第二章习题答案

习

（A）

1. 已知随机变量X服从0?1分布，并且P{X?0}?0.2，求X的概率分布． 解 X只取0与1两个值，P{X?0}?P{X?0}?P{X?0}?0.2，

P{X?1}?1?P{X?0}?0.8．

2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布．

解 X可以取0,1,2三个值．由古典概型概率公式可知

C5mC52?mP{X?m}?(m?0,1,2) 2C20依次计算得X的概率分布如下表所示

X P 0 0.5526 1 0.3947 2 0.0526 3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X件，求随机变量X的概率分布．

解 X的取值仍是0,1,2．每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4，且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有

9?0.5625， 166113P{X?1}?C2()()??0.375，

441611P{X?2}?()2??0.0625．

4164. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X的概率分布．

P{X?0}?()?234解 X可以取1,2,?可列个值．且事件{X?m}表示抽取m次前m?1次均未取到优质品且第m次取到优质品，其概率()34m?11?()．因此X的概率分布为 413m?1()， m?1,2,?． 445. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，

P{X?m}?求下列随机变量的概率分布．

(1)抽取次数X；

(2)取到的旧球个数Y．

解 (1)X可以取1,2,3,4各值．

P{X?1}?3399?0.75， P{X?2}????0.2045， 41211443299P{X?3}?????0.0409，

12111022032191P{X?4}??????0.0045．

1211109220(2)Y可以取0,1,2,3各值．

P{Y?0}?P{X?1}?0.75， P{Y?1}?P{X?2}?0.2045， P{Y?2}?P{X?3}?0.0409， P{Y?3}?P{X?4}?0.0045．

6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X的概率分布． 解 X可以取0,1,2,3各值．

3C31 P{X?0}?3??0.0045，

C1222012C9C327 P{X?1}???0.1227， 3220C121C92C3108 P{X?2}???0.4909， 3220C123C984 P{X?3}?3??0.3818．

C122207. 将3人随机地分配到5个房间去住，求第一个房间中人数的概率分布和分布函数． 解 用X表示第一个房间中的人数，则其可能的取值为0,1,2,3．

4364P{X?0}?3??0.512，

125512C3448P{X?1}?3??0.384，

1255C32412P{X?2}?3??0.096，

1255P{X?3}?11??0.008． 53125X的分布函数为

?0,?0.512,??F(x)??0.896,?0.992,???1,x?0,0?x?1, 1?x?2,

2?x?3,x?3.8. 袋中装有n个球，分别编号为1,2,?,n，从中任取k(k?n)个，求取出的k个球最大编号的概率分布．

解 用X表示k个球的最大编号，则X可能的取值为k,k?1,?,n．考虑随机事件{X?l}，总样本点

k数为Cn，若k个球的最大编号是l，编号是l的球一定被取出，剩下k?1个球从编号为1,2,?,l?1的1k?1l?1个球中取，共Clk??种取法，所以随机事件所包含的样本点数为{X?l}C1l?1，由古典概型概率公

式得

1Clk??1 P{X?l}?(l?k,k?1,?,n)． kCn9. 已知P{X?n}?pn，n?2,4,6,?,求p的值．

p2解 p?p?p????1 21?p246解方程，得 p??2． 210. 已知P{X?n}?cn，n?1,2,?,100，求c的值．

解 1??cn?c(1?2???n)?5050c

n?1100解得 c?1． 5050c?m??e，m?1,2,?，且??0，求常数c． 11. 已知P{X?m}?m!c?m??解 1??P{X?m}??e

m?1m?1m!?? 由于

m?0??m!?1??m!?e?，所以有

m?1??m??mc?m??e?c(e??1)e???c(1?e??)?1 ?m?1m!解得 c?1

1?e??12. 某人任意抛硬币10次，写出出现正面次数的概率分布，并求出现正面次数不小于3及不超过8的概率．

解 用X表示抛10次出现正面的次数，则X可能的取值为0,1,2,?,10．

kP{X?k}?C10?0.510(k?0,1,2,?,10)．

P{X?3}?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}

?0.5?10?0.5?45?0.5101010?0.0547，

P{X?3}?1?P{X?3}?0.9453，

P{X?8}?P{X?9}?P{X?10}?10?0.510?0.510?0.0107，

P{X?8}?1?P{X?8}?1?0.0107?0.9893．

13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：

(1)二人投篮总次数Z的概率分布； (2)甲投篮次数X的概率分布；

(3)乙投篮次数Y的概率分布．

解 设事件Ai表示在第i次投蓝中甲投中，Bj表示在第j次投蓝中乙投中，i?1,3,5,?,j?2,4,6,?，且A1,B2,A3,B4,?相互独立．

(1)P{Z?2m?1}?P{A1B1?A2m?3B2m?2A2m?1} ?(0.6?0.5)m?1?0.4?0.4(0.3)m?1 m?1,2,?，

P{Z?2m}?P{A1B1?A2m?3B2m?2A2m?1B2m}

?0.5?0.6?(0.6?0.5)m?1?0.3m m?1,2,?． (2)P{X?m}?P{A1B1?A2m?3B2m?2A2m?1} ?P{A1B1?A2m?3B2m?2A2m?1B2m}

?(0.6?0.5)m?1(0.4?0.6?0.5)?0.7?0.3m?1 m?1,2,?． (3)P{Y?0}?P{A1}?0.4

P{Y?m}?P{A1B1?A2m?1B2m}?P{A1B1?A2m?1B2mA2m?1} ?(0.6?0.5)m?1?0.6?(0.5?0.5?0.4) ?0.42?0.3m?1 m?1,2,?．

14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布（不计其他因素停车）． 解 X可以取0,1,2,3,4．

P{X?0}?0.4， P{X?1}?0.6?0.4?0.24，

P{X?2}?0.62?0.4?0.144， P{X?3}?0.63?0.4?0.0864， P{X?4}?0.64?0.1296．

15.

?2x,a?x?a?2, f(x)??其他.?0,问f(x)是否为密度函数，若是，确定a的值；若不是，说明理由． 解 如果f(x)是密度函数，则f(x)?0，因此a?0，但是，当a?0时，

?由于

a?2a?22xdx?x2|aa?4a?4?4

?????f(x)dx不是1，因此f(x)不是密度函数．

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