机械能守恒定律复习课教案

第3讲 机械能守恒定律

机械能守恒定律是高中物理的重要规律，也是高考命题考查的重点之一。高考对机械能守恒定律的考查重点是：连接体问题，与弹簧有关的问题，与实际情境相结合的问题。为了增加试题的综合性，高考命题一般将机械能守恒定律与其它知识相结合在一起，设置新新情境考查。2014年高考安徽卷第15题，新课标全国卷3第15题和第17题，从不同角度，设计不同的物理情境对机械能守恒定律的理解与应用进行考查。预计2015年高考仍会以新颖的情境对机械能守恒定律进行考查。

一、机械能守恒定律

1．机械能：动能和势能统称为机械能，即E＝Ek＋Ep. 2．机械能守恒定律

(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变． (2)表达式：.

①从守恒的角度：选取某一平面为零势能面，如果含有弹簧则弹簧处于原长时弹性势能为零，系统末状态的机械能和初状态的机械能相等，即 Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.（要选零势能参考平面）

②从能量转化的角度：系统的动能和势能发生相互转化时，若系统势能的减少量等于系统动能的增加量，系统机械能守恒，即ΔEp＝－ΔEk. （不用选零势能参考平面）

③从能量转移的角度：系统中有 A、B 两个物体(或更多物体)，若 A 机械能的减少量等于 B 机械能的增加量，系统机械能守恒，即ΔEA减＝ΔEB增．（不用选零势能参考平面）

(3)机械能守恒的条件：1只有重力或弹力做功

2受其它力，但其它外力不做功或做功代数和为零

3．利用机械能守恒定律解题的一般思路 (1)选取研究对象——物体或系统

(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析判断机械能是否守恒 (3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末态时的机械能

(4)(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp 或ΔEA＝－ΔEB)进行求解．

二、机械能守恒定律的常见题型 题型一、机械能守恒的条件的理解

例1 下列叙述中正确的是（ ）

A. 做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒 B. 做匀速直线运动的物体的机械能可能守恒

C. 外力对物体做功为0 ，物体的机械能一定守恒

D. 系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒

【变式】 如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m连接，且m、M及M与地面间摩擦不计．开始时，m和M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2，设两物体开始运动以后的整个运动过程中，弹簧形变不超过其弹性限度。对于m、M和弹簧组成的系统 （ ） A．由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒

B．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M各自的动能最大 C．由于F1、F2大小不变，所以m、M各自一直做匀加速运动 D．由于F1、F2均能做正功，故系统的机械能一直增大

分析：F1和F2要么同时做正功，要么同时做负功，系统机械能不守恒 。簧弹力大小与F1 F2大小相等之前加速，之后减速，此时速度最大，动能最大 。

题型二 单个物体机械能守恒的应用（实际情境中的机械能守恒问题）

例2.如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道, 由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连, 接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．

解析：设物块在圆形轨道最高点的速度大小为v，由机械能守恒定律得

12mgh＝2mgR＋mv ①

2

物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力FN.重力与压力的合力提供向心力，有：

v2mg＋FN＝m ②

R物块能通过最高点的条件是FN≥0 ③

由②③式得：v≥gR ④

5

由①④式得：h≥R ⑤

2

按题目要求，FN≤5mg，由②式得

v≤6gR ⑥

由①⑥式得：h≤5R

5

所以h的取值范围是R≤h≤5R.

2

题型三、系统机械能守恒的应用

例3 :如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与水平地面垂直，顶上有一个定滑轮，跨过定滑轮的细线两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时，将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，所有摩擦均忽略不计。当A沿斜面下滑距离s后，细线突然断了。求物块B上升的最大高度H。（设B不会与定滑轮相碰） 解：A、B系统机械能守恒，有 14mgssin??mgs?(4m?m)v2 2 即v2=4s

绳断瞬间,B做竖直上抛,取绳断瞬间B处为零势面,由机械能守恒有 :

12

mv?mgh 2得 h=0.2s

所以物块B上升的最大高度为H?h?s?0.2s?s?1.2s

A θ B [变式3]如图所示，跨过同一高度处的光滑轻小定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h=0.2m，开始时让连

接A的细线与水平杆的夹角θ=53°。由静止释放A，在以后的运动过程中，A所能获得的最大速度为多少？（sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s2，且B不会与水平杆相碰。）

【分析】A、B两物体组成的系统机械能守恒，当A到达C处（垂直于定滑轮)时速度最大，因为A到C以前，绳对A做正功，动能增加，A过C以后继续向右运动时，绳对A做负功，动能减小，A到C点时物体B的速度为零。

解：在A物体从开始到C点的过程中，

B下落的距离为：Δh=（h/sin53）－h = 0.05m

1A,B系统机械能守恒有：mgΔh=2mv2

2得 A的最大速度为v = lm/s

h A θ

B

易错点：从能量转化观点解决机械能守恒问题

【例 1】(双选)如图 5－3－6，质量分别为 m 和 2m 的两个小球 A 和 B，中间用轻质杆相连，在杆的中点 O 处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在 B 球顺时针摆动到最低位置的过程中

A．B 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系统机械能守恒 B．A 球的重力势能增加，动能也增加，A 球和地球组成的 C．A 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒 D.A 球、B 球和地球组成的系统机械不守恒

解析：在分析机械能是否守恒时可以看力做功和能的转化．本题中 B 球下落初看起来重力势能减小，动能增大似乎 B 球机械能守恒，但 B 球除受重力以外还有杆的弹力，杆的弹力不像绳，方向并不一定沿杆的方向，即在做圆周运动时杆的弹力可能做功，所以 B 球机械能不一定守恒．再看 A 球的动能增加了，势能也增加了，A 球的能量哪里来的呢？只能是杆对 A 球做功而来，所以 B 球受到的杆的弹力也做功．所以对 A、B 单个物体来说，机械能都不守恒．但杆并不存在弹性势能，所以对 A、B 系统来说，只有动能与重力势能的转化，机械能守恒。

[例2] 如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为 m的小球A和B，两球之间用 一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求： (1)两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小； (2)此过程中杆对B球所做的功．

[思路点拨] 解答本题时要注意以下三点：

(1)A和B组成的系统在下滑过程中机械能守恒． (2)在水平面上，A、B的速度相等．

(3)整个过程杆对B球的力为变力，变力所做的功可应用动能定理求解

．

解： (1)由于不计摩擦力及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒．两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定1

律有：mgh＋mg(h＋Lsin?)＝2× mv2，

2解得：v＝2gh＋gLsin θ (2)根据动能定理，对B球有 1

得W＋mgh＝mv2

2

1

[答案] (1)2gh＋gLsin θ (2)mgLsin?

2

与弹簧相关的机械能守恒问题

例1 如图所示，质量mB＝3.5kg的物体B通过一轻弹簧固连在地面上，弹簧的劲度系数k=100N/m．一轻绳一端与物体B连接，绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2后，另一端与套在光滑直杆顶端的、质量mA＝1.6kg的小球A连接．已知直杆固定，杆长L为0.8m，且与水平面的夹角θ=37°．初始时使小球A静止不动，与A端相连的绳子保持水平，此时绳子中的张力F为45N． 已知 AO1=0.5m，绳子不可伸长．现将小球A从静止释放（重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。求： (1) 在释放小球A前弹簧的形变量；

(2) 若直线CO1与杆垂直，求物体A运动到C点的过程中绳子拉力对物体A所做的功；

(3) 求小球A运动到底端D点时的速度．

（1）释放小球A前，物体B处于平衡状态：kx?F?mg 得x?0.1m 故弹簧被拉长了0.1m

（2）小球从杆顶端运动到C点的过程，由动能定理：

12WT?mAgh?mAvA?0

2h?CO1cos37。 而 CO1?AO1sin37。?0.3m 物体B下降的高度h'?AO1?CO1?0.2m

由此可知，此时弹簧被压缩了0.1m，则弹簧的弹性势能在初、末状态相同。

1122?mBvB再以A、B和弹簧为系统，由机械能守恒：mAgh?mBgh'?mAvA 22对小球进行速度分解可知，小球运动到C点时物体B的速度vB?0 由以上几式联立可得：WT?mBgh'?7J （3）因杆长L=0.8m，故?CDO1???37?

故DO1?AO1，弹簧的伸长量依然为0.1m.，与最初状态相比，弹簧的弹性势能相同，物体B又回到了初始位置，其重力势能也与最初状态相同。 在D点对A的速度进行分解可得：v'B?v'Acos37??0.8v'A 由机械能守恒：mAgLsin37??112'2mAv'A?mBvB 22联立可得小球A运动到杆的底端D点时的速度：v'A?2m/s。

思考：如图质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面

上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都牌伸直状态，A上方的一段沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3

A m1 的物体C上升。若将C换成另一个质量为(m1+m3)物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B则离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

解：开始时，B静止平衡，设弹簧的压缩量为x1,

kx1?m1g

挂C后，当B刚要离地时，设弹簧伸长量为x2，有

kx2?m2g

此时，A和C速度均为零。从挂C到此时，根据机械能守恒定律弹簧弹性势能的改变量为

?E?m3g(x1?x2)?m1g(x1?x2)

将C换成D后，有

1 ?E?(m1?m3?m1)v2?(m1?m3)g(x1?x2)?m1g(x1?x2)

2联立以上各式可以解得

v?2m1(m1?m2)g2

k(2m1?m3)

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