基于MATLAB的伪随机序列性能分析

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

伪随机序列在现代工程中有广泛的应用，信号的加密及扩频都离不开伪随机序列，因而对伪随机序列的产生及特性的研究变的越来越深入。而在扩频通信系统中，伪随机序列的抗噪性等优良性能十分显著，故而广泛应用于通信系统当中。

本文用MATLAB对m序列等常用的伪随机序列进行建模和设计，计算伪随机序列的相关系数，并以MATLAB为基础对为随即序列进行仿真，为便于观察，我们要用MATLAB拟合出相关的曲线图，把不同伪随机序列的相关性作比较，得出其各自相关性的特点。

关键词

伪随机序列；m序列；相关性；MATLAB

Abstract

Pseudo random sequence has a wide range of applications in modern works, spread-spectrum and signal encryption cannot be separated from pseudo random sequence, so study on pseudo-random sequence generation and property became more and more deeply. In spread-spectrum communication system, excellent noise immunity performance of pseudo-random sequence is notable and therefore widely used in communication systems.

This article model and design pseudo random sequence, such as m sequences commonly, by MATLAB, calculating of pseudo random sequence correlation coefficient and simulating based on MATLAB for sequence immediately, for the purpose of observation, we have relating to the fitting out of Matlab graph and compare different pseudo random sequence correlation, inorder to get correlation of their respective features.

Key words

Pseudo random sequence; m sequence; relationship; MATLAB

目录

摘要 ......................................................................................................... 错误！未定义书签。 Abstract .................................................................................................................................... 2

第一章 绪论 ............................................................................................................................. 1

1.1 伪随机序列的概述 ................................................................................................... 1

1.1.1 伪随机序列的发展历史 ............................................................................... 1 1.1.2 伪随机序列的应用领域 ............................................................................... 2 1.2 论文研究的基本内容 ............................................................................................... 3 第二章 扩频通信简介 ............................................................................................................. 4

2.1 扩频通信理论基础 ................................................................................................... 4

2.1.1 shannon公式 .................................................................................................. 4 2.1.2 扩频通信系统的模型 ................................................................................... 5 2.2 直接序列扩频 ........................................................................................................... 6

2.2.1 直扩系统简介 ............................................................................................... 6 2.2.2 直扩系统抗干扰原理分析 ........................................................................... 7

第三章 伪随机序列原理 ......................................................................................................... 9

3.1 m序列 ...................................................................................................................... 10

3.1.1 m序列的产生 ............................................................................................. 10 3.1.2 m序列的性质 ............................................................................................. 11 3.1.3 m序列的相关性 ......................................................................................... 12 3.1.4 m序列的自相关性 ..................................................................................... 12 3.1.5 m序列的互相关性 ..................................................................................... 12 3.2 Gold序列 ................................................................................................................. 13

3.2.1 概述 ............................................................................................................. 13 3.2.2 Gold序列发生器 ........................................................................................ 14 3.2.3 m序列优选对的选取 ................................................................................. 14 3.2.4 Gold码的产生 ............................................................................................ 15 3.2.5 Gold码的性质 ............................................................................................ 15 3.2.6 walsh序列和mW序列 .............................................................................. 17

第四章 仿真性能分析 ........................................................................................................... 19

4.1 各系统自相关特性比较 ......................................................................................... 19 4.2 各系统互相关特性比较 ......................................................................................... 21 4.3 各序列误码率的比较 ............................................................................................. 23 结论 ......................................................................................................................................... 24 参考文献 ................................................................................................................................. 25 致谢 ......................................................................................................... 错误！未定义书签。

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

第一章 绪论

1.1 伪随机序列的概述

一个序列一方面它可以预先确定并可以重复地生产和复制，另一方面它又具有某种随机序列的统计特性，便称这种序列为伪随机序列。伪随机序列在现代工程中有极为广泛的应用。所以，对它的研究吸引着许多的工程技术工作者。

1.1.1 伪随机序列的发展历史

伪随机序列是工程上为替代随机序列而诞生的，关于它的理论最早是概率论研究的领域。一个独立的二进制随机序列在概率论中叫做贝努力序列，工程上也称作“投币”序列，“0”和“1”分别代表投币试验中硬币的正反面的结果。在工程应用中，这种简单化的随机序列也是很难产生和存储的。因而，迫切的需要找到一种可以近似代替随机序列来满足工程上的需求，这就是伪随机序列。

产生怎样的序列才能够充分的代替随机序列，这是在讨论如何实现伪随机序列的产生前必须要弄清楚的一个问题。传统上，都按照哥伦布在1967年出版的著作中提出的理论为基准。哥伦布认为一个序列满足以下三个特性便可近似代替随机序列。

（1）“0”和“1”的相对概率各约为0.5。

（2）序列中连续出现“0”或“1”的长度有以下分布规律：长度为1的约占0.5；长度为2的约占0.25；长度为n的约占1/2n。

（3）如果将所得到的序列循环移位非0或周期整数倍数目个元素，所得序列将和原序列有一半元素相同，一半元素不同。

一个在极小偏差范围内几乎满足以上三条的序列便可称为伪随机序列。伪随机序列的理论与应用研究大体上可以分成三个阶段。纯粹理论，1948年以前，学者们研究伪随机序列的理论仅仅是因为其优美的数学结构。研究可以追溯到1894年，作为一个组合问题来研究所谓的De Bruijn序列。m序列研究的黄金阶段(1948–1969)，1948年Shannon信息论诞生后，这种情况得到了改变。伪随机序列已经被用在通信以及密码学等重要的技术领域.。如何产生这样的序列是20世纪50年代早期的研究热点.，(LFSR)序列是这个时期研究最多的。在1969年Massey发表了“移位寄存器综合与

1

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

BCH译码”一文，引发了序列研究方向的根本性变革。从此伪随机序列的研究进入了构造非线性序列生成器的阶段。

1.1.2 伪随机序列的应用领域

伪随机序列的理论与应用，从产生到现在已有60多年的历史了。伪随机序列在它形成初期，便在通信、导航、雷达以及密码学等重要的技术领域，获得了广泛的应用。近些年，它的应用已经远远超出上述领域，如声学、自动控制、计算机、光学测量、数字式跟踪和测距系统以及数字网络系统的故障检测等。其中扩频通信是伪随机序列应用的主要领域[1]。

移动通信作为扩频通信的一种，以其时实性、机动性、具有不受时空限制等特点，成为一种深受人们喜爱的通信方式，并且融入了现代生活中，成为现代社会不可缺少的通信技术。自移动通信技术诞生以来，移动通信系统已从第一代的模拟蜂窝系统发展到了第二代全球数字移动电话蜂窝系统，目前正在向第三代宽带多媒体蜂窝系统发展[10]。码分多址（Code Division Multiple Access，简称CDMA）是第三代移动通信系统中的一项主要技术。CDMA系统中的众多用户都工作在同一时间同一频段内，系统给各个用户分配不同的扩频码来进行频谱的扩展，在发送和接收时，系统更是利用各个扩频码之间低的互相关系数来区分不同的用户。因此，CDMA系统中起扩展频谱作用的扩频码的性能好坏直接影响到系统性能的好坏。

伪随机序列还在密码学中占据重要地位，设计具有良好随机性的伪随机序列一直是密码学研究的中心。密码学分为单钥密码学和公钥密码学，单钥密码学主要用于信息加密，序列密码作为一种单钥密码体制，它的安全性主要取决于密钥流序列的随机性。现有的几乎所有的公钥密码体制都需要随机数。著名的RSA公钥算法在产生私钥著名的RSA公钥算法在产生私钥时也需要随机数。密码学已经广泛涉及通信和计算机网络中，伪随机数生成器的性质决定了这些系统的安全性。因此，伪随机序列既可作为序列密码体制的密钥流又可作为公钥密码体制的会话密钥、产生随机数等。当然，也可以直接利用伪随机序列构造公钥密码体制和数字签名算法。

不同的应用背景下对伪随机序列的要求也是不同的，通常在测距、导航和一般通信系统中应用时重点考虑的是它的自相关性质，而在保密通信系统和密码学上则需要重点考察它的线性复杂度及变化情况。因此，伪随机序列的构造就有两个目标：一是

2

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

构造二值自相关、三值自相关或具有低自相关值的序列；另一个是构造具有高线性复杂度的序列[2]。

1.2 论文研究的基本内容

伪随机序列种类很多，本课题主要讨论m序列和Gold序列，为符合一般性又兼顾简便性，本文选31位的m序列和Gold序列来说明，这并不失一般性。为了分析的普遍性，要计算出优选对和非优选对的m序列的互相关性系数，还要计算同族的Gold序列的互相关性系数和非同族的Gold序列的互相关性系数。最后再把m序列的相关性系数和Gold序列的相关性系数做比较。

本文要研究的主要内容是用MATLAB语言构建伪随机序列并实现伪随机序列的仿真。归纳起来说主要内容如下：

第二章主要介绍扩频通信的直扩系统。通过对直扩系统的分析说明，更加明确伪随机序列的应用及在应用中所扮演的角色，对了解研究本课题的意义有了更深刻的认识。

第三章用MATLAB对伪随机序列发生器进行建模设计并仿真，得到其仿真波形图，把仿真的结果和理论值相比较，验证程序编写的正确性。得到图像后，通过计算其自相关系数和互相关系数来研究各序列的相关性。

第四章通过对比图像等，对几种伪随机序列进行评价，得出各自的优劣，并对 伪随机序列的应用和未来的发展进行论述。

3

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

第二章 扩频通信简介

2.1 扩频通信理论基础

2.1.1 shannon公式

扩频通信是基于香浓公式提出来的，香浓定理指出：在高斯白噪声干扰条件下，通信系统的极限传输速率（或称信道容量）可用式（2-1）

C?Blog2(1?S) （2-1） N式中 C——信道容量（b/s）； B ——传输带宽（Hz）； N——噪声功率（W）； S——信号功率（W）。

若设白噪声的功率谱密度为n0，噪声功率N=n0B，信道容量C便可用式（2-2）表示。通过式（2-2）可看出，若n0、B、S确定之后，C就确定了[3]。

C?Blog2(1?S)n0Bb/S （2-2）

香浓第二定理指出：若信源的信息速率R小于或等于信道容量C，通过编码，信源的信息能以任意小的差错概率通过信道传输。由式（2-2）可看出：

（1）要增加系统的信息传输速率，则要增加信道容量。其方法有增加信号带宽B，或增加信噪比。

（2）信道容量一定时，带宽和信噪比可以互换，即可通过增加带宽降低系统对信噪比的要求；同样也可通过增加信号功率，降低对信号带宽的要求[4]。

（3）当B增到一定程度，C不能无限增加。由式（2-1）可知，信道容量和带宽成正比，当B增加到一定程度后，C增加缓慢。由式（2-2）可知，随着B增加，N也要增加，信噪比要下降，影响到C的增加。当B趋于无穷时，C也要趋于一个极限值。对（2-2）是两边同时取极限，有

B??limc?limBlog2b(1?B??S) （2-3） n0B4

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

化简有

B??limc?lim[B??n0BSSSlog2b(1?)]()?log2be? （2-4） Sn0Bn0n0故

B??limc?1.44?SlimC （2-5） n0由此可见，信号功率S和噪声功率n0一定时，信道容量C是一定的。

2.1.2 扩频通信系统的模型

图2-1是扩频通信系统的数学模型[11]。扩频通信系统可以认为是扩频和解扩的变换对。要传输的信号s(t)经过扩频，将频带较窄的信号s(t)扩到一个很宽的频带上去，发射信号为Ss[s(t)]。扩频信号经过信道后，叠加了噪声n(t)和干扰信号J(t)，送入解扩器的输入端。解扩过程正好是扩频的逆过程，此过程为Ss[?]的处理，还原s(t)，对噪声n(t)和干扰信号J(t)而言，解扩过程就是对其的扩频过程，这样，s(t)在频带[fa,fb]内可以全部通过，而噪声和干扰只有当功率在频带[fa,fb]内时才可通过。[fa,fb]相对B来说要小得多，因而，噪声和干扰得到很大程度的抑制，提高了系统的输出信噪比。

n(t) = s(t) ?1Ss[?] 信道 Ss?1[?] s(t)?n'(t)?J'(t) 区间[fa,fb]

f(t) 图2-1 扩频系统数学模型

图2-2是扩频系统的物理模型，信源产生的信号经过第一次调制即信息调制（如信源编码）成为一种数字信号，在进行第二次调制即扩频调制，然后再进行第三次调制，把经过扩频的信号搬移到射频上发射出去。接收端，接收到信号后先经过混频，得到一中频信号，再用本地扩频码进行相关解扩，恢复成窄带信号，在进行解调，将数字信号还原出来。接收端的本地扩频码与发射端用得扩频码完全同步。

5

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

信源信息调制扩频调制放大扩频码a）发射端

振荡器

高放混频解扩BPF解调基带信号恢复本振扩频码同步

b）接收端

图2-2 扩频系统的物理模型

2.2 直接序列扩频

直接序列扩频又被称为为噪声系统，简称直扩系统，目前应用很广泛。直扩系统是将要发送的信息用伪随机序列扩展到一个很宽的频带上去，接收时，用与发射端相同的伪随机序列对接收到的扩频信号进行相关处理，恢复出原始信号[5]。

2.2.1 直扩系统简介

图2-3是直扩系统的组成原理图[13]。有信源输出的信号a(t)是码元持续时间为Ta的信息流，伪随机码产生器产生伪随机序列c(t)，每一伪随机码码元宽度为Tc。将信码a(t)与伪随机码c(t)进行模2加，产生扩频序列，在调制到载频上，发射出去。

a(t)信源扩频c(t)d(t)调制s(t)PN码a） 发射端

振荡器

6

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

基带信号恢复高放混频解扩解调本振扩频码b） 接收端

同步

图2-3 直扩系统组成框图

接收端，接收到信号后经过混频及相关解调后，得到了信息序列a(t)的频带，在经过解调，恢复出a(t)，完成信息传输。对于干扰信号和噪声，由于它们与伪随机序列不相关，在相关解扩器的作用下，相当于进行了一次扩频。干扰信号和噪声频谱被扩展后，其谱密度降低，降低了进入信号通频带内的干扰功率，提高输出信号的信噪比，提高了系统的抗干扰能力。

2.2.2 直扩系统抗干扰原理分析

信源产生信号a(t)，码元速率为Ra，码元宽度为Ta，a(t)可用式（2-6）表示。

a(t)??anga(t?nT) （2-6）

n?0?式中 an——信息码；

g(t)——门函数。

伪随机序列发生器产生的伪随机序列c(t)，速率为Rc，c(t)可用式（2-7）表示。

c(t)??cngc(t?nTc) （2-7）

n?0N?1扩频实质上是信息流a(t)与伪随机序列c(t)的模2加的过程。扩展序列为

d(t)?a(t)c(t)??dngc(t?nTc) （2-8）

n?0?式中 dn——模2加得到的各位数。

用此序列去调制载波，将信号搬到载频上去。调制后的信号为

s(t)?d(t)cos?0t?a(t)c(t)cos?0t （2-9）

式中 ?0——载波频率。

7

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

接收天线上感应的信号经过高放的选择放大和混频后，得到包括以下几部分信号：有用信号sI(t)、信道噪声nI(t)、干扰信号JI(t)和其他网的扩频信号sJ(t)等，即接收到的信号为

rI(t)?s?I(t)n(t?)IIJ(?t)J t （2-10） s解扩过程和扩频过程相同，用本地的伪随机序列c'(t)与接收机收到的信号相乘，相乘后为rI'(t)

rI'(t)?rI(t)c'(t)?sI(t)c'(t)?nI(t)c'(t)?JI(t)c'(t)?sJ(t)c'(t) （2-11） ?sI'(t)?nI'(t)?JI'(t)?sJ'(t)首先对sI(t)进行分析

'sI'(t)?sI(t)c'(t)?a(t)c(t)c'(t)cos?0t （2-12）

若c'(t)和c(t)同步时，它们相等，那么它们相乘为1。这样sI(t)为

'sI'(t)?a(t)coswIt （2-13）

后面所接滤波器正好能让信号通过，进入解调器，将有用信号解调出来。

对噪声分量nI(t)、干扰分量JI(t)和不同网干扰sJ(t)，解扩处理后，被大大削弱[6]。因而用c'(t)处理后，谱密度基本不变，但相对带宽改变，nI(t)一般为高斯带限白噪声，

噪声功率降低。JI(t)分量是人为干扰引起的。它由于与伪随机序列不相关，相乘过程相当于频谱扩展过程，将干扰功率分散到很宽的频带上，谱密度降低，相乘器后接的滤波器只能让有用信号通过，能够进入解调器输入端的干扰功率只能是与信号频带相同的那部分。至于不同网信号sJ(t)，由于不同网所用的扩频序列也不同，这样对于不同网扩频信号而言，相当于再次扩展，从而，降低了不同网际干扰。

8

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

第三章 伪随机序列原理

伪随机序列又称伪随机码，也称伪噪声序列或伪噪声码。它有类似于随机序列的统计特性，同时它便于重复产生和处理，在数字通信中有较广泛的应用。现在，广泛使用的伪随机序列大部分都是通过数字电路的合理搭配产生的。在数字通信中，伪随机序列有多种，m序列和Gold序列就是目前广泛使用的两种伪随机序列[12]。

伪随机序列不具备正态分布形式。但当码足够长时根据中心极限定理，它趋于正态分布。其定义如下：

（1）凡自相关系数?a满足式（3-1）形式的码，称为狭义伪随机码。

?1?N ?a(j)????1??N?ai?0N?1i?0N?12i?11Nj?0 （3-1）

j?0?aiai?j??（2）凡自相关系数?a满足式（3.2）形式的码，称为第一类广义伪随机码。

?1?N??a(j)???1??N?ai?0N?1i?0N?12i?1?c?1j?0 （3-2）

j?0?aaii?j（3）凡互相关系数?a满足式（3-3）形式的码，称为第二类广义伪随机码凡自相关系数?a满足以上条件都称为伪随机序列。

?ab(j)?0 （3-3）

目前的数字通信中，采用二进制伪随机序列，就是说序列中只有“0”和“1”两种状态。m序列和Gold序列都是二进制伪随机序列。 其中m序列是由线性反馈移位寄存器产生的周期最长的二进制数字序列即最大长度线性反馈移位寄存器序列[14]。 现代工程应用对伪随机序列有以下几点要求：

（1）必须有尖锐的自相关函数，几乎为零的互相关函数。 （2）足够长的码周期。

9

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

（3）足够多的独立地址数。

（4）工程上易于实现 ，加工和控制。

3.1 m序列

m序列是使用最广泛的伪随机序列之一，同时它也是产生M序列和Gold序列的基础。因此，m序列在本文中扮演着重要的角色。

3.1.1 m序列的产生

m序列的产生原理图如图3-1所示：

+c0c1c2c3cr?1cran?1an?2an?3?an?(r?1)an?r输出

图3-1 m序列发生器原理方框图

图中an?i为移位寄存器中每位寄存器的状态，ci为第i位寄存器的反馈系数。当其为0时为无反馈，为1时有反馈。在此系统中，第0位和第r位反馈系数必须为1。这里需要说明an?i不可以全部设置为0，否则系统输出就为0，不能正常输出m序列。其特征多项式可以写成

f(x)??cixi （3-4）

i?0r序列多项式G(x)可以通过式（3-5）计算。通过序列多项式可以得到我们要计算的序列。

G(x)?1 （3-5） f(x)一个线性反馈移位寄存器的反馈函数一旦确定，它产生的m序列就被确定，如果移位寄存器的初始状态不同，产生的序列的相位不同。反馈移位寄存器的级数不同，它的反馈系数亦不相同，产生的m序列的周期也不相同。反馈系数可以通过一些参考文献查得，而它的周期可以通过公式N?2n?1求得，其中n是线性反馈移位寄存器的级数，N是m序列的周期[7]。

10

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

3.1.2 m序列的性质

m序列在一个周期内“0”和“1”的个数基本相等，具体讲，“1”的个数比“0”的个数多一个，这种性质叫做均衡性[13]。

所谓游程就是伪随机序列中取值相同的一段码位。一个游程中包含的位数称之为游程长度。游程中的码位是“0”的称之为“0”游程。相反若码位全为“1”的游程称之为“1”游程。m序列的一个周期中，游程总数为“0”游程的数目和“1”游程的数目相同。理论上来讲，长度为k的游程占游程总数的2,长度为n-1的游程只有一个是“0”游程[8]，此性质为游程分布性。

一个m序列与其经任意次延迟移位产生的序列相加，得到的仍是此m序列的某次延迟移位得到的序列，此为移位相加性。

对于m序列的自相关性，它可以用公式（3-6）来说明。N是m序列的周期。

nm序列的互相关性是指相同周期P?2?1两个不同的m序列{an}、{bn}一致的程度。

?k?1?N??a(j)???1??N?ai?0N?1i?0N?12i?11Nj?0j?0 （3-6）

?aiai?j??其互相关值越接近于0，说明这两个m序列差别越大，即互相关性越弱；反之，说明这两个m序列差别较小，即互相关性较强。通过以上的讨论可以看出，m序列具有良好的伪噪声性质。当m序列用做码分多址系统的地址码时，必须选择互相关值很小的

nm序列组，以避免用户之间的相互干扰。对于两个周期P?2?1的m序列{an}和{bn??}（an,bn取值1或0），其互相关函数（也称互相关系数）描述如下：

设m序列{an}与其后移?位的序列{bn??}逐位模2加所得的序列{an?bn??}，“0”的位数为A（序列{an}和{bn??}有相同的位数），“1”的位数为D（序列{an}和{bn??}不相同的位数），则互相关函数可由式（3-7）计算[15]。

R0(?)?A?D （3-7） A?D式中 A——‘0’位数或相同的位数；

D——‘1’位数或不相同的位数。

显然，P?A?D。

11

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

3.1.3 m序列的相关性

m序列的相关系数是其相关性的重要参考量，因而，对相关性的探讨从某种层面上可与对相关系数的探讨等价。m序列的相关性分为自相关性和互相关性。自相关系数是m序列与其自身的相关系数。互相关系数是两个同周期的不同的m序列之间的相关系数。

3.1.4 m序列的自相关性

根据前面的分析，清楚了m序列自相关系数的定义及计算方法。通过分析m序列的相关系数的计算公式，可以得到其自相关系数的计算流程如图3-2。

开始将次m序列分别存入数组C1和数组C2CLK上升NYC1固定不动，C2右移一位计算|A-D|计算|A-D|/（A+D）输出结果

图3.2 m序列自相关系数计算流程

3.1.5 m序列的互相关性

在上文中已经对m序列的互相关性做出了很清晰的说明，在本节就不做过多陈述。计算m序列的互相关性和计算其自相关性有很大的相似，故本节将仿照上一节的方法实现m序列的互相关系数的计算。图3-3是实现计算两个m序列的互相关系数的流程图。

12

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

开始将次m序列分别存入数组C1和数组C2CLK上升NYC1固定不动，C2右循环移一位计算|A-D|/（A+D）输出结果

图3-3 m序列互相关系数计算流程图

m序列的互相关系数存在不可预测性，基本是杂乱无章的。研究m序列的互相关系数在本课题中占有很重要的地位。它不仅是研究两个m序列不同程度的重要指标进而判断它抗码间干扰的能力，它还在Gold序列的产生过程中扮演重要角色。可见，随着m序列位数的不断增加互相关性越来越好。

3.2 Gold序列

3.2.1 概述

m序列具有良好的自相关性，但可用的地址数较少，容易被窃获，因而应用受到限制。由两个m序列复合而成的Gold码具有优越的相关性，它的地址数相对于m序列要多很多，且两两互相关函数较小，因而得到广泛的应用。在Gold序列族中，往往只有平衡Gold码被采纳，因而研究平衡Gold码的产生对于现代数字通信具有很重要的意义[16]。

Gold码是由2个码长相等、码时钟速率相同的m序列优选对模2加产生。Gold码继承了m序列优选对的相关特性，同样具有三值性，且它比m序列优越的是它可用的地址码的数量比m序列多很多。因为Gold码是由两个同周期的m序列优选对不

13

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

同相对移位相加产生的新序列。因两个m序列存在2?1个不同的相对位移，能产生

n2n?1个Gold码再加上两个m 序列本身共有2n?1个Gold码。Gold码不再满足m

序列在每个周期内“1”的个数比“0”的个数多1的平衡特性。伪随机码的平衡特性与扩频通信系统的保密、抗干扰和抗侦破的指标密切相关。因此，研究Gold码的平衡特性就显得尤为重要。

平衡的Gold码在一个周期中“1”的个数要比“0”的个数多1。根据一些参考资料中的说明，当m序列发生器的级数n为奇数时，平衡Gold码和非平衡Gold码出现的概率各占二分之一；当n为偶数时（但不为4的倍数）时，平衡码出现的概率是75%，非平衡码出现的概率为25%。

Gold序列的自相关和互相关系数的计算方法和m序列的计算方法完全相同，在这里不做详细说明。

3.2.2 Gold序列发生器

上一节已经对Gold序列的产生叙述的很清楚，Gold是基于m序列优选对产生，因此要产生Gold码首先需要解决m序列有选对的选取。在得到m序列优选对后设计一个由m序列优选对作输入的系统，输出平衡Gold码。

3.2.3 m序列优选对的选取

m序列优选对，指在m序列集中，其互相关函数的最大值的绝对值小于某个值的两个m序列。确切的说，如果有两个m 序列，它们的互相关函数的绝对值有界，且满足式（3-8）的我们称这一对m 序列为优选对。

?1?n2?2?1,n为奇数?R(?)?? （3-8）

?n?22??2?1,n为偶数且不是4的倍数选取m序列优选对可以采用计算它们的互相关系数来实现，计算互相关系数可以采用逐步移位模二加算法来实现。逐步移位模二加算法就是将要计算的m序列族中某两个序列之一固定，另一个m序列逐步循环移位，每移动一次将获得一个新的m序列。将被移位后的m序列与固定的m序列各码元对应位作比较，计算出互相关系数。在把互相关系数与m序列优选对的条件相比较，看是否满足进而判断这两个m序列

14

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

是否是优选对。

以上分析表明，m序列的优选对的选取就是一个计算m序列互相关系数的过程。因而，m序列优选对的选取的程序及实例在此就不做过多的说明了。优选对的计算核心是计算两个m序列互相关系数。有所不同的是选优选对每计算一次结果就和判别条件做一次比较，若满足条件继续计算，若不满足判别条件的，便可停止计算，因为这已经能够说明这两个m序列不是优选对。另外，也可以直接像上一章中的计算m序列的互相关系数那样把已经得到的两个m序列拿来用这样可以使程序得到简化。

3.2.4 Gold码的产生

在上一节，已经对Gold码的产生原理做了一些简单的论述，了解了Gold码是由两个码长相同、码时钟速率相同的m序列优选对模二加和产生。图3-4是Gold码产生的原理方框图，通过图3-4我们可以更直观的看到Gold码产生的机理。

图3-4中的两个m序列发生器产生的两个m序列必须是m序列优选对，并且两个m序列发生器要同时钟控制即码元速率要相同。两个m序列发生器产生的m序列要有相同的周期，这样才能保证两个m序列发生器产生的m序列有相同的位数。否则位数不同的m序列将无法进行模2加。通过图3-4及上一节对Gold码产生的说明，可得，每次改变两个m序列的相对位移就可以得到一个新的Gold序列。

m序列发生器1控制信号时钟Gold码输出m序列发生器2

图3.4 Gold序列发生原理方框图

3.2.5 Gold码的性质

平衡性：前面我们已经对Gold码的这个性质有所涉及，但限于论文的整体性，在此，重新说明一下。Gold码主要分为平衡Gold码和非平衡Gold码。当m序列发生

15

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

器的基数n为奇数时，平衡Gold码和非平衡Gold码出现的概率各占二分之一；当n为偶数时（但不为4的倍数）时，平衡码出现的概率是75℅，非平衡码出现的概率为25℅。

自相关性：Gold码序列的自相关函数的所有非最高峰的取值为三值，其非最高峰的取值R通过式（3.9）来说明。

?1??p??tR??? （3-9）

?p?t?2??p式中 p——Gold码的码长度，且满足p=2n?1。

在相对位移?为0时，自相关函数R取得最大值为1，此时它具有尖锐的自相关峰值。可以看出，Gold序列的自相关系数共有4个取值。式（3-10）中t的取值随着n的值的不同而不相同。式（3-10）给出了在n为不同值时t的计算公式。式（3-10）可以看到，n分为奇数和不是4的倍数的偶数，当为奇数时t可用表达式2n是偶数且不是4的倍数时，t要用表达式2n?22n?12?1给出，而当

?1给出。

?1?n2?2?1,n为奇数?t?? （3-10） ?n?22??2?1,n为偶数且不是4的倍数Gold码的互相关特性：Gold序列具有良好的互相关特性，Gold码的互相关函数值小于等于形成它的两个原m序列优选对的互相关函数值。式（2-6）给出了m序列的自相关值函数值，其实Gold序列的互相关函数值也具有三值互相关特性，与（3-10）式相同。并且它的取值有一定的规律性，当n为奇数时Gold码序列族中约有一半的码序列的互相关函数值是-1/p，而当n为偶数时，却有75℅的码序列的互相关函数值为-1/p。

本章的开始就已经对Gold序列的相关性做出了详细的介绍，同样，Gold码和m序列一样也有自相关和互相关之分，定义也基本相同，在此不做过多的叙述。伪随机序列的相关系数的计算方法基本相同，因此，Gold码的相关性系数的计算实现不管是

16

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

10.5互相关性值0-0.5-1-1.50102030ms/t40506070

图4-7 gold序列互相关特性图

由图4-8可知，复合序列图像的曲线各波峰值非常平均，很明显，复合序列继承了walsh序列的良好的互相关特性。

10互相关性值-1-2-3-4-502004006008001000t/ms12001400160018002000

图4-8 复合序列的互相关特性图

从图像比较可以看出，walsh的曲线陡峭度相对最低，即互相关性在这四种序列中最好，而复合序列则很好的保留了walsh序列的优良互相关性。

从自相关和互相关图像的比较可以得出：m序列有最好的自相关性，而walsh序列则有最好的互相关性，而mW复合序列则集合m序列良好的自相关性和walsh序列优良的互相关性于一身，在伪随机序列的应用中，经常选取m序列的自相关性和walsh序列的互相关性作为应用对象，但由于walsh序列自身的自相关性非常差，所以很少单独使用walsh序列，而是将其与其他序列复合使用，以集合二者的优点，但需要注意的是，复合序列占用的空间较其余三种伪随机序列要多出很多，选取时需考虑这点。

22

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

4．3 各序列误码率的比较

0.120.1m0.08walsh0.060.04mW0.02gold0-25-24-23-22-21-20-19-18-17-16-15

图4-9 不同伪随机序列误码率

在通过相同信噪比的扩频通信系统中的四种伪随机序列误码率图像如图4-5所示，图中，m，gold，walsh，mW序列分别以红色，青色，黑色和蓝色做标注，从曲线总体来看，mW复合序列的曲线最为平滑，在相同信噪比的情况下，可见复合序列误码率较低，故在现今扩频通信中，复合序列的应用越来越广泛，但同样的，复合序列占用的时间，空间较大，这一点在选取时需要和其余伪随机序列做比较，在考虑到时间空间等成本的情况下，gold序列等序列也是很好的选择。

23

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

结论

本文以四种在扩频通信系统中常用的伪随机序列为研究背景，通过对现有各种相关技术和系统的深入研究，比较了以m序列，gold序列，walsh序列和mW复合序列为代表的四种伪随机序列相关特性，并在扩频通信系统下，做了比较和分析，得出了一些结论，为扩频通信系统以后的的工程应用、理论设计提供了依据。本文的理论推导和实验数据分析的结果归纳如下：

本文比较了四种伪随机序列相关特性，这四种伪随机序列常用于扩频通信系统中，本文在MATLAB环境下对四种序列进行了仿真测试，通过图像对比分析了四种序列的自相关和互相关特性，并比较出其中特性最优良者。

本文在扩频通信系统中，对四种序列在加噪条件下的工作性能进行了仿真分析。在加噪信道中，通过对比误码率得出伪随机序列在信道中性能的优劣性，并对伪随机序列的应用前景做出了展望和分析。

24

基于MATLAB的伪随机序列性能分析

参考文献

[1] [2] [3]

张更新, 张杭. 卫星移动通信系统[M]. 北京: 人民邮电出版社, 2001: 79-85. 常永宇. CDMA无线定位技术及应用[M]. 北京: 工业出版社, 2003: 78-81.

郝志勇, 王晓燕. 基于修正互补序列CDMA系统加修正原理及DSP实现[M]. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2003: 313-316. [4] [5] [6]

田日才. 扩频通信[M]. 北京: 清华大学出版社, 2007: 7-176.

查光明, 熊贤祚. 扩频通信[M]. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2002: 97-118.

徐明远, 邵玉斌. MATLAB仿真在通信与电子工程中的应用[M]. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2005: 100-112. [7] [8]

樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第6版) [M]. 北京: 国防工业出版社, 2010: 180-400. 赵黎利, 张晓林, 周凯. 通信原理（修订版)[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工程大学出版社, 2003: 114-116. [9]

曾一凡, 李晖. 扩频通信原理[M]. 北京: 机械工业出版社, 2005: 2-30.

[10] 郑志斌. 扩频传输体制的几个基本问题[M]. 福建: 厦门大学出版社, 1998: 35-45. [11] 沈允春. 扩谱技术[M]. 北京: 国防工业出版社, 1995: 17-69.

[12] 刘树棠. 现代通信系统（MATLAB版)[M]. 北京: 电子工业出版社, 2005: 313-384.

[13] 郭海燕, 毕红军. MATLAB在伪随机码的生成及仿真中的应用[M]. 北京: 邮电出版社, 2004:

88-100.

[14] Marvin K. Simon. Spread Spectrum Comuunications Handbook[M]. 北京: 人民邮电出版社,

2002: 15-33.

[15] 曾兴斐, 裴昌幸. 伪随机码的相关特性对软扩频系统性能的影响[M]. 北京: 国防工业出版社,

1997: 121-124.

[16] 张葛祥, 李娜. MATLAB仿真技术与应用[M]. 北京: 清华大学出版社, 2003: 56-78.

25

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vkbo.html