4.4 三角函数的图象 解析式Microsoft Word 文档

2011届高三一轮复习学案

4.4 三角函数的图象 解析式

一、明确复习目标

1.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，

2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解、φ的物理意义3.会由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式.

二．建构知识网络

1．三角函数线[见课本]

利用三角函数线可以:比较三角函数值的大小,求取值范围,证明:“若0<α<＜α＜tanα”; 画三角函数y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象；

2．y=Asin(ωx+φ)的图象：

①用五点法作图:五点取法由ωx+ =0、y值，再描点作图.

π2

3π2

2

则 sinα

、π、、2π来求相应的x值及对应的

③A---振幅

T

2

----周期

f

1T

2

----频率 x 相位 初相

3．图象的对称性

①y=sinx图象的对称中心(kπ,0), 对称轴x=kπ+②y=tanx图象的对称中心(

k 2

2

; y=cosx呢?

2

,0), 渐近线x= kπ+;

,即x=? (k∈Z).

③ y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴是: ωx+φ=kπ+由ωx+φ=kπ得对称中心为:(

k

2

4.给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题，一般先找“五点”中的第一零点或第一个

,0), k∈Z.

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最大值点确定ω或φ.

三、双基题目练练手

1.在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是 ( ) A.（C.（

π4π4

，，

π25π4

）∪（π，）

4π3

5π4

）

B.（D.（

π4π4

，π） ，π）∪（

5π4

，

3π2

）

2.函数y=cos（x+）的图象向左平移φ个单位，所得的函数为偶函数，则 的最

小值是 ( )

A.

4π3

B.

2π3

C.

π3

D.

5π3

3. (2006天津)已知函数f(x) asinx bcosx（a、b为常数，a 0，x R）在x

4

处取得最小值，则函数y f(

3 4

x)是 （ ）

A．偶函数且它的图象关于点( ,0)对称 B．偶函数且它的图象关于点(C．奇函数且它的图象关于点(

3 23 2

,0)对称 ,0)对称

D．奇函数且它的图象关于点( ,0)对称 4.（2005湖北）若sin cos tan (0 A．(0,

6)

2

),则 （ ）

B．(

6,4

) C．(

4,3

) D．(

3,2

)

5.将函数y sin x( 0)的图象按向量

平移后的图象如图所示，则平移后的图a ,0 平移，

6

象所对应函数的解析式是______________

6.（2005湖南）设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为

2 *

函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N），

n

n

（i）y＝sin3x在[0,

2 3

]上的面积为 ；

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（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[

3

，

4 3

]上的面积为

简答:1-4.CBDC; 1.利用三角函数线; 2.设平移后:y=cos（x+4π+ ），

3

则

4π3

+ =kπ. =kπ－

4π3

＞0.∴k＞

4

43

.∴k=2.∴ =

3 2

2π3

;

5 4

3.f(x) ∴f(x)

f(3 4

x ),可取

x

,得 ,

5 4

),

x) x) x

4.利用图象可得解.

5.平移后的图象所对应的解析式为y sin (x 以 2，答案y sin(2x

6.（i）

2 3 23

43

6

)，由图象知， (

7 12

6

)

3 2

，所

3

)。

2 3

; （ii）画图知:在一个周期上面积为

23

,[

3

，

4 3

]是1.5个周期,面积为

3

.

四、经典例题做一做

【例1】解三角不等式组

cosx 0 4cos2x 3 0 (1) 1 (2)

sinx 0tanx 1 0 2

解：(1)如图： cosx 0且sinx ∴解集为{x|2k

2

x 2k

12

(k Z)}

6

33 4cos2x 3 0 cosx 或cosx (2) 22

tanx 1 0 tanx 1

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由图得解集为：{x|k

6

x k

6

(k Z)}

温馨提示: 利用三角函数线或单调性求解,先求出一个周期上的解再写出全部。

【例2】（2006重庆）设函

数f(x)

co sx

2

s inxc oxs （a其中

，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为 0,a R）

（Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）如果f(x)在区间[

2

6

。

5

3,6

]a的值。 12

2

解：（I）f(x) cos 2x s inx 2

sin 2 x

3 2

依题意得 2 解之得

12.

6

3

2

,

（ II)由（I）知,f(x)=sin(x+

3

)

2

,

7 5

又当x ,时，x 0, 3 6 36

故

12

sin(x

3

) 1,

1 5 从而f(x)在 ,上取得最小值 22 36 因此，由题 设知

12

2

12

提炼方法：1.先化简,再由图象求解析式——利用第一个最大值点求ω;

2.借助三角函数线,或三角函数图象求取值范围.

【例3】（2005全国卷Ⅰ）设函数f(x) sin(2x ) ( 0),y f(x)图像的一条对称轴是直线x

8

。

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（Ⅰ）求φ； （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调增区间； （Ⅲ）画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像。 解：（Ⅰ） x

8

是函数y f(x)的图像的对称轴，

4

k

2

,k Z. 0,

3 4).

3 4

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知y sin(2x

由2k 得 k

2 2x

3 4

2k 5 8

2

,k Z.

8

x k ,k Z.

∴函数y=f(x)的的单调区间为[k （Ⅲ）由y sin(2x

3 )

知

8

,k

5 8

],k Z.

故函数

y f(x)在区间[0, ]上图像是

题型方法:1.求单调区间——把复合角放到单调区间内,解x的范围；

2．画图：关键是确定“五点”对应的x值；不是整齐的“五点”间的一段时，要再描出端点。

【例4】（2006浙江）如图，函数y=2sin(πx+

φ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点

2

（0，1）.

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(Ⅰ)求φ的值；

(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求PM与PN的夹角.

解：（I）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,即sin 因为0

2

12.

，所以

6

.

)及其图像，得

（II）由函数y 2sin( x

M(

1

6

15

,0),P(, 2),N(,0), 636 11

所以PM ( ,2),PN (, 2),从而

22

PM PN

cos PM,PN |PM| |PN|

1517

，

15故 PM,PN arccos.

17

题型方法:1.利用图象所给信息求解析式；

2．三角函数与向量的综合题是一个新的命题方向。

【研讨.欣赏】已知电流I与时间t的关系式为I Asin(

t （１）右图是I Asin( t )（ω＞0，| | ）

2

在一个周期内的图象，根据图中数据求I Asin( t ) 的解析式；

（２）如果t在任意一段

1150

秒的时间内，电流I Asin(和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

解:（１）由图可知 A＝300． 设t1＝－

1900

1180

，t2＝，

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则周期T＝2（t2－t1）＝2（∴ ω＝

2 T

1180

＋

1900

）＝

175

．

＝150π．

1

又当t＝ 150π·

900 1

时，I＝0，即sin（150π·

6

1900

＋ ）＝0，

900

＋ =0 ∴ ＝．

6

)． 1150

故所求的解析式为I 300sin(150 t （２）依题意，周期T≤

1150

，即

*

2

≤，（ω>0）

∴ ω≥300π＞942，又ω∈N，

故最小正整数ω＝943．

提炼方法：1.关键是将图形语言转化为符号语言．

2.利用相邻两零点间的距离是半个周期求ω,利用第一个零点求φ .

五．提炼总结以为师

知识总结:

1.三角函数线及运用;

2.正、余弦、正切函数图象的画法、变换及对称性；

思想方法：

3．深刻理解图象变换与函数式变换（参数变化）的关系，掌握由图象求解析式的方法。 4．数形结合，数形转化是本课的重要的思想方法。 同步练习

4.4 三角函数的图象 解析式

【选择题】

1.函数y=－xcosx的部分图象是 (

)

2.已知函数y=tan（2x+ ）的图象过点（

π12

，0），则 可以是 ( )

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A.－

π6

B.

π6

x3

C.－

π12

D.

π12

3.(2006江苏)为了得到函数y 2sin(

6

),x R

的图像，只需把函数

y 2sinx,x R的图像上所有的点 （ ）

（A）向左平移（B）向右平移（C）向左平移（D）向右平移

6

个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

3

1

6

个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

3

1

6

个单位长度，再把横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 个单位长度，再把横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

2

,x R)的部分图

6

4.函数y Asin( x )( 0,

象如图所示，则函数表达式为 （ ） （A）y 4sin(（C）y 4sin(

【填空题】

5.(2006湖南)若f(x) asin(x

4

) bsin(x

8 8x x

4 4

) （B）y 4sin() （D）y 4sin(

8 8x x

4 4) )

4

)(ab 0)是偶函数, 则有序实数对

(a,b)可以是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)

6.（2005上海）函数f(x) sinx 2|sinx|,x 0,2 的图象与直线y k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________。

练习简答：1-4.DACA；5. (1， 1); 6. 1 k 3.

【解答题】

7. (2006山东)已知函数f(x) Asin( x )(A 0, 0,0 的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）. （I）求

2

2

)，且y f(x)

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（II）计算f(1) f(2) f(2008). 解：（I）y Asin2( x )

A2 A2

cos(2 x 2 ).

y f(x)的最大值为2，A 0. A2 A2

2,A 2.

又 其图象相邻两对称轴间的距离为2， 0，

12 () 2, . 22 4

22

f(x) cos(x 2 ) 1 cos(x 2 ).

2

2

2

2

y f(x)过(1,2)点， cos(

2

2 ) 1.

2

2 2k ,k Z,

2 2k k

2

,k Z,

4

,k Z, ,

又 0

2

4

.

4

（II）解法一： ，

x

y 1 cos(

2

2

) 1 sin

2

x.

f(1) f(2) f(3) f(4) 2 1 0 1 4.

又 y f(x)的周期为4，2008 4 502，

f(1) f(2) f(2008) 4 502 2008.

解法二： f(x) 2sin(

2

4

x )

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f(1) f(3) 2sin(

2

2

4

) 2sin(

2

2

3 4

) 2,

f(2) f(4) 2sin(

2

) 2sin( ) 2,

f(1) f(2) f(3) f(4) 4.

又y f(x)的周期为4，2008 4 502，

f(1) f(2) f(2008) 4 502 2008.

8.(2006福建)

已知函数f(x) sin2x

xcosx 2cosx,x R.

2

（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

（II）函数f(x)的图象可以由函数y sin2x(x R)的图象经过怎样的变换得到？

1 cos2x

2

2

解：（I

）f(x) 2x (1 cos2x)

2

sinx 2

12

3

sinx( )

62

2 2 .

3

cxo 2

2

.

f(x)的最小正周期T

由题意得2k 即 k

3

2

2x

6

2k

2

,k Z,

x k

6

,k Z.

f(x)的单调增区间为 k ,k

36 （II）方法一：

先把y sin2x图象上所有点向左平移

32

,k Z.

12

个单位长度，得到y sin(2x

6

6

)的图32

象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到y sin(2x ) 的图

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象。 方法二：

把y sin2x图象上所有的点按向量a (

y sin(2x

122

,

3

)平移，就得到

6

)

32

的图象。

9. (2003季上海)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ), x∈R（其中A>0,ω>0）在一个周期内的图象如图 所示。求直线y=的坐标

〖解〗根据图象得A=2,T=

y 2sin(

x2

7 2

3

与函数f(x)图象的所有交点

-(

2

)=4π,ω=

12

),又由图象可得相位移为

2

,

12

2

4

.即y 2sin

1 2

x

, 4

根据条件:3 2sin(

k

12

x

1 3 1

), sin x 44 2 2

x 2k ( 1)

2 3

2

k Z

k2

交点坐标为 2k 1 ,3

32

〖思维点拨〗按图可求得f(x)=Asin(ωx+φ)，再求交点即可。

10.如图为某三角函数图象的一段 （1）用正弦函数写出其中一个解析式； （2）求与这个函数关于直线x 2 对

称的函数解析式，并作出它一个周期内简图。

思路分析：由T定 ，由最值定A，由特殊值定 ，用五点法作简图。

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解：（1）T

令y 3sin(y 3sin(

1212

13 3

3

4 ,

2 T

12

,又A 3,

12

x )由图它过(

3

,0), 0 3sin(

3

)

6

（为其中一个值）

x

6

)

12x

（2）令(x,y)为y 3sin(

(4 x,y) 与y 3sin(

12x

6

)上任意一点，该点关于直线x 2 对称点为

6

)关于直线x 2 对称的函数解析式是y 3sin(

12

x

6

)

列表：

作图：

【探索题】（2005全国Ⅰ）设函数f(x) sin(2x ) ( 0),y f(x)图像的一条对称轴是直线x （Ⅰ）求 ；

（Ⅱ）求函数y f(x)的单调增区间；

（Ⅲ）证明直线5x 2y c 0与函数y f(x)的图像不相切。

8

。

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解：（Ⅰ） x

8

是函数y f(x)的图像的对称轴， sin(2

3 4.

8

) 1,

4

k

2

,k Z. 0,

3 4

,因此y sin(2x

3 4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 由题意得

2k

).

2

2x

3 44

2k

2

,k Z.

[k

所以函数y sin(2x

3

)的单调增区间为

3 4

8

,k 3 4

5 8

],k Z.

（Ⅲ）证明：∵ |y | |(sin(2x )) | |2cos(2x )| 2

所以曲线y f(x)的切线斜率的取值范围为[-2,2]， 而直线5x 2y c 0的斜率为

52 2，

3 4

)所以直线5x 2y c 0于函数y f(x) sin(2x

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