第四章 李雅普诺夫稳定性理论

第四章 李雅普诺夫稳定性理论

第四章李雅普诺夫稳定性理论

第四章 李雅普诺夫稳定性理论

4.1 稳定性基本概念

4.2 李雅普诺夫意义下的稳定性4.3 李雅普诺夫第一法

4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法

第四章 李雅普诺夫稳定性理论

教学要求： 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法 重点内容： 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别

第四章 李雅普诺夫稳定性理论

研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统

正常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。

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经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，

奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)

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1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定

性定理采用了状态向量来描述，适用于单 变量，线性，非线性，定常，时变，多变 量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。

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主要内容： 李氏第一法(间接法):求解特征方程 的特征值 李氏第二法(直接法):利用经验和技巧 来构造李氏函数

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4.1 稳定性基本概念

1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)

=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) 2.初态 x

x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态3.平衡状态：

xe 系统的平衡状态 e f ( xe , t ) 0 x n Ax a.线性系统 x R x

A非奇异： A奇异：

Axe 0 xe 0 Axe 0 有无穷多个 xe

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b.非线性系统

f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x例如： 1 x1 x

2 x1 x2 x x令

3 2

1 0 xxe 1 0

2 0 x 0 xe3 1

0 xe2 1

0

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4.

孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。

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4.1 李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定如果对每个实数 0 都对应存在另 一个实数 ( , t0 ) 0 满足

x0 xe ( , t0 )

的任意初始态 x0 出发的运动轨迹

x(t; x0 , t0 ),在t 都满足：

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x(t; x0 , t0 ) xe , t t0则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。 时变系统： 与t 0 有关 定

常系统： 与t 0无关，xe 是一致稳定的。 注意： -向量范数(表示空间距离) 欧几里得范数。

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2.渐近稳定 1)是李氏意义下的稳定x(t ; x0 , t0 ) xe 0 2)lim t

与t0无关 一致渐进稳定3.大范围内渐进稳定性

对 x0 s( )t

都有 lim x(t; x0 , t0 ) xe 0

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初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。

s( ) ,

x xe大范围稳定

线性系统(严格):如果它是渐进稳定的，必

是有大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。 非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。

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当 与 t 0 无关 大范围一致渐进稳定。 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态xe

有多小，只要 s( ) 4. 不稳定性：不管 , 内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此 平衡状态是不稳定的。

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线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局 s( ) 部发散的轨迹。至于是否趋于无穷远 域外是否存在其它平衡状态。若存在极限环， 则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。

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4-2 李雅普诺夫第一法(间接法) 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：

Ax x(0) x0 t 0 x1)李氏稳定的充要条件：

Re( i ) 0

i 1,2, n

即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。

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2.

非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。 设非线性系统状态方程： f ( x) f ( x) --非线性函数 x 在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导 数，于是：

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f x x.

xe

( x xe ) R ( x)

其中：

R( x) --级数展开式中二阶以上各项之和) f1 x f 1 x f n x1 f1 x2 f n x2 f1 xn f n xn

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上式为向量函数的雅可比矩阵。

f f1令

f2 fn

T

x x1 x2 xn

T

x f ( xe ) x f A xx xe

x x xe

则线性化系统方程为：

A x x

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结论： 1) 若 Re( i ) 0 i 1,2, , n ,则非线 性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 R ( x) 无关。 2) 若 Re( i ) 0 Re( j ) 0 i j 1, , n 则不稳定。 3) 若 Re( i ) 0,稳定性与 R( x)有关，R( x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。

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