2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理)精校解析版

１２０１０年普通高等学校招生全国统一考试(

广东卷)数学(理科)

(考试时间１２０分钟一总分１５０分)

注意事项:

１．答卷前,

考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号二试室号二座位号填写在答题卡上．用２B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角 条形码粘贴处 ．

２．选择题每小题选出答案后,用２B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上．

３．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,

答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

４．作答选做题时．请先用２B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,

再作答．漏涂二错涂二多涂的,答案无效．

５．考生必须保持答题卡的整洁．

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回．参考公式:锥体的体积公式V ＝１３S h ,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高．一二选择题:本大题共１０小题,每小题５分,满分５０分．

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．１．若集合A ＝{x －２＜x ＜１},B ＝{x ０＜x ＜２},则集合A ?B ＝(一一)A ．{x －１＜x ＜１}B ．{x －２＜x ＜１}C ．{x －２＜x ＜２}D ．{x ０＜x ＜１}２．若复数z １＝１＋i ,z ２＝３－i ,则z １ z ２＝(一一)A ．４＋２i B ．２＋i C ．２＋２i D ．３３．若函数f (x )＝３x ＋３－x 与g (x )＝３x －３－x 的定义域均为R ,则(一一)A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数,g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数,g (x )为偶函数４．已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和,若a ２ a ３＝２a １,且a ４与２a ７的等差

中项为５４,则S ５的值为(一一)

A．３５B ．３３C ．３１D．２９５． m ＜

１４ 是 一元二次方程x ２＋x ＋m ＝０ 有实数解的(一一)A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件６．如图,?A B C 为正三角形,A A ??B B ??C C ?,C C ??平面A B C ,且３A A ?＝３２B B ?＝C C ?＝A B ,则多面体A B C －A ?B ?C ?的正视图(也称主视图)是(一一)

一一一

(第６题)

７．已知随机变量X 服从正态分布N (３,１),且P (２?X ?４)＝０．６８２６,则P (X ＞４)＝(一一)A ．０．１５８８B ．０．１５８７C ．０．１５８６D ．０．１５８５

８．为了迎接２０１０年广州亚运会,某大楼安装５个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯闪亮只能是红二橙二黄二绿二蓝中的一种颜色,且这５个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这５个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为５秒．如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是(一一) A．１２０５秒B．１２００秒C．１１９５秒D．１１９０秒

二二填空题:本大题共５小题,考生作答４小题,每小题５分,满分２０分．

(一)必做题(９~１３题)

９．函数f(x)＝l g(x－２)的定义域是一一一一．

１０．若向量a＝(１,１,x),b＝(１,２,１),c＝(１,１,１),满足条件(c－a) (２b)＝－２,则x＝一一一一．

１１．已知a,b,c分别是?A B C的三个内角A,B,C所对的边,若a＝１,b＝３,A＋C＝２B,则s i n C＝一一一一．

１２．已知圆心在x轴上,半径为２的圆O位于y轴左侧,且与直线x＋y＝０相切,则圆O 的方程是一一一一．

１３．某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中n位居民的月均用水量分别为x１, ,x n(单位:吨),根据如图所示的程序框图,若n＝２,且x１,x２分别为１,２,则输出的结果s为一一一一．

(第１３题)一一一一一

(第１４题)

(二)选做题(１４二１５题,考生只能从中选做一题)

１４．(几何证明选讲选做题)如图,A B二C D是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于A B 的中点P,P D＝２a３,?O A P＝３０?,则C P＝一一一一．

１５．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ)(０?θ＜２π)中,曲线ρ＝２s i nθ与ρc o sθ＝－１的交点的极坐标为一一一一．

三二解答题:本大题共６小题,满分８０分．解答须写出文字说明二证明过程和演算步骤．１６．(本小题满分１４分)

已知函数f(x)＝A s i n(３x＋φ)(A＞０),x?(－?,＋?),０＜φ＜π,在x＝π１２时取得最大值４．

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求f(x)的解析式;

(Ⅲ)若f２３α＋π１２

()＝１２５,求s i nα．

２

１７．(本小题满分１２分)

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上４０件产品作为样本算出他们的重量(单位:克),重量的分组区间为(４９０,４９５],(４９５,５００], , (５１０,５１５],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示．

(第１７题)

(Ⅰ)根据频率分布直方图,求重量超过５０５克的产品数量．

(Ⅱ)在上述抽取的４０件产品中任取２件,设Y为重量超过５０５克的产品数量,求Y 的分布列．

(Ⅲ)从流水线上任取５件产品,求恰有２件产品合格的重量超过５０５克的概率．

１８．(本小题满分１４分)

︵是半径为a的半圆,A C为直径,点E为A C︵的中点,点B和点C为线段如图,A B C

A D的三等分点．平面A E C外一点F满足F B＝D F＝５a,F E＝６a．(Ⅰ)证明:E B?F D;

(Ⅱ)已知点Q二R分别为线段F E二F B上的点,使得F Q＝２３F E,F R＝２３F B,求平面

B E D与平面R Q D 所成二面角的正弦值．

(第１８题)

３

１９．(本小题满分１２分)

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含１２个单位的碳水化合物,６个单位的蛋白质和６个单位的维生素C;一个单位的晚餐含８个单位的碳水化合物,６个单位的蛋白质和１０个单位的维生素C．另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含６４个单位的碳水化合物,４２个单位的蛋白质和５４个单位的维生素C．如果一个单位的午餐二晚餐的费用分别是２．５元和４元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

４

５２０．(本小题满分为１４分)

一条双曲线x ２２

－y ２＝１的左二右顶点分别为A １二A ２,点P (x １,y １)二Q (x １,－y １)是双曲线上不同的两个动点．(Ⅰ)求直线A １P 与A ２Q 交点的轨迹E 的方程式;(Ⅱ)若过点H (０,h )(h ＞１)的两条直线l １和l ２与轨迹E 都只有一个交点,且l １?l ２,求h 的值．

２１．(本小题满分１４分)

设A(x１,y１)二B(x２,y２)是平面直角坐标系x O y上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)＝|x２－x１|＋|y２－y１|．对于平面x O y上给定的不同的两点A(x１,y１),B(x２,y２)．

(１)若点C(x,y)是平面x O y上的点,试证明ρ(A,C)＋ρ(C,B)?ρ(A,B); (２)在平面x O y上是否存在点C(x,y),同时满足:

①ρ(A,C)＋ρ(C,B)＝ρ(A,B);

②ρ(A,C)＝ρ(C,B)．

若存在,请求所给出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明．

６

２０１０年普通高等学校招生全国

统一考试(广东卷)

１．D一[解析]A ?B ＝{x －２＜x ＜１}?{x ０＜x ＜２}＝{x ０＜x ＜１}．故选D ．２．A一[解析]z １ z ２＝(１＋i ) (３－i )＝３－i ＋３i －(－１)４＋２i ．３．B一[解析]f (－x )＝３－x ＋３x ＝f (x ),g (

－x )＝３－x －３x ＝－g (x )．４．C一[解析]因为a ２ a ３＝２a １,a ４＋２a ７＝５２,{所以a １２q ３＝２a １,a １q ３＋２a １q ６＝５２,{解得a １＝１６,q ＝１２．{

所以S ５＝１６１－１２５()１－１２＝３１．故选C ．５．A 一[解析]由x ２＋x ＋m ＝０,知x ＋１２(

)２＝１－４m ４?０,故m ?１４．６．D 一[解析]由三视图的画法可排除A 二B 二C ,故选D ．７．B 一[解析]P (３?X ?４)＝

１２P (２?X ?４)＝０．３４１３,P (X ＞４)＝０．５－P (２?X ?４)＝０．５－０．３４１３＝０．１５８７．８．C 一[解析]每次闪烁时间５s ,共５?１２０＝６００(s ),每两次闪烁之间的间隔为５s ,共５?(１２０－１)＝５９５(s )．故总共需要６００＋５９５＝１１９５(s )．９．(２,＋?)一[解析]因为x －２＞０,所以x ＞２．１０．C 一[解析]c －a ＝(０,０,１－x ),(c －a ) (２b )＝２(０,０,１－x ) (１,２,１)＝２(１－x )＝－２,解得x ＝２．１１．１一[解析]由A ＋C ＝２B 及A ＋B ＋C ＝１８０?,知B ＝６０?．由正弦定理,知１s i n A ＝３s i n ６０?,则s i n A ＝１２．由a ＜b ,知A ＜B ＝６０?,则A ＝３０?,C ＝１８０?－A －B ＝１８０?－３０?－６０?＝９０?,s i n C ＝s i n ９０?＝１．

１２．(x ＋５)２＋y ２＝５一[解析]设圆心为(a ,０)(a ＜０),则r ＝|a ＋２?０|１２＋２

２

＝５,解得a ＝－５．

１３．１４

一[解析]i ＝１时,s １＝０＋１＝１,s ２＝０＋１２＝１,s ＝１１(１－１２)＝０;i ＝２时,s １＝１＋２＝３,s ２＝

１＋２２＝５,s ＝１２

５－１２?３２()

＝１

４．１４．９８

a 一[

解析]因为点P 是A B 的中点,由垂径定理知,O P ?A B ．在R t ?O P A 中,B P ＝A P ＝a c o s ３０?＝３２

a ．由相交线定理,知

B P A P ＝

C P

D P ,

即３a ３a ＝C P ２３a ,所以C P ＝９

８

a ．(第１４题)

１５．

２,３π４()

一[解析]由极坐标方程与普通方程的互化式x ＝ρc o s θ,y ＝ρ

s i n θ{

知,这两条曲线的普通方程分别为x ２＋y ２＝２y ,

x ＝－１．

解得x ＝－１,y ＝１．{

由x ＝ρc o s θ,y ＝ρ

s i n θ,{

得点(－１,１),化为极坐标,为

２,３π

４()

．１６．(Ⅰ)T ＝

２π

３

(Ⅱ)由f (x )

的最大值是４,知A ＝４,f (x )m a x ＝f

π１２()＝４s i n ３?π

１２＋φ()

＝４,即s i n π４＋φ()

＝１．?一０＜φ＜π,?一π４＜π４＋φ＜５π４

．?一

π

４＋φ＝π２,φ＝π４

．?一f (x )＝４s i n ３x ＋

π４

(

)．

(Ⅲ)f ２３α＋π１２

()

＝４s i n ３２３α＋π１２()＋π４[]＝１２５

,

即s i n ３２３

α＋π１２()＋π４[]＝３５,s i n ２α＋

π２()＝３５,c o s ２α＝３

５

,１－２s i n ２

α＝

３５,s i n ２α＝１５,s i n α＝?５

５

．１７．(Ⅰ)重量超过５０５克的产品数量是

４０?(０．０５?５＋０．０１?５)＝４０?０．３＝１２(件)．

(Ⅱ)Y 的分布列为

Y ０

１

２

P

C ２２８C ２４０

C １２８C １

１２C ２４０

C ２

１２C ２４０

(Ⅲ)

从流水线上任取５件产品,求恰有２件产品合格的重量超过５０５克的概率是

C ３２８C ２

１２

C ５４０＝２８?２７?２６３?２?１?１２?１１２?１４０?３９?３８?３７?３６５?４?３?２?１

＝２１?１１３７?１９＝２３１７０３．１８．(Ⅰ)连接C F ．因为A E C ︵是半径为a 的半圆,A C 为直径,点E 为A C ︵的中点,所以E B ?A C ．

在R t ?B C E 中,E C ＝B C ２＋B E

２

＝a ２＋a ２＝２a ．在?B D F 中,B F ＝D F ＝５a ,所以?B D F 是等腰三角形,

且点C 是底边B D 的中点,所以C F ?B D ．

在?C E F 中,E F ２＝６a ２＝(２a )２＋(２a )２＝C E ２＋C F

２,所以?C E F 是直角三角形,

即C F ?E C ．由C F ?B D ,C F ?E C ,且C E ?B D ＝C ,

?一F C ?平面B E D ．而一E B ?平面B E D ,

?一F C ?E B ．?一B E ?平面B D F ．

而一F D ?平面B D F ,

?一E B ?F D ．

(Ⅱ)设平面B E D 与平面R Q D 的交线为D G ．

(第１８题)

由F Q ＝２３

F

E ,

F R ＝２３F B ,知Q R ?E B ．而E B ?平面B D E ,

?一Q R ?平面B D E ．而平面B D E ?平面R Q D ＝D G ,

?一Q R ?D G ?E B ．由(Ⅰ)知B E ?平面B D F ,

?一D G ?平面B D F ．

而一D R ?平面B D F ,B D ?平面B D F ,?一D G ?D R ,D G ?D B ．?一?R D B 是平面B E D 与平面R Q D 所成二面角的平面角．

在R t ?B C F 中,

C F ＝B F ２－B C

２

＝(５a )２－a

２＝２a ,s i n ?R B D ＝F C B F ＝２

a ５a ＝２５

,c o s ?R B D ＝１－s i n ２?R B D ＝

１

５

．在?B D R 中,由F R ＝２３F B ,知B R ＝１３F B ＝１３ ５a ＝５３

a ．

由正弦定理知

R D ＝B D ２＋B R ２

－２B D B R c o s ?R B D

＝(２a )２＋

５

３

a ()２

－２ ２a ５３a １５＝

２９

３

a ．

由正弦定理,知B R s i n ?R D B ＝R D s i n ?R B D ,即５３a s i n ?R D B ＝２９３a ２５,s i n ?R D B ＝５３a ２５２９３a ＝２２９２９．故平面B E D 与平面R Q D 所成二面角的正弦值是２２９．１９．设午餐x 个单位,

晚餐y 个单位,总花费z 元．则１２x ＋８y ?６４,６x ＋６y ?４２,６x ＋１

０y ?５４,x ?０,y ?０,ì?í????即３x ＋２y ?１６,x ＋y ?７,３x ＋５y ?２７,x ?０,y ?０,ì?í???

z ＝２．５x ＋４y ．

作可行域如图,其中直线３x ＋２y ＝１６与x ＋y ＝７交于点

A (２,

５),直线x ＋y ＝７与直线３x ＋５y ＝２７交于点B (４,３)．(第１９题)作直线l ０

:２．５x ＋４y ＝０,当l ０移至点B (４,３)时,z m i n ＝２．５?４＋４?３＝２２．因此,应当为儿童预订

４个单位午餐,３个单位晚餐,总花费最少,为２２元．２０．(Ⅰ)由A １二A ２为双曲线的左二右顶点,知A １(－２,０),A ２(２,０)

．A １P :y ＝y １－０x １＋２(x ＋２),A ２Q :y ＝－y １－０x １－２(x －２),两式相乘,得y ２＝－y ２１x ２１－２(x ２－２),而点P (x １,y １)在双曲线上,所以x ２１２－y ２１＝１,即y ２

１x ２１－２＝１２．

故y ２＝－１２(x ２－２),即x ２２＋y ２＝１．(Ⅱ)设l １:y ＝k x ＋h ,则由l １?l ２,知l ２:y ＝－１k x ＋h ．将l １:y ＝k x ＋h 代入x

２２＋y ２＝１,得

x ２２＋(k x ＋h )２＝１,即(

１＋２k ２)x ２＋４k h x ＋２h ２－２＝０．因为l １与E 只有一个交点,所以Δ＝１６k ２h ２

－４(１＋２k ２)(２h ２－２)＝０,即１＋２k ２＝h ２．同理,由l ２与E 只有一个交点,知１＋２ １k ２＝h ２,消去h ２得１k ２＝k ２,即k ２＝１．从而h ２＝１＋２k ２＝３,即h ＝３．２１．(Ⅰ)由绝对值不等式,知一ρ(A ,C )＋ρ(C ,B )＝|x －x １|＋|x ２－x |＋|y －y １|＋|y ２－y |?|(x －x １)＋(x ２－x )|＋|(y －y １)＋(y ２－y )

|＝|x ２－x １|＋|y ２－y １|＝ρ(A ,B )．当且仅当(x －x １)(x ２－x )?０,(y －y １)(y ２－y )?０时等号成立,即A 二B 二C 三点共线时等号成立．(Ⅱ)当点C (x ,y )同时满足①ρ(A ,C )＋ρ(C ,B )＝ρ(A ,B ),②ρ(A ,C )＝ρ(C ,B )时,点C 是线段A B 的中点．x ＝x １＋x ２２,y ＝y １＋y ２２,即存在点C x １＋x ２２,y １＋y ２２()满足条件．

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