潮州市绵德中学2015届高三级期中考试(理数)
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潮州市绵德中学2015届高三级期中考试
数学(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合A {x|x 0},B x| 4 x 1 ,则A
B等于( )
A. (1, ) B. (0,1) C. ( 4,1) D. ( , 4) 2、下列有关命题的说法正确的是( )
22
A.命题“若x 1,则x 1”的否命题为:“若x 1,则x 1”.
B.若p q为真命题,则p、q均为真命题.
C.命题“存在x R,使得x x 1 0” 的否定是:“对任意x R,均有x x 1 0”. D.“x y”是“sinx siny”的充分不必要条件。
3、已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本的平均数x 2.5,y 3.3,则由观测的数据得线性回归方程可能为( )
2
2
A.y 0.4x 2.3 B.y 2x 2. 4C.y 2x 9.5 C.y 0.3x 4.4
y x
4、若变量x,y满足约束条件 x y 1且z 2x y的最大值和最小值分别为M和m,
y 1
则M m=( )
A.8 B.7 C.6 D.5 5、在“潮州市青年教师教学观摩赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均数和方差分别为( )
A.5和1.6 B.85和1.6 C. 85和0.4 D. 5和0.4 6、函数f(x) sin(2x
A.奇函数且在[0,C. 奇函数且在[
2
)是( )
]上单调递增 B. 偶函数且在[0,]上单调递增
22
, ]上单调递增 D.偶函数且在[, ]上单调递增 22
7、已知x,y都是区间[0,
2
]内任取的一个实数,则使得y sinx的取值的概率是( )
A.
2
B.
4
2
C.
1 2
D.
2
2
8、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1) 0,当x 0时,有立,则不等式f(x) 0的解集是( )
xf (x) f(x)
0成2
x
A. ( , 1) (1, ) B. ( 1,0) C. (1, ) D. ( 1,0) (1, )
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9、 x 2 的展开式中x的系数为(用数字作答)
3
6
10、函数f(x) ln(x2 x)的定义域为
11、随机变量 的分布列如右: 其中a,b,c成等差数列且a
12、已知正方形ABCD的边长为2,E为CD中点,则
13、各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的6个专业
1
,则E( 2
A,B,C,D,E,F中,选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿,其中A,B两个专业不
能同时兼报,且若考生选择A专业,则A专业只能填报为第一专业志愿,则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。
14、已知M是
ABC内的一点,且AB AC BAC 30,若 MBC, MCA和
MAB的面分别为
114
、x、y,则 的最小值是_______. 2xy
三、解答题:(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤)
15、(本题满分12分)
已知函数f(x)
x ,x R.
12
(1) 求f
3 3
cos 的值; (2) 若, ,2 ,求
562
f 2 .
3
16、(本题满分13分)
某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
(Ⅰ)求第二组的频率,补全频率分布直方图并求n、a、p的值;
(Ⅱ)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动,其中选取3人作为领队,记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和期望EX. 17、(本题满分13分)
已知函数f(x) xcosx cosx
2
1
,x R. 2
(Ⅰ) 求函数f(x)的最小值和最小正周期;
、C的对边分别为a、b、c,且c 3,f(C) 0,若向量(Ⅱ) 已知 ABC内角A、B
m (1,sinA与)n (2,sinB)共线,求a、b的值.
18、(本题满分14分)
在某社区举办的《119消防知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有
关消防知识的问题,已知甲回答对这道题的概率是,甲、丙两人都回答错的概率是.....4
3
11,乙、丙两人都回答对的概率是. ....124
(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率.
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题的概率.
(Ⅲ)记甲、乙、丙三人中答对该题的人数为随机变量 ,求随机变量 的期望 19、(本题满分14分)
已知函数f x x2 2lnx,h x x2 x a. (1)求函数f x 的单调区间;
(2)设函数k x f x h x ,若函数k x 在区间(1,3)上恰有两个不同零点,
求实数a的取值范围. 20、(本题满分14分)
已知函数f x e ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y f x 在点A处
x
的切线斜率为-1.
(I)①求曲线y f x 在点A处的切线方程,
②求a的值及函数f x 的极值; (II)证明:当x 0时,x e;
(III)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x x0, ,恒有x ce.
2
x
2
x
参考答案
.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9、 160 10、( ,0) (1, ) 11
、
1
12、2 13、72 14、18 3
三、解答题:(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤) 15、(本题满分12分) 解:(Ⅰ)f (Ⅱ) f 2
(3分) 1;
4 6 612 4
2 2 cos2 sin2 (6分) 3 3124
34 3
, ,2 ,所以sin ,(7分) 55 2
24722
, (8分)cos2 cos sin (10分) 2525
因为cos
所以sin2 2sin cos 所以f 2
7 24 17
cos2 sin2 .(12分)
25 25 253
16、(本题满分13分)
解:(Ⅰ)第二组的频率为1 (0.04 0.04 0.03 0.02 0.01) 5 0.3,(1分)
0.3
(2分) 0.06.频率直方图如下:
5
120
第一组的人数为 200,
0.6
200
1000.频率为0.04 5 0.2,所以n (3分)
0.2
所以高为
由题可知,第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为1000 0.3 300,所以p
195
0.65.(4分) 300
第四组的频率为0.03 5 0.15,所以第四组的人数为1000 0.15 150,所以a 150 0.4 60. (5分)
(Ⅱ)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30 2:1,所以采用分层抽样法抽取18
人,[40,45)岁中有12人,[45,50)岁中有6人. (6分)
随机变量X的可能取值为0,1,2,3 (7分)
0312C12C6C12C6515
P(X 0) P(X 1) ,, 33
C18204C1868
2130C12C633C12C655
P(X 2) 3 ,P(X 3) . ---11分 3
C1868C18204
所以随机变量
的分布列为
∴数学期望EX 0
5153355 1 2 3 2. ------13分 2046868204
17、(本题满分13分) 解:(Ⅰ)
f(x) xcosx cos2x
11
2x cos2x 1 22
sin(2x ) 1 …………………………………………3
6
2
………………4 ∴ f(x)的最小正周期为T 2
x R, 1 sin(2x 6) 1, 2 sin(2x 6) 1 0∴ f(x)最小值为 2,…5 2(Ⅱ)∵ f(C) sin(C
) 1, 0 即sin(2C ) 1 …………7 66
11
∵ 0 C , 2C ,∴ 2C ,∴ C . ……9
666623
∵ m与n共线,∴ sinB 2sinA 0.
……………10 由正弦定理
ab , 得b 2a, …………………11 sinAsiBn
22
∵ c 3,由余弦定理,得9 a b 2abcos
3
, 故a b ……13
18、(本题满分14分) 解:(1)记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、
1
P(A) P(C) 312,B、C,(1分)则P(A) ,且有 (3分)
14 P(B) P(C) 4
1
[1 P(A)] [1 P(C)] 3212即 ∴P(B) ,P(C) (5分)
183 P(B) P(C) 4
11
(2)由(1)知P(A) 1 P(A) ,.P(C) 1 P(C)
43
记甲、乙、丙三人中只有乙回答对该题为事件M
1311
所以P(M) (7分)
48332
(3) 的可能取值为0,1,2,3(8分)
P( 0)
151535113115228 ,P( 1) 48396483483483963313521324533218
P( 2) ,P( 3) (12分)
4834834839648396
528451817243
E( ) 0 1 2 3 (14分)
969696969624
2
19、(本题满分14分)
解:(1)由f(x) x 2lnx,得f(x)的定义域为(0, ),…………1分
f (x) 2x
22(x 1)(x 1)
;……2分 xx
则由f (x) 0且x 0,得x 1;…………3分
由f (x) 0且x 0,得0 x 1;…………4分
所以,f(x)的单调递增区间为(1, ),单调递减区间为(0,1);…………6分
'
(2) k(x) f(x) h(x) 2lnx x a k(x) 若k'(x) 0,则x 2 …………8分
2
1, …………7分 x
当x (1,2)时,f' x 0;当x (2,3)时,f' x 0.
故k x 在x (1,2)上递减,在x (2,3)上递增 …………10分 要使得函数k x 在区间(1,3)上恰有两个不同零点,
k(1) 0
k(2) 0 k(3) 0
,
a 1
a 2 2ln2 …………12分 a 3 2ln3
3 0 2
因为(3 2ln3) 1 0,(3 2ln3) (2 2ln2) 1 2ln所以实数
a的取值范围是(2 2ln2,3 2ln3) …………14分
20、(本题满分14分)
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