四川省资阳市资阳中学2011-2012学年高二下学期第一次月考试数学

四川省资阳市资阳中学学年高二下学期第一次月考试数学试题

一．选择题（每小题分，共分）：

.方程0

4y x )1y x (22=-+-+的曲线形状是（ ） 、圆 、直线

、圆或直线 、圆或两射

线 ．)

( "032,"2

的否定是命题≤--∈?x x R x

032,. 032,. 032,. 032,.2222≥--∈?>--∈?≤--∈?>--∈?x x R x D x x R x C x x R x B x x R x A .若圆224x y +=上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的

13

，则所得曲线的方程是 （ ） .22

1412x y += .2

2

1436

x y += .229144x y += .221364x y += .若双曲线的顶点为椭圆12

2

2=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为，则双曲线的方程是（ ）

.122=-y x .122=-x y .222=-y x . 22

2=-x y

．椭圆22

1164

x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离是( ) ． ．11 ．22 ．10

.方程＋＋ (<<) 所表示的曲线的焦点坐标是 ( )

(，±-m n ) (，±-n m ) (±-m n ，) (±-n m ，)

.曲线（，）＝关于点（，）对称的曲线方程是（ ）

（－，－）＝ . （－，－）＝

（－，－）＝ . （－，－）＝

.方程11

662222=--+-+k k y k k x 表示双曲线的必要但非充分条件是 ( ) ()

21＜＜ ()－＜＜－3

1 () 21＜＜ 或－＜＜－31 ()－＜＜ .给出下列命题：

①若“p 或q ”是假命题，则“p ?且q ?”是真命题；

②22||||x y x y >?>；

③若实系数关于x 的二次不等式，2

0a x b x c ++≤的解集为?，则必有0a >且

0△≤； ④2424x x y y x y >+>?????>>??.

其中真命题的个数是 （ ）

． ． ． ．

.已知21,F F 是椭圆19

162

2=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，若5AB =，则12||||AF BF -=（ ）

. 已知P 为椭圆116

2522=+y x 上的一点，分别为圆()1322=++y x 和圆()4322=+-y x 上的点，则的最小值为（ ）

． ． ． ．

.已知直线l 是椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的右准线，如果在直线l 上存在一点，使得线段（为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） ．)1,23

[ ．)1,22

[ ．)1,22( ． )1,21[

二．填空题（每小题分，共分）

．已知 {}

()(){}032:;4:>--<-=x x x q a x x A p ，且是 的充分条件，则的取值 范围为

.12F F 、是椭圆2

214

x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||P F P F ?的最大值是

.在A B C △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过

点C ，则该椭圆的离心率e =

．以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设、为两个定点，为非零常数，k PB PA =-||||，则动点的轨迹为双曲线； ②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若),(2

1+=

则动点的轨迹为椭圆；

③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线135

192522

22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. ⑤经过点（，）作直线，若与双曲线－有两个不同的公共点，则直线的斜率的取

值范围是{＜}

其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）

三、解答题(共分).

．（分）已知命题p ：方程0

22

2=-+ax x a 在[－，]上有解；命题q ：只有一个 实数x 满足不等式2220x a x a ++≤，若命题“或”是假命题，求实数的取值范围．

．（分）椭圆中心是坐标原点，焦点在轴上，23

，过椭圆左焦点的直线交椭圆于、两点，

9

20，且⊥，求此椭圆的方程。

.（分）已知椭圆2

212

x y += （）求斜率为的平行线的中点轨迹方程；

（）过（，）的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程； （）过点（

12,12

）且被点平分的弦所在直线的方程. .（分）设1F 、2F 分别是椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ?的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为

锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围21.（分）求关于的方程()至少有一个正根的充要条件. .（分）

如图，已知椭圆C:

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的一

个焦点是（，），两个焦点与短轴的一个端点

构成等边三角形.

（）求椭圆C的方程；

（）过点Q()且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x 轴的对称点为1A.

（）求证：直线

1

A B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；

（）求△

1

OA B面积的取值范围.

资阳中学高级月考试题

数学

一．选择题（每小题分，共分）：

.方程0

4y x )1y x (22=-+-+的曲线形状是 、圆 、直线

、圆或直线 、圆或两射线 ．)

( "032,"2的否定是命题≤--∈?x x R x

032,. 032,.

032,. 032,.2222≥--∈?>--∈?≤--∈?>--∈?x x R x D x x R x C x x R x B x x R x A .若圆224x y +=上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的

13

，则所得曲线的方程是 （ ） .22

1412x y += .2

2

1436x y += .2

29144x y

+= .2

2

1364x y +=

.若双曲线的顶点为椭圆122

2

=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为，则双曲线的方程是（ ）

.122=-y x .122=-x y .222=-y x .22

2=-x y

．椭圆22

1164

x y +=上的点到直线20x y +的最大距离是( ) ． ．11 ．22 ．10

.方程＋＋ (<<) 所表示的曲线的焦点坐标是 ( )

() (，±-m n ) () (，±-n m ) () (±-m n ，) () (±-n m ，)

.曲线（，）＝关于点（，）对称的曲线方程是

（－，－）＝ . （－，－）＝

（－，－）＝ . （－，－）＝

.方程11

662222=--+-+k k y k k x 表示双曲线的必要但非充分条件是 ( ) ()

21＜＜ ()－＜＜－3

1 () 21＜＜ 或－＜＜－31 ()－＜＜ .给出下列命题：

①若“p 或q ”是假命题，则“p ?且q ?”是真命题；

②22||||x y x y >?>；

③若实系数关于x 的二次不等式，2

0a x b x c ++≤的解集为?，则必有0a >且0△≤； ④2424x x y y x y >+>?????>>??.

其中真命题的个数是

（ ）

． ．

． ． 答案 .已知21,F F 是椭圆19

162

2=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，若5AB =，则12||||AF BF -=（ ）

. 已知P 为椭圆116

2522=+y x 上的一点，分别为圆()1322=++y x 和圆()4322=+-y x 上的点，则的最小值为（ ）

． ． ． ．

.已知直线l 是椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的右准线，如果在直线l 上存在一点，使得线段（为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） ．)1,23

[ ．)1,22

[ ．)1,22( ． )1,21[

二．填空题（每小题分，共分）

．已知 {}

()(){}032:;4:>--<-=x x x q a x x A p ，且是 的充分条件，则的取值 范围为[－, ]

.12F F 、是椭圆2

214

x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||P F P F ?的最大值是． .在A B C △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A

B ，为焦点的椭圆经过点

C ，则该椭圆的离心率e =

2132322||||||-=+=+=BC AC AB e ．以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设、为两个定点，为非零常数，k PB PA =-||||，则动点的轨迹为双曲线； ②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若),(21+=则动点的轨迹为椭圆；

③方程02522

=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线135

192522

22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. ⑤经过点（，）作直线，若与双曲线－有两个不同的公共点，则直线的斜率的取值范围是{＜} 其中真命题的序号为③④（写出所有真命题的序号）

三、解答题(共分).

．（分）已知命题p ：方程0

22

2=-+ax x a 在[－，]上有解；命题q ：只有一个 实数x 满足不等式2220x a x a ++≤，若命题“或”是假命题，求实数的取值范围．

．（分）椭圆中心是坐标原点，焦点在轴上，

23，过椭圆左焦点的直线交椭圆于、两点，9

20，且⊥，求此椭圆的方程。 .解 设椭圆方程为22a x 22b y ,(>>)

当⊥轴时，(－)， a b

2，又且⊥，∴。 即a b

2

∴－,

与题设2

3不符。所以不垂直轴。 设∶()()(), ∵23∴343

1, 所以椭圆方程可化为－。

将方程代入，得()－ ∴2224312k c k -+222

2

124312k c c k -+ 由920

∵⊥∴11x y ·22

x y －即, ∴()() ②

把12x x +，21x x 代入，解②得

114，把2411k =代入①解得 ∴，则所求椭圆方程为42x

。

.（分）已知椭圆2

212

x y += （）求斜率为的平行线的中点轨迹方程；

（）过（，）的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程； （）过点（12,12

）且被点平分的弦所在直线的方程. 解()设这些平行弦的方程为,弦的中点为().

联立直线方程和椭圆方程,2

212

x y +=消去得, 22982(1)0x mx m ++-=,

因此12x x +89

m ,2226472(1)7280,33m m m m ?=--=->∴-<<. 的坐标是49m -,33m -<<,消去得144,433

x x --<<. ()设弦的端点为(11,x y )(22,x y ),其中点是().

2211212122121222122()212

PQ x y y y x x x k x x y y y x y ?+=?-+??==-=-?-+?+=?? 1,2AM AM PQ y k k k x -==-因此12y x --2x y -, 化简得:222220x x y y -+-=(去除包含在椭圆2

212

x y +=内部的部分). ()由()可得弦所在直线的斜率为2x y -12-,因此所求直线方程是:

12-

12(12

),化简得. .（分）设1F 、2F 分别是椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ?的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围

解法

二：易知2,1,a b c ===

(

))12,F F ，设(),P x y ，则 2221212

121

2121212

cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-?=??∠=???

((22222211232x y x y x y ?

?=+++-+-=+-????（以下同解法一） （Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，

联立222

14y kx

x y =-???+=??，消去y ，整理得：22

14304k x kx ??+++=

???

∴12122243

,11

44

k x x x x

k k +=

-?=++

由()22

14434304k k k ???=-+?=-> ???得：k

又00

0090cos 000A B A B OA OB <∠??>

∴12120OA OB x x y y ?=+> 又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2

2223841144k k k k -=++++22114k k -+=+ ∵2223

101144k k k -++>++，即24k <∴22k -<<

故由①、②得2k -<<

2k << 21.（分）求关于的方程()至少有一个正根的充要条件.

解方法一 若，则方程变为满足条件，若≠，则方程至少有一个正根等价于

01<+a a 或??

???>++=+01012a a a a 或??????????≥+-++=?>+>++0)1(4)1(0101222a a a a a a a a a <<或

>.

综上：方程至少有一正根的充要条件是>.

方法二 若，则方程即为, ∴满足条件；

若≠，∵Δ

()()()()()

()()()≥，∴方程一定有两个实根. 故而当方程没有正根时，应有,01012???

????≥+≤++a a a a a 解得≤, ∴至少有一正根时应满足>且≠,综上：方程有一正根的充要条件是>. .（分）

如图，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b

+=>>的一 个焦点是（，），两个焦点与短轴的一个端点

构成等边三角形.

（）求椭圆C 的方程；

（）过点Q ()且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为1A .

（）求证：直线1A B 过x 轴上一定点，并求出此定点坐标；

（）求△1OA B 面积的取值范围.

解：（）因为椭圆C 的一个焦点是（，），所以半焦距c .

因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. 所以12

c a =

，解得2,a b =所以椭圆的标准方程为22143x y +=. …（分） （）（）设直线l ：4x m y =+与22

143

x y +=联立并消去x 得：22(34)24360

my m y +++=. 记11,A x y （），22,B x y （），1222434

m y y m -+=+， 1223634

y y m =+. ……………（分） 由关于x 轴的对称点为1A ，得111

(,)A x y -， 根据题设条件设定点为T （t ，），得1T B T A k k =，即2121

y y x t t x =--. 所以212121121212(4)(4)x y y x m y y m y y t y y y y ++++==++1212

24431m yy y y =+=-=+ 即定点T （ ， ）. ……………………………………（分） （）由（）中判别式0?>，解得2m >. 可知直线1A B 过定点T (). 所以1

212111|()|||22O A B S O T y y y y ?=--=+……………（分） 得121244||42433O A B m S m m m

?==++, 令||t m = 记4()3t t t ?=+，得/24()13t t

?=-，当2t >时，/()0t ?>. 4()3t t t ?=+在(2 , )+∞上为增函数. 所以43m m +28233>+= ，

得1

330482O A B S ?<

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g11q.html