高等数学基础作业答案

高等数学基础第一次作业点评1

第1章 函数

第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．

2 A. f(x)?(x)，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x

x2?13 C. f(x)?lnx，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?

x?1 ⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（ C ）对称．

A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．

A. y?ln(1?x) B. y?xcosx

2ax?a?x C. y? D. y?ln(1?x)

2 ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. y?x?1 B. y??x C. y?x2??1,x?0 D. y??

1,x?0?⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．

x2?1 B. limln(1?x)?0 A. lim2x??x?2x?0sinx1 C. lim?0 D. limxsin?0

x??x??xx ⒍当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．

1sinx A. B.

xx1 C. xsin D. ln(x?2)

x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量

⒎若函数f(x)在点x0满足（ A ），则f(x)在点x0连续。

A. limf(x)?f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义

x?x0 C. lim?f(x)?f(x0) D. lim?f(x)?lim?f(x)

x?x0x?x0x?x0 二、填空题

x2?9?ln(1?x)的定义域是 ．{xx??3或x?3} ⒈函数f(x)?x?322 ⒉已知函数f(x?1)?x?x，则f(x)? ．x?x

1x)? ．e2 ⒊lim(1?x??2x11?x? ⒋若函数f(x)??(1?x),x?0，在x?0处连续，则k? ．e

?x?0?x?k,?x?1,x?0 ⒌函数y??的间断点是 ．x?0

?sinx,x?0 ⒍若limf(x)?A，则当x?x0时，f(x)?A称为 ．无穷小量

x?x0

三计算题 ⒈设函数

?ex,x?0 f(x)???x,x?0求：f(?2),f(0),f(1)．

解：f(?2)??2

f(0)?0 f(1)?e1?e

点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。即正确选择某段函数。

2x?1的定义域． x2x?1 解：欲使函数有意义，必使lg?0，

x2x?1即：?1 亦即：2x?1?x

x解得函数的定义域是：x?1

⒉求函数y?lglg 点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。

⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：设梯形的高CM=x，则DM? 则梯形的面积

R2?x2

梯形的上底DC?2R2?x2，下底AB?2R

(2R2?x2?2R)x s?

2 ?(R2?x2?R)x ⒋求lim(0?x?R)

sin3x．

x?0sin2xsin3x3x?03x313??? 解：原式=?sin2x2122limx?02xlim 点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。

x2?1 ⒌求lim．

x??1sin(x?1)lim(x?1)x?1?2x??1 解：原式=lim????2

x??1sin(x?1)sin(x?1)1limx??1x?1x?1 点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。

tan3x．

x?0xsin3xsin3x1sin3x11 解：limcos3x?3lim??3lim?lim?3?1??3

x?0x?0x?0x?0cos3xx3xcos3x3x1 ⒍求lim 点评：同上。

1?x2?1 ⒎求lim．

x?0sinx 解：原式=lim(1?x2?1)(1?x2?1)(1?x2?1)sinxx?0?limx1?x2?1x?0?limx?01?0?1?0 sinxx 点评：同上。 ⒏求lim(x??x?1x)． x?3x?3?x?1?lim?? 解：原式=

x??x?3???x?1?????x?3??3?x?3?4?lim??=

x??x?3???3x?3?x?3?4????x?3??x?3?3

?4??lim1???=

x??x?3????4???lim1??=x?????x?3??x?3?4???lim?1??x??x?3???????4?4??lim1???=

x??x?3??x?3?4

x?3?4??4??lim?1??=x?????x?3???????4=e?4

x2?6x?8 ⒐求lim2．

x?4x?5x?4(x?4)(x?2)x?22?lim? 解：原式=limx?4(x?4)(x?1)x?4x?13 ⒑设函数

?(x?2)2,x?1?f(x)??x,?1?x?1

?x?1,x??1?讨论f(x)的连续性，并写出其连续区间．

点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数f(x)在该点处的左右极限情况，然后再由函数连续性的定义判断。

解：先看函数在分段点x??1处的情况，

f(x)?(x?1)??1?1?0 ∵

limx??1?limx??1?x??1 limf(x)?lim∴limf(x)?limf(x)，故limf(x)不存在。

x??1?x??1?x??1?x??1?x??1∴x??1为函数f(x)的间断点。 再看函数在分段点x?1处的情况，

f(x)?x?1 ∵

limx?1?x?1?limx?1?x?1? ∴

2f(x)?(x?2)?1 limlimlimf(x)?limf(x)，故limf(x)?1。

x?1?x?1?x?1又因为f(1)?x所以

x?1x?1?1

limf(x)?f(1)

故x?1是函数f(x)的连续点。

函数f(x)在连续区间是：(??,?1)?(?1,??)。

高等数学基础第二次作业

第3章 导数与微分

（一）单项选择题

f(x)f(x)存在，则lim?（B）．

x?0x?0xx A. f(0) B. f?(0) C. f?(x) D. 0

f(x0?2h)?f(x0)?（D）． ⒉设f(x)在x0可导，则limh?02h A. ?2f?(x0) B. f?(x0) C. 2f?(x0) D. ?f?(x0)

f(1??x)?f(1)x ⒊设f(x)?e，则lim?（A）．

?x?0?x A. e B. 2e

11 C. e D. e

24 ⒋设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，则f?(0)?（D）．

⒈设f(0)?0且极限lim A. 99 B. ?99 C. 99! D. ?99! ⒌下列结论中正确的是（ C ）．

A. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0可导． B. 若f(x)在点x0连续，则在点x0可导． C. 若f(x)在点x0可导，则在点x0有极限． D. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续． （二）填空题

1?2xsin,x?0? ⒈设函数f(x)??，则f?(0)? 0 ． x?x?0?0,df(lnx)2lnx?5x2xx? ⒉设f(e)?e?5e，则 dxx1 ⒊曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是 ．

2π ⒋曲线f(x)?sinx在(,1)处的切线方程是y?1．

22x2x ⒌设y?x，则y?? x?2lnx?2?．

⒍设y?xlnx，则y??? （三）计算题

⒈求下列函数的导数y?：

x⑴y?(xx?3)e

1． x3xxx解：y??(xe?3e)??x2e?x2e?3e

23132x2 =e(x?x?3)

22⑵y?cotx?xlnx

xx3213cosx?sinxsinx?cosxcosxx22?xlnx)??(?2xlnx?) 解：y??(2sinxxsinx1 =??2xlnx?x

sin2xx2⑶y?

lnx2xlnx?xx(2lnx?1)解：y?? ?ln2xln2xcosx?2x⑷y? 3x(?sinx?2xln2)x3?(cosx?2x)?3x2解：y?? 6x?xsinx?ln2?2xx?3cosx?3?2x =

x4lnx?x2⑸y?

sinx1(?2x)sinx?cosx(lnx?x2)解：y??x 2sinx(1?2x2)sinx?xcos(lnx?x2) =

xsin2x4⑹y?x?sinxlnx

sinx) xsinx3 =4x?cosx?lnx?

xsinx?x2⑺y?

3x(cosx?2x)3x?3xln3(sinx?x2)解：y?? 2x3cosx?2x?ln3(sinx?x2) = x3x⑻y?etanx?lnx

解：y??4x?(cosx?lnx?3ex1)?解：y??(etanx?

xcos2xex(sinxcosx?1)1? =

xcos2x ⒉求下列函数的导数y?：

x⑴y?ex

x解：y??e?12x?exx2x

⑵y?lncosx 解：y??⑶y??sinx??tanx

cosx12141878xxx

解：因为y?x?x?x?x

7?8? 所以 y?x

82⑷y?sinx

解：因为y?2sinx?cosx?sin2x

?11 所以 y??(x?x2)3(1?)

32x2⑸y?sinx

22解：y??cosx?2x?2xcosx

x⑹y?cose

xx解：y???sine?e

xx =?esine

n⑺y?sinxcosnx

nn解：y??(sinx)?cosnx?sinx?(cosnx)?

n?1n =nsinx?cosx?cosnx?sinx?(?sinnx)?n

n?1 =nsinx(cosxcosnx?sinxsinnx)

121⑻y?5sinx

u解：设y?5⑼y?ecosxu?sinx

usinx??u??cosx y??yux=5ln5?cosx?ln5?5

u解：设y?eu?cosx

ucosx??u?e?(?sinx)??esinx y??yu=x ⒊在下列方程中，y?y(x)是由方程确定的函数，求y?： 解：将方程两边对x求导： y?cosx?ysinx=2e移项 y?(cosx?2e 所以：y??2y2y?y?

)?ysinx

ysinx 2ycosx?2e⑵y?cosylnx

解：将方程两边对x求导： y??(cosy)?lnx?cosy(lnx)?

cosy xcosy移项 y?(1?siny?lnx)?

xcosy所以：y??

x(1?lnxsiny)x2⑶2xsiny?

y y???siny?y?lnx?2xy?x2y'2xx2'解：2simy?2xcosy?y???2y 2yyy2x?2simy2xy?2y2simyy' y??222x2xycosy?x2xcosy?2y⑷y?x?lny

y?解：因为：y??1?

y1 解得 y??

y?1y2⑸lnx?e?y

'解：将方程两边对x求导：

1?ey?y??2y?y? x1整理得：y?? yx(2y?e)

⑹y?1?esiny

2x解：将方程两边对x求导：

2y?y??exsiny?excosy?y?

exsiny整理得：y?? x2y?ecosyyx3⑺e?e?y

解：将方程两边对x求导：

ey?y??ex?3y2?y?

ex整理得：y??y 2e?3yxy⑻y?5?2

解：将方程两边对x求导：

y??5xln5?2yln2?y?

整理得：

5xln5y??

1?2yln2⒋求下列函数的微分dy： ⑴y?cotx?cscx

111cosx?解：因为 y??? ?()???222sinxsinxsinxsinx1?cosx =?

sin2x1?cosx所以 dy??dx 2sinxlnx⑵y?

sinx1sinx?cosx?lnxx解：因为 y?? 2sinxsinx?xcosx?lnx =

xsin2xsinx?xcosx?lnx 所以 dy=dx 2xsinx2⑶y?sinx

解：设 y?u,u?sinx ??u? 则 y??yux

=2u?cosx?2sinx?cosx

=sin2x 所以 dy=sin2xdx ⑷y?tane 解：设: y?tanu,x2u?ex

??u? 则 y??yux

1?ex 2cosuex = 2xcoseex 所以 dy=dx 2xcose =

⒌求下列函数的二阶导数： ⑴y?x

解：y??12x

31?2? y???()??x

42xx⑵y?3

x解：y??3ln3

xx y???(3ln3)??3ln3?ln3

= ⑶y?lnx

11 x11 y???()???2

xx⑷y?xsinx

解：y??sinx?xcosx

y???(sinx?xcosx)??cosx?cosx?xsinx

?2cosx?xsinx解：y??（四）证明题

设f(x)是可导的奇函数，试证f?(x)是偶函数． 证明：因为f(x)是奇函数，所以

又因为f(x)可导，函数f(?x)为复合函数。 对f(?x)??f(x)两端对x求导，得：

f?(?x)?(?x)???f?(x) 即?f?(?x)??f?(x) 所以：f?(?x)?f?(x)

根据偶函数的定义，f?(x)是偶函数。

高等数学基础第三次作业

第4章 导数的应用

（一）单项选择题

⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在??(a,b)，使得f(?)?f(b)?f(a)．

b?a A. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导 C. 在(a,b)内连续且可导’

D. 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导

⒉函数f(x)?x?4x?1的单调增加区间是（D）． A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??) ⒊函数y?x?4x?5在区间(?6,6)内满足（A）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升

⒋函数f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的（C）．

A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点

⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0?(a,b)，若f(x)满足（ C ），则f(x)在x0取到极小值．

A. f?(x0)?0,f??(x0)?0 B. f?(x0)?0,f??(x0)?0 C. f?(x0)?0,f??(x0)?0 D. f?(x0)?0,f??(x0)?0

⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在此区间内是（ A ）．

A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的

32 ⒎设函数f(x)?ax?(ax)?ax?a在点x?1处取得极大值?2，则a?（ 1 ）．

221 31 C. 0 D. ?

3 A. 1 B.

（二）填空题

⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0，当x?x0时

f?(x)?0，则x0是f(x)的 极小值 点．

⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)? 0 ．

⒊函数y?ln(1?x)的单调减少区间是???,0?．

2 ⒋函数f(x)?e的单调增加区间是?0,???．

x2 ⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a) ． ⒍函数f(x)?2?5x?3x的拐点是 (0,2) ．

32 ⒎若点(1,0)是函数f(x)?ax?bx?2的拐点，则a? 1 ，b??3

3

（三）计算题

2 ⒈求函数y?(x?1)(x?5)的单调区间和极值．

32

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