北理工《自动控制理论Ⅱ》课程学习资料(二)93

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北理工《自动控制理论Ⅱ》FAQ（二）

第一章线性系统的状态空间法下一、简述状态转移矩阵的基本性质。

（1）

A

A A

A

A t

t

t

e

e

e

dt

d

=

=

即A

A)(

)(

)(t

t

tφ

φ

φ=

=

（2）I

A=

?0

e即I

=)0(φ

（3）可逆性

[]t

t A

A-

-=e

e1即[])

(

)(

)(1

1t

t

t-

=

=-

-φ

φ

φ

（4）传递性)

(

)

(

)

(0

2

1

1

2e

e

e t t

t

t

t

t-

-

-=A

A

A

即)

(

)

(

)

(

2

1

1

2

t

t

t

t

t

t-

=

-

-φ

φ

φ

（5）当且仅当AB=BA时，有t

t

t)

(

e

e

e B

A

B

A+

=，如果AB≠BA时，则t

t

t)B

A

(

B

A e

e

e+

≠

二、线性定常系统的齐次状态方程为：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-

-

=

?

?

?

?

?

?

2

1

2

1

3

2

1

x

x

x

x

求其状态转移矩阵

t

t A e

)(=

φ

解：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

+

+

-

+

+

+

-

+

-

+

+

-

+

=

?

?

?

?

?

?

-

+

+

+

=

?

?

?

?

?

?

+

-

=

-

-

-

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

1

2

2

1

3

)2

)(

1

(

1

3

2

1

]

[

1

1

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s A

I

于是

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三、线性定常系统齐次状态方程为：

x x ?????

?????=452100010---

求系统状态转移矩阵。

解：应用凯-哈定理计算)(t φ

[]0)2()1(254det )Δ(223=++=+++=-=λλλλλλλA I

A 的特征值为 121-==λλ 23-=λ

于是

??????????

+-+-+=????????????????????--=????????????????????---=????????????????????=??????????----------------t t t t t t t t t t t t t t t λt λt λt t t t t t λλλλλt a t a t a 222221

12332111210e e e e 2e 2e 3e e 2e e e 111223102e e e 421111210e e e 11210)()()(311

状态转移矩阵

??????????+-+-+--+-+--+-+-+-+==

++==--------------------------t t t t t t t t t t t t t t t t

t t t t t t t t t

t t t t t t t t t t t t a t a t a t 2222222222210e 4e 3e e 8e 8e 3e 4e 4e 2e 2e 2e e 4e 5e 3e 2e 2e 2e e e e 2e 2e 3e e 2)()()(e )(A A I A φ

四、什么是状态转移矩阵？有哪些性质？

若系统初始状态为)0(x ，通过k

k G =)(φ将其转移到状态)(k x ，故)(k φ称为状态转移矩阵。 )(k φ的基本性质

（1）满足自身的矩阵差分方程及初始条件

)()1(k k φφG =+ I =)0(φ

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