2018年辽宁大学数学分析;高等代数;常微分方程或近世代数任选其一
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2018年辽宁大学数学分析;高等代数;常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预
测五套卷(一) ....................................................................................................................... 2 2018年辽宁大学数学分析;高等代数;常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预
测五套卷(二) ....................................................................................................................... 9 2018年辽宁大学数学分析;高等代数;常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预
测五套卷(三) ..................................................................................................................... 16 2018年辽宁大学数学分析;高等代数;常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预
测五套卷(四) ..................................................................................................................... 23 2018年辽宁大学数学分析;高等代数;常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预
测五套卷(五) (29)
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试实战预测五套卷(一)
特别说明:
1-本资料为2018复试学员内部使用,终极模拟预测押题,实战检测复试复习效果。
2-资料仅供复试复习参考,与目标学校及研究生院官方无关,如有侵权、请联系我们立即处理。 ————————————————————————————————————————
一、分析计算题
1. 设是n 维实线性空间V 的线性变换,
证明,至少有一个维数为1或2的不变子空间. 【答案】时显然.当时,如果有实特征值,则有实特征向量取
则W 是的一维不蛮子空间. 如果的特征值都是虚数,设是的一个特征值,而是属于的特征向量.这里
此时,如则为的1维不变子空间 如则线性无关. 事实上,若不然,不妨设 由于
(1) 所以
所以
从而
矛盾. 取
则
又由(1)得
所以W 是
的不变子空间 2. (1)把矩阵表成形式为与的矩阵的乘积; (2)设为一复数矩阵,
,证明:A 可以表成形式为的矩阵的乘积. 【答案】
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令则故
现作如下乘积
.
故
己表成所要求的形式
.
先用所给定的初等变换把A 化成中所述的形状:
先设则
又由
能表成给定类型矩阵的乘积,故A 也能. 若则则
就化成前一种情形,这时A 也能表成给定类型矩阵的乘积.
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3. (1)设
问:(i )为何值时,A 为可逆阵;
(ii )为何值时,A 为正交矩阵;
(2)
是n 阶可逆阵,
是A 的伴随矩阵,即
其中
表示A 的元素
的代数余子式
,试证明
是可逆矩阵,
并且
【答案】 (1)
(i )当时,
,即A 为可逆矩阵 (ii )当时,A 为正交矩阵.即当时,A 为正交阵. (2) 已知
,所以
.即
是可逆矩阵.关于
的证明.
4. 用正交线性替换化下列二次型为标准形
:
【答案】(1)二次型
的矩阵为
求得正交矩阵
使为对角矩阵
因此,正交线性替换
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把原二次型化为标准形
(2)正交线性替换
标准形
(3)正交线性替换
标准形为
(4)正交线性替换
标准形为
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