2015年中考试卷解析分类汇编(第1期)专题26_图形的相似与位似

2015年中考分类汇编——图形的相似与位似

一.选择题

1. （2015?淄博第8题,4分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=

AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）

A．

B．

C．

D．

考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．. 专题：压轴题．

分析：根据三角形的中位线求出EF =BD，EF∥BD，推出△AEF∽△ABD ，得出=

，求出

==，即可求出△AEF与多边形BCDFE的面积之比．解答：解：连接BD ，

∵F、E分别为AD、AB中点，

∴EF =BD，EF∥BD，

∴△AEF∽△ABD，

∴==，

∴△AEF的面积：四边形EFDB的面积=1：3，

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∵CD =AB ，CB ⊥DC ，AB ∥CD ，

∴==，

∴△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为1：（3+2）=1：5， 故选C ．

点评： 本题考查了三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中． 2．（2015·湖北省武汉市，第6题3分）如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为3

1，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ） A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1) 1.A

【解析】∵线段CD 和线段AB 关于原点位似，∴△ODC ∽△OBA ，∴31OB ==AB CD OD ，即3

1

36==CD OD ，∴CD =1，OD =2，∴C （2,1）.

一题多解—最优解：设C （x ,y ）,∵线段CD 和线段AB 关于原点位似，∴

3

1

36==y x ,∴x =2，y =1，∴C （2,1）.

备考指导：每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形．位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比．

3．(2015?湖南株洲,第7题3分)如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是 ( ) A ．

13 B ．23 C ．34 D ．4

5

第7题图

F

【试题分析】

本题考点为：相似的三角形性质的运用：利用AB ∥EF ∥CD 得到△ABE ∽△DCE ，得到

1

3

EC DC BE AB ==，△

BEF∽△BCD得到

1

4

EF BE BE

CD BC BE EC

===

+

，故可知答案

答案为：C

4．(2015?江苏南京,第3题3分)如图所示，△ABC中，DE∥BC，若，则下列结论中正确的是（）A ．B ．

C ．

D ．

【答案】C．

【解析】

试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C正确．故选C．

考点：相似三角形的判定与性质．

5．（2015?甘肃武威,第9题3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）

A．

B．

C．

D．

考点：相似三角形的判定与性质．

分析：证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC ，得到=，借助

相似三角形的性质即可解决问题．

解答：解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，

∴BE：EC=1：3；

∴BE：BC=1：4；

∵DE∥AC，

∴△DOE∽△AOC，

∴=，

∴S△DOE：S△AOC ==，

故选D．

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点评：本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．

6.（2015湖南岳阳第8题3分）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF ∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE ；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）

A．①②B．①②③C．①④D．①②④

考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．.

分析：根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．

解答：解：∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

而AB=CB，

∴AD=DC，所以①正确；

∵AB=CB，

∴∠1=∠2，

而CD=ED，

∴∠3=∠4，

∵CF∥AB，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2=∠3=∠4，

∴△CBA∽△CDE，所以②正确；

∵△ABC不能确定为直角三角形，

∴∠1不能确定等于45°，

∴与不能确定相等，所以③错误；

∵DA=DC=DE，

∴点E在以AC为直径的圆上，

∴∠AEC=90°，

∴CE⊥AE，

而CF∥AB，

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∴AB ⊥AE ，

∴AE 为⊙O 的切线，所以④正确． 故选D ．

点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定． 图形的相似与位似

7.（2015湖北荆州第6题3分）如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）

A ． ∠ABP =∠C

B ． ∠APB =∠AB

C C ．

= D ．

= 考点： 相似三角形的判定．

分析： 分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 解答： 解：A 、当∠ABP =∠C 时，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；

B 、当∠APB =∠AB

C 时，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；

C 、当=时，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；

D 、无法得到△ABP ∽△ACB ，故此选项正确． 故选：D ． 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 8．（2015?四川资阳,第10题3分）如图6，在△ABC 中，∠ACB =90o，AC =BC =1，

E 、

F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、

G ．现有以下结论：①AB

②当点E 与点B 重合时，MH =12；③AF+BE=EF ；④MG ?MH =12

，

其中

正确结论为

A ．①②③

B ．①③④

C．①②④D．①②③④

考点：相似形综合题．.

分析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；

②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；

③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；

④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF?BF=AC?BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG?MH =AE ×BF =AE?BF =AC?BC =，依此即可作出判断．

解答：解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，

∴AB ==，故①正确；

②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，

∵MG⊥AC，

∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，

∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，

∴MH=MB=CG，

∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，

∴CE=AF=BF，

∴FG是△ACB的中位线，

∴GC =AC=MH，故②正确；

③如图2所示，

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∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠5=45°．

将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，

则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；

∵∠2=45°，

∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，

∴∠DCE=∠2．

在△ECF和△ECD中，

，

∴△ECF≌△ECD（SAS），

∴EF=DE．

∵∠5=45°，

∴∠BDE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误；

④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，

∵∠A=∠5=45°，

∴△ACE∽△BFC，

∴=，

∴AF?BF=AC?BC=1，

由题意知四边形CHMG是矩形，

∴MG∥BC，MH=CG，

MG∥BC，MH∥AC，

∴=；

=，

即=；=，

∴MG =AE；MH =BF，

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∴MG?MH =AE ×BF =AE?BF =AC?BC =，

故④正确．

故选：C．

点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．

9. （2015?浙江嘉兴，第5题4分）如图，直线l1// l2// l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相较于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则

的值为（▲）

（A）（B）2 （C）（D）

考点：平行线分线段成比例．.

分析：根据AH=2，HB=1求出AB的长，

根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案．

解答：解：∵AH=2，HB=1，

∴AB=3，

∵l1∥l2∥l3，

∴==，

故选：D．

点评：本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．

10. （2015?四川省宜宾市，第6题，3分）6. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为l：2，∠OCD=90°，CO=CD.若B(1，0)，则点C[中国^的坐标为( B )

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y

x

D

C B

A

O

A .(1,2)

B .(1,1)

C .(2, 2)

D .(2,1)

11. （2015?四川成都,第5题3分）如图，在ABC ?中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，4=AE , 则EC 的长为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】：B 【解析】： 根据平行线段的比例关系，AD AE

DB EC

=，

即643EC

=，2EC =，选B 。

12. （2015?四川乐山,第5题3分）如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和

D 、

E 、

F ．已知，则的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D．

【解析】

试题分析：∵∥∥，，∴===，故选D．

考点：平行线分线段成比例．

13. （2015?四川眉山，第6题3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C 和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）

A． 4 B． 5 C． 6 D． 8

考点：平行线分线段成比例．.

分析：由AD∥BE∥CF 可得=，代入可求得EF．

解答：解：∵AD∥BE∥CF，

∴=，

∵AB=1，BC=3，DE=2，

∴=，

解得EF=6，

故选：C．

点评：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．

14．(2015·黑龙江绥化，第9题分)如图，在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 ．若点M、N分别是线段

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ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）

A． 10 B． 8 C． 53 D． 6

考点：轴对称－最短路线问题．．

分析：根据轴对称求最短路线的方法得出M点位置，进而利用勾股定理及面积法求出CC′的值，然后再证明△BCD∽△C′NC进而求出C′N的值，从而求出MC+NM的值．

解答：解：如图所示：由题意可得出：作C点关于BD对称点C′，交BD于点E，连接BC′，

过点C′作C′N⊥BC于点N，交BD于点M，连接MC，此时CM+NM=C′N最小，

∵AB=10，BC=5，

在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD ==5，

∵S△BCD =?BC?CD =BD?CE，

∴CE ===2，

∵CC′=2CE，

∴CC′=4，

∵NC′⊥BC，DC⊥BC，CE⊥BD，

∴∠BNC′=∠BCD=∠BEC=∠BEC′=90°，

∴∠CC′N+∠NCC′=∠CBD+∠NCC′=90°，

∴∠CC′N=∠CBD，

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∴△BCD∽△C′NC，

∴，

即，

∴NC′=8，

即BM+MN的最小值为8．

故选B．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理的应用和相似三角形的应用，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．

15.（2015?山东东营,第6题3分）若，则的值为（）

A．1 B ． C ． D ．

【答案】D

【解析】

试题分析：∵，∴设y=3k，x=4k ，∴；

故选D.

考点：比例的应用.

16.（2015?山东东营,第10题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=B C．点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给

出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF =AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB ；④若，则．其中正确的结论序号是（）

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④

【答案】C

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考点：１.

相似三角形的判定和性质；２.圆周角定理；３.三角形全等的判定与性质.

17. （2015·山东潍坊第9 题3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：

第一步，分别以点A、D 为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；

第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；

第三步，连接DE、DF．

若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）

A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

考点：平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.

分析：根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求

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出即可．

解答：解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，

∴AE=DE，AF=DF，

∴∠EAD=∠EDA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠EDA=∠CAD，

∴DE∥AC，

同理DF∥AE，

∴四边形AEDF是菱形，

∴AE=DE=DF=AF，

∵AF=4，

∴AE=DE=DF=AF=4，

∵DE∥AC，

∴=，

∵BD=6，AE=4，CD=3，

∴=，

∴BE=8，

故选D．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．

……依次顺延

18．（2015?甘肃兰州,第5题，4分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为

A.（2，5）

B.（2.5，5）

C. （3，5）

D.（3，6）

【答案】B

【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识

【思路点拔】根据题意：AO:CO=BO:DO=5:2，而位似中心恰好是坐标原点O，所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍，因此选B。

【题目星级】★★★

19．（2015?安徽省,第9题，4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，

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点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是[（）]

A．2 5 B．3 5 C．5 D．6

考点：菱形的性质；矩形的性质．.

分析：连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到

∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO =AC =2，根据△AOE∽△ABC，即可

得到结果．

解答：解；连接EF交AC于O，

∵四边形EGFH是菱形，

∴EF⊥AC，OE=OF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，

∴∠ACD=∠CAB，

在△CFO与△AOE 中，，

∴△CFO≌△AOE，

∴AO=CO，

∵AC ==4，

∴AO =AC =2，

∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，

∴△AOE∽△ABC，

∴，

∴，

∴AE=5．

故选C．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解

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题的关键． 20. （2015山东济宁，10，3分）将一副三角尺（在中，∠ACB =

，∠B =

；在

中，∠EDF =

，∠E =

）如图摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C .将

绕点D 顺

时针方向旋转角，

交AC 于点M ，交BC 于点N ，则的值为( )

A .

B .

C .

D .

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意知D 为Rt △ABC 的斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得

CD =AD =BD =

AB ，再由∠B =60°可知△BCD 是等边三角形，因此可得∠DCP =30°，且可求∠DPC =60°，因

此tan 30°=

.根据旋转变换的性质，可知∠PDM =∠CDN ，因此可知△PDM ∽△CDN ，再由相似三角

形的性质可得，因此是一个定值.

故选C

考点：直角三角形斜边上的中线，相似三角形，旋转变换

二.填空题

1．(2015·贵州六盘水，第14题4分)已知

06

54≠==a

b c ，则a c b +的值为．

考点：比例的性质．.

分析：根据比例的性质，可用a 表示b 、c ，根据分式的性质，可得答案． 解答：解：由比例的性质，得

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c =a ，b =A ．

===．

故答案为：．

点评：本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a 表示b 、c 是解题关键，又利用了分式的性质．

2． (2015·河南，第10题3分)如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE //AC ，

若DB =4，DA =2，BE =3，则EC =.

2

3

【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE ∥AC ，∴EC BE DA BD =，

∴EC =

2

3

432BD BE DA =?=?.

3．（2015?广东梅州,第14题5分）已知：△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是AF =AC 或∠AFE =∠ABC ．（写出一个即可）

考点： 相似三角形的判定． 专题： 开放型． 分析： 根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论． 解答： 解：分两种情况： ①∵△AEF ∽△ABC ， ∴AE ：AB =AF ：AC ， 即1：2=AF ：AC ， ∴AF =AC ； ②∵△AFE ∽△ACB ， ∴∠AFE =∠AB C ．

∴要使以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AF =AC 或∠AFE =∠AB C ．

E C D

B

A 第10题

第 18 页 共 81 页 故答案为：AF =AC 或∠AFE =∠AB C ．

点评： 本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．

4．（2015?广东佛山,第13题3分）如图，在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，AC =10．四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形（点D 、E 、F 在三角形的边上）．则此正方形的面积是 25 ．

考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

分析： 由已知可得到△AFE ∽△ABC ，根据相似三角形的边对应成比例即可求得EF 的长，进而根据正方形的面积公式即可求得．

解答： 解：∵在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2，

∵AB =BC ，AC =10．

∴2AB 2=200，

∴AB =BC =10，

设EF =x ，则AF =10﹣x

∵EF ∥BC ，

∴△AFE ∽△ABC ∴=，即=，

∴x =5，

∴EF =5，

∴此正方形的面积为5×5=25．

故答案为25．

点评： 主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用．解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解．

5． (2015·河南，第22题10分)如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE . 将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

（1）问题发现 ① 当?=0α时，_____________=BD

AE ；

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② 当?=180α时，

.__________=BD AE

（2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，DB

AE 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.

（3）问题解决 当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.

（1）【分析】①根据题意可得DE 是三角形ABC 的中位线和BD 的长，根据中位线的性质和勾股定理求得AE 的长即可求解；②根据旋转180°的特性，结合①，分别得到AC 、CE 、BC 和CD 的长即可求解.

解：①

2；……………………………………………………（1分）

.……………………………………………………（2分）

【解法提示】①当α=0°，如解图①，∵BC =2AB =8，∴AB =4，∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，∴DE =121=AB ,AE =EC ,，∵∠B =90°，∴AC =∴AE =CE =∴AE BD ==当α=180度，如解图②，由旋转性质可得CE =5,CD =2，∵AC =BC =8，∴

2

5485254=++=++=CD BC CE AC BD AE .

E C D A

（图1） E D A C （图2） （备用图） C B A

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（2）【分析】在由解图①中，由平行线分线段成比例得到CB

CD

CA CE =，再观察图②中△EDC 绕点C 的旋转过程，结合旋转的性质得到

CB

CD

CA CE =任然成立，从而求得△ACE ∽

△BCD ，利用其性质，结合题干求得AC 的长即可得到结论.

第22题解图③

(3) 【分析】

解：5

………………………………………………………………………（10分）

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【解法提示】当△EDC 在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形，

∴BD =AC

=EDC 在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，由勾股定理可求得

AD =8，∴AE =6，根据

AE BD

=2可求得BD

=5

.

A

A

图④ 图⑤

第22题解图

6．(2015·黑龙江绥化，第21题 分)在矩形ABCD 中 ，AB =4 , BC =3 , 点P 在AB 上。若将△DAP 沿DP 折叠 ，使点A 落在矩形对角线上的A 处 ，则AP 的长为__________． 考点：翻折变换（折叠问题）．． 专题：分类讨论．

分析：分两种情况探讨：点A 落在矩形对角线BD 上，点A 落在矩形对角线AC 上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案． 解答： 解：①点A 落在矩形对角线BD 上，如图1， ∵AB =4，BC =3， ∴BD =5， 根据折叠的性质，AD =A ′D =3，AP =A ′P ，∠A =∠PA ′D =90° ∴BA ′=2， 设AP =x ，则BP =4﹣x ， ∵BP 2=BA ′2+PA ′2， ∴（4﹣x ）2=x 2+22， 解得：x =， ∴AP =；

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