神、思维策略和调节原则。数学思想是高层次的观念性思维形式，是对数学知识和方法的本质的认识，它是数学科学和数学学科固有的数学灵魂。 数学方法是分析解决问题和实现数学思想的操作手段和工具。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度时，就会产生飞跃，从而上升为数学思想。数学思想对数学方法起着指导作用。数学方法在现代科学技术的发展中已经成为一种必不可少的手段，数学方法能为科学技术研究提供逻辑推理的工具。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。因而数形结合是一种重要的数学思想方法，它是学习和研究数学重要的基本方法之一，运用数形结合思想，可以培养学生的综合思维能力，全面提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。

2 数形结合思想的在解题中应用 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

数形结合的思想方法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段,形作为目的。数形结合是一种极富数学特点的信息转换，许多数量关系方面的抽象概念和解析式，若赋予之几何意义，往往变得非常直观形象，并使一些关系明朗化，简单化；而一些图形的性质，又可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题代数化，以数助形，用代数的方法使问题得到解决。这种将数与形融为一体考虑问题的策略称为数形结合策略。其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合进来，使抽象思维与形象思维结合进来，发挥数与形两种信息的转换，及其优势互补与整合。值得注意的是，代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则数形结合解题就会出现漏洞。

在中学数学教材中，数形结合问题比较多，代数中学过的代数式、方程、不等式、函数，几何中已经学过的点、线、三角形、四边形、圆的知识，都是密切联系，互相统一的，不论用代数方法研究几何问题，还是用几何图形研究数或式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想。

数形结合是培养和发展学生的空间观念和数感,进行形象思维与抽象思维的交叉运用，使多种思维互相促进,和谐发展的主要形式；数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力。

2.1代数问题应用几何方法解决

数与形在一定条件下是可以互相转化的，某些代数问题往往有几何背影，而借助其背影图形的性质，可以使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观。在解决数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，转化为几何问题，从而便于探求解题思路，找到解决问题的捷径。

2.1.1 构造三角形与它的内切圆来解决代数问题

abc++ 3 例1：设a、b、c为△ABC的三边的长，求证：b+c-ac+a-ba+b-c此题若采用证明不等式的一般方法证明结论较为繁琐。通过仔细观察发现，左边诸分母的结构形式，可以联想到构造△ABC的内切圆，利用如图1可以将左边化简。

证明：如图1，设⊙O为△ABC的内切圆，则有 a＝y＋z，b＝x＋z，c＝x＋y

abcC ++b+c-ac+a-ba+b-cz z y+zx+zx+y=++2x2y2z x 骣骣骣1轾yxzyxzy 鼢珑÷?=犏+?+?+÷珑?鼢÷?鼢桫珑桫2犏xyyzzx桫臌A B 1x y ?(22+2)=3图1 2于是原不等式结论得证。

2.1.2 构造数轴来解决代数问题

实数与数轴上的点的对应关系是一种简单的数形结合，数轴上的点与实数是一一对应关系。因此两个实数大小的比较，可以通过它们在数轴上对应的点的位置进行判断。

例2：已知x、y为负数，z为正数，且|y|＞|x|＞|z|，

化简：(y-z)2+x-z+y2-2xy+x2 分析：根据题意，画出数轴，从数轴上很明显的可以看出这三个数的大小，然后根据“两个数之差的绝对值，去掉绝对值后，用大的数减去小的数”的方法

进行化简。

解：根据题意，画出数轴： y x o

由数轴可知：z＞x＞y，则有

z (y-z)2+x-z+y2-2xy+2x2=y-z+x-z+(y-x)=y-z+x-z+y-x=z-y+z-x+x-y=2z-2y

以上例题说明了有关“数”方面的问题，借用“形”的性质之后，可以使许多抽象的关系直观化，形象化和简单化，也有助于对问题的内在联系更进一步的了解，从而变难为易，化繁为简。 同时，这对于帮助学生开阔思路，突破思维定势，有极好的作用。在学习过程中，有意培养学生的数形结合思维，往往更容易看清事物的本质，收到事半功倍的效果。

2.2几何问题应用代数方法解决 往往一些图形的性质，又可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系，即可使几何问题代数化，以数助形，用代数的方法使问题得到解决。这对提高分析问题和解决问题的能力将有极大帮助。

2.2.1 利用函数思想来解决几何的最值问题

函数是数形结合的重要体现。函数思想，是指利用函数的概念和性质去分析问题和解决问题。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

我们知道，函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过题目中数量的关系来解决问题。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。要对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能发现由此及彼的联系。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

例3：如图2，有一块形状如三角形ABC的钢板，现在要把它裁剪成长方形EFGH的形状，其中EF在BC边上，H、G分别有AB、AC边上，已知BC＝6，高AD＝4，问如何裁剪才能使长方形EFGH的面积最大？

解：设EH＝x，由题意知，△BEH∽△BDA，△CFG∽△CDA，则有

A BEEHx==，\\BD?x=4?BE ① BDDA4 H G CFFGxCF ② ==，\\CD?x=4?CDDA4B E D F C 图2

由①、②式，得

(BD+CD)x=4(BE+CF)\\6x=4(BC-EF)=4(6-EF)

3x2∴长方形EFGH的面积S为：

\\EF=6-S=EH?EF骣3÷S=x?6-x÷??桫2÷ 32S=-x+6x223S=-x-2+62()由上可知，当x＝2时，面积S最大值为6。

即EH＝2，EF＝3，长方形EFGH的面积最大，最大值为6。

2.2.2 利用方程思想来解决几何问题 方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为等式或是不等式，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题得到解决。

用代数方法解几何问题，是中学数学的一种重要思想。而方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型。在运用一元二次方程解决实际问题时，要注意对数量关系的分析，要有意识的弄清各数量之间的变化规律，用相应的数学知识和已有的经验去解决问题。在解决几何题时，能熟练的根据几何问题中的数量关系，恰当地建立一元二次方程模型，并借助一元二次方程的相关知识来求解，定能收到事半功倍的效果。

例4：如图3，小刚的爸爸从市场上购买一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为24立方米的无盖长方体合子，且此长方体合子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需15元钱，问小刚的爸爸购买这张矩形铁皮共花了多少元钱？

图3

分析：本题考查了列一元二次方程解决实际问题. 设合子底部宽为x米，则长为(x＋2)米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，进而列方程，再计算矩形铁皮的面积，从而可求得购买这张矩形铁的价值。

解：设合子底部宽为x米，则长为(x＋2)米， 依题意，得：x(x＋2)·1＝24 解之得：x1＝－6（舍），x2＝4

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