四川省自贡市2013届高三第三次诊断性检测数学文试题

自贡市普高2012届第三次诊断性考试

数学（文史类）

本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.第一部分1至3页，第二部分4至6页，共6页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，只交回答题卡，试题卷学生自己保留. 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 P?A?B??P?A??P?B? S?4?R

2如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P?A?B??P?A??P?B? 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p， V?43?R3

那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

n?kkkPn?k??Cnp?1?k?,?k?0,1,2,?,n?

第一部分（选择题共60分）

注意事项：

1. 选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上. 2. 本部分共12小题，每小题5分，共60分.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设集合M=

，N=

,则

=

(A) (B)

(C) (D).

2.某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了 4个员工，则广告部门的员工人数为 (A) 30 (B) 40 (C) 50 (D) 60 3.函数

的反函数是 .

(A)(C)4. 要得到

(A)向左平移

(B)(D)的图象只需将

个单位 （B)向右平移

个单位 个单位

.

的图象.

(C)向左平移个单位 (D)向右平移

5. 若向量a,b,c满足a//b且a(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 0 6. 已知数列

c, 则c(a + 2b) =

为等差数列，Sn为其前n项和，且a2 = 3a4 -6 ,则S9 =

(A) 25 (B) 27 (C) 50 (D) 54 7.

表示两个不同的平面，l表示既不在a内也不在内的直线，存在以下三种情况：

.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命

题的个数为

(A) 0 (B) 1 (C) 2 （D) 3 8. 己知x>0，y>0，x+3y=2，则(A) 2 (B) 4 (C)

(D)

和直线l:x-y+3 = O,当直线l被圆C截得弦长的最小值是

9. 已知圆C:为(A)(C)

时，则a=? (B)

(D)

10. 设O为坐标原点，A(-1，1),平面区域M为，随机从区域M中抽取一整点

P (横、纵坐标都是整数)，则(A)(C)

(B) (D)

的概率是

11. 已知抛物线C:,直线l: y = -1, PA, PB为曲线C的两条切线，切点为A，B,

令甲：若P在l上，乙：PA丄PB，则甲是乙的 (A)充要条件. （B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件

D)既不充分也不必要条件

12. 某中学2011年招生火爆，因工作需要选择20名学生志愿者，他们的编号分别是1号、2号、?、19号、20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是 (A) 16 (B) 21 (C) 24 (D) 90

第二部分(非选择题共9O分）

注意事项：

1必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 2.本部分共10小题，共90分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13. 14. 双曲线-的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为._______

(n>0)的渐近线方程为

，则n=________

15. 在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC,AD两两垂直，ΔABC，ΔACD, ΔADB的面积分别为.

，则三棱锥的外接球的体积为_____.

16. 对于三次函数

的导函数，若方程

，定义

有实数解X0,则称点

是少=的导函数

的

为函数

“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题： ①任意三次函数都关于点②存在三次函数

有实数解x0,点

对称；

为函数

的对称中心；

③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心;, ④若函数则

，

.

其中正确命题的序号为__________ (把所有正确命题的序号都填上）.

三、解答题：共6小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题共12分）

在ΔABC中，a,b，c分别是角A，B ,C的对边，向量且

.

，

,

(I)求角B的大小； (II)设

，且

的最小正周期为，求

在区间

上的最大值和最小值.

18. (本小题共12分）.

某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会，拟邀请50名使用不同版本的一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示

(I)假设使用北师大版的5名教师中有3名男教师，2名女教师，若随机选出2名用北师大版的教师发言，求恰好是一男一女的概率P1

（II)从这名教师中随机选出2名教师发言，求第一位发言的教师所使用版本是北.师大版的概率P2.

19?(本小题共12分）. 如图所示，已知三棱柱

的侧棱与底面垂直，分别是

点，P点在(I)证明：(II)当

.上，且满足

；

取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？

的中

并求出该最大角的正切值

20 (本小题共12分) 已知

(I)如果函数f(x)的单调递减区间为(II)若f(X)的导函数为m的取值范围.

，对任意

，求函数f(x)的解析式；

，不等式

恒成立,求实数

21. (本小题共12分） 椭圆的两个焦点坐标分别为(I) 求椭圆的方程； (II) 过点试判断

22. (本小题共14分） 在直角坐标系中，有一点列n,点Pn在给定的函数，Pn为顶点的等腰三角形.

(I) 求点Pn的纵坐标bn的表达式； (II) 记①证明

. ；、

，?对每一个正整数

的图像上，点Pn和点((n-1，0)与点(n，0)构成一个以

作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N.两点，A为椭圆的左顶点，的大小是否为定值，并说明理由.

，且椭圆过点

.

②是否存在实数k，使得

在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

对一切均成立，若存

自贡市普高2012级第三次诊断性考试

数学参考答案及评分意见

一、（理）BACDB CCDDA CD （文）BCCCD BCACD AB 二、（理）13. ?2 14. 2?1 15.6? 16. ①② （文）13. 0 14. 三、解答题

17． (12分) (Ⅰ)由m//n，得bcosC?(2a?c)cosB, ????2分 ∴ 由正弦定理，得sinBcosC?sinCcosB?2sinAcosB， ????4分

?1即sin(B?C)?2sinAcosB--------5分 ∴cosB?，∴B?

32----------6分

??2?(Ⅱ)由题意知，f(x)?cos(?x?)?sin?x?3sin(?x?),∵ ??，∴??2

66?----8分

f(x)?3sin(2x?35 15.6? 16. ①②④

????7????? --------------10)当x??0,?时，2x???,?26666????分

当x?12分

18．(12分)文 (Ⅰ)从使用北师大版的5名教师中任选2名共有10种情况，满足题意的有6

种情况，∴ 所求的概率为：P1?610?35?6时，f(x)的最大值为3，当x??2时，f(x)的最小值为?32????

--------6分

（文）(Ⅱ) 理(Ⅰ)只考虑首位发言教师的情况：共有50种，符合题意的有5种，

∴ 所求的概率为P2?550?110 ------12分 ??（理）6分

理(Ⅱ)设抽到男教师个数?则?可取0、1、2 ---------------7

分 P(?=0)=110 P(?=1)=

610 P(?=2)=

310 ------10分

E?=0?110?1?610?2?310=1210?65----12分

19．(Ⅰ) (12分) (Ⅰ)以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

?????111111????则P(?,0,1)，N(,,0),M(0,1,)PN?(??,,?1)，AM?(0,1,) ----2分

222222?????????11从而PN?AM???0，-------4分 ???理（3分）

22 P B1C1 A1 ∴PN?AM -------5分 ???理（4分）

(Ⅱ)平面ABC的一个法向量为n=（0，0，1）---------6分??理（5分）

????????PN?n则sinθ=∣cos∣=????=

PN?n1(??12)?2------8分?理（6分）

54B N A M C ???而???0,?，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，-----10分?理（7分）

?2?故??12时，sinθ取到最大值

255?时，tanθ=2 ???12分 ??理（8分）

??理(Ⅲ)设平面AMN的法向量为n=(x,y ,z) 由 n.AN=0 ，n.AM=0

??????1|AP?n|56?得 n=（1，?1，2）AP=(,0,1) ??理（10分）d? ??理（12?212|n|分）

20.（文）(Ⅰ)∵f?(x)=3x?2mx?1，?1分，由题意f?(x)=3x?2mx?1<0的解集为(?13,1)，则3x?2mx?1=0的两根分别为?3222213,1，------4分∴可解得m??1，故

f(x)?x?x?x?2-----6分

(Ⅱ)由题意有3x?2mx?1≥2(1?m)在x?(0,??)时恒成立 ????8分 由于x?(0,??)，于是2m?3(1?x)，??10分∵3(1?x)<3， ∴2m?3，则m?322-----12分

22220（理）．解：（Ⅰ）由题意可设圆的方程为x?y?b，(b?0) ????1分 ∵直线x?y?2?0与圆相切，∴d?22?b，即b?2， ????2分

又e?ca?33，即a?x23c，a2?b2?c2，解得a?3，c?1， ????3分

∴ 椭圆方程为

3?y22?1． ????4分

（Ⅱ）设M(x,y)，其中x?[?3,3]．

OPOM22x?2???及点P在椭圆C上可得

222由已知

322x?yx2?x?63(x?y)222??，

2整理得(3?2?1)x2?3?2y2?6，其中x?[?3,3]．??6分 ①当??33时，化简得y2?6， ????7分

3)，轨迹是两条平行于x轴的线段；??8分

∴点M的轨迹方程为y??6(?3?x?②当??3333时，方程变形为x2263??1?y263?2?1，其中x?[?3,3]， ??9分

当0???时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足?3?x?3的部分；?10分 当

33???1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足?3?x?3的

部分；? 11分

当??1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆． ????12分

2221(理).解：（Ⅰ）由已知an?1?an?2an， ?an?1?1?(an?1) ???2分

?a1?2?an?1?1，两边取对数得 lg(1?an?1)?2lg(1?an)，即

lg(1?an?1)lg(1?an)?2

?{lg(1?an)}是公比为2的等比数列． ???4分

2（Ⅱ）当n?2时,Sn?bn?Sn??Sn?1?Sn?2SnSn?1，?5分

?1?1?????Sn?Sn?1??Sn??展开整理得：2?2??

若Sn?0，则有bn?0，则S2?1?b2?0矛盾，所以Sn?0， ???6分 ∴ 在等式两侧同除以SnSn?1得分

1Sn?1Sn?1?2，??1???为等差数列 ?Sn????7

2n?1n?1n?1

（Ⅲ）由（Ⅰ）知lg(1?an)?2n?1?lg(1?a1)?2n?1?lg3?lg32?1?an?32??9

?1Sn?2n?1?Sn?1???8分

分

?Tn?(1?a1)(1?a2)…(1+an)?320?3?32122?…?32n-1?31?2?2?…+22n-1=32n-1 ??10

分

cn?Tn32n2(2n?1)(2n?1)n?12n?1?(1?13??12n?1

13?15???12n?1?12n?1)

??1??ck?k?13322?1nn?11?1?3132n?(1?12n?1)??11分

?lim[n??Tn32nn?1??ck]?k?113． ???12分

x221（文）．(12分) (Ⅰ)椭圆方程为

4?y?1 -------------5分

2(Ⅱ)由题意设直线方程为x?ty?(t?4)y?2265， ?6分 联立椭圆方程得

125ty?6425?0， ?7分

12t5(t?4)2设M(x1,y1),N(x2,y2)， 则y1?y2?,y1y2??6425(t?4)2 ??9分

?????????4162?0 ??11分 又A(?2,0)， ∴ AM?AN?(t?1)y1y2?t(y1?y2)?525∴∠MAN为定值

?2． ------12分

f(x)?(x?222（理）．解 (Ⅰ)∵ a＞0，

f?(x)?(2x?2a)eax2ax?1a)eax，∴

?(x?22ax?ax1a)?a?e2ax

)eax=(2x?于是f(0)?2a1a?ax2?2x?1)e?(ax?a?2a， ?? 2分

，f?(0)?a?2a，所以曲线y = f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为

y?1a?a?2a即（a－2）x－ay + 1 = 0． ??? (x?0)，

a?2a4分

(Ⅱ)∵ a＞0，e＞0，∴ 只需讨论ax2?ⅰ）当a＞2时，ax2?a?2aax

的符号． ???? 5分

＞0，这时f ′（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，+∞）上

为增函数．

ⅱ）当a = 2时，f ′（x）= 2x2e2x≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数． ??6分

ⅲ）当0＜a＜2时，令f ′（x）= 0，解得x1??2?aa2?aa，x2?2?aa．

当x变化时， f '（x）和f（x）的变化情况如下表： x f '（x） f（x） ∴f(x)在(??,?(??,?2?aa) ?2?aa (?2?aa,) 2?aa (2?aa,??) + ↗ 2?aa)0 极大值 ，(2?aa,??)－ ↘ 0 极小值 2?aa,+ ↗ 2?aa),为增函数,f(x)在(?为减函数． ?? 9分 (Ⅲ)当a∈（1，2）时，在

(2?aa?ifn(,1)2?aa∈（0，1）．由(Ⅱ)知f（x）在(0,2?aa)上是减函数，

上是增函数，故当

)?2a2x∈（0，1）时，

f(x)m2?aa(1?2?a)e2?a，??10分

2?a∴f(x)?2a2当x∈（0，1）时恒成立，等价于(1?2?a)e?1恒成立．??11分

当a∈（1，2）时，2?a?(0,1)，设g(t)?(1?t)et,t?(0,1)，则g?(t)?et?et?tet??tet?0，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得g(t)?(0,1)，即a∈（1，2）时(1?2?a)e恒成立，??13分 符合条件的实数a不存在． ?? 14分

2?a?1(文)22．解：(Ⅰ)∵Pn(an,bn),(n?1,0),(n,0) 构成以Pn为顶点的等腰三角形,

∴an?(n?1)?n2?2n?12??2分

??4分

又因为Pn(an,bn)在函数y?log32x的图像上，∴ bn?log3(2n?1)bn (Ⅱ)①∵cn?3，n?N?, ∴cn?2n?1

设Dn?c12?c222 ------------------5分

2n?12n???cn2n,则Dn?12?322???. ①

∴

12Dn?12122?3213由①－②得:

Dn222 1112n?1. ???2???n?1?n?12222212n?2?54???2n?3n?2n?1n?1② ??6分

∴Dn?1?1?12???1n?11?()2n?12n?1?3?1?2n?1<3--------92 ??1??nn?2nn222121?2分

2?43???2n2n?1?g(n)对一切n?N?均成立.

②由已知得k?12n?1???2n2n?1?2

∴g(n?1)?1g(n)?432n?22n?1?2n?121?43???2n2n?1?2n?24n?8n?32

2n?3

?4n?8n?44n?8n?322>1-------12分 ∴g(n)单调递增.最小值为g(1)?23?233.--------13分

又∵k?g(n)对一切n?N?均成立.∴k?233.kmax?233. ????14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wgvw.html