广西省钦州市钦南区2015-2016学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

钦州市钦南区2015年秋季学期期中质量调研考试

高二数学（理科）试题

一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有

且只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合A?{2,0,1,4}，集合B?{x0?x?4,x?R}，集合C?A?B．则集合C可表示为

A．{2,0,1,4}B． {1,2,3,4}C．{1,2,4} D． {x0?x?4,x?R}

2.复数z满足z(1?i)?1（其中i为虚数单位），则z=

A．

11111111B．?i C．??i D．??i ?i 22 222222

3．下列函数中，为奇函数的是

1xA．y?2?x B．y?x,x??0,1?

2?1,x?0?C．y?x?sinx D．y??0,x?0

??1,x?0?4．下面几种推理中是演绎推理的为 ．．．．

A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电； B．猜想数列

1111,,,???的通项公式为an?(n?N?)； 1?22?33?4n(n?1)

C．半径为r圆的面积S??r2，则单位圆的面积S??；

D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x?a)?(y?b)?r，推测空间直角坐标系中球

2222222的方程为(x?a)?(y?b)?(z?c)?r5．已知f?x???2x?1??32a?3a,若f???1??8,则f??1?? x

A．4 B．5 C．-2 D．-3 6．“??1”是“ 函数f(x)?cos?x在区间?0,π?上单调递减”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图1，在矩形OABC内：记抛物线y?x?1 与直线y?x?1围成的区域为M（图中阴影部分）． 则区域M面积与矩形OABC面积之比为 11A． B．

181212y2Cy?x2?1y?x?1BC．

11 D． 63

O图1 Ax1x

8. 已知可导函数f(x)(x?R)满足f￠(x)>f(x)，则当a?0时，f(a)和eaf(0)大小关系

为

A. f(a)eaf(0) C. f(a)=eaf(0) D. f(a)≤eaf(0) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数f(x)?2x?4的定义域为 ．

正视图 侧视图 10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2 的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几 何体的体积是 ．

2222俯视图 图2 xyxy与椭圆??1??1有相同的焦点， 22ab94且双曲线C的渐近线方程为y??2x，则双曲线C的方程为 ．

?x?y,?12. 设实数x,y满足?y?10?2x, 向量a?(2x?y,m)，b?(?1,1)．若a?//?b，则实数m的

?x?1,?11.已知双曲线C:最大值为 ．

13.在数列?an?中，已知a2?4， a3?15，且数列?an?n?是等比数列，则an? ． 14. 已知f(n)=1+f(2)?111++鬃?(n?N+)，且23n357,f(4)?2,f(8)?,f(16)?3,f(32)?，推测当n≥2时，有222__________________________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）

已知函数f(x)?sin(2x??)(0???π)的图像经过点(（1）求?的值；

π,1)． 12（2）在?ABC中，?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c，若a2?b2?c2?ab，

且f(

16.（本小题满分12分）

2an?2an?2已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?，且an?0,n?N?.

2anAπ2．求sinB． ?)?2122

（1）求a1,a2,a3;

（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明

D17．（本小题满分14分）

如图3所示，平面ABCD?平面BCEF，且四边形ABCD为 矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF//CE，BC?CE， DC?CE?4，BC?BF?2．

A（1）求证：AF//平面CDE；

（2）求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．

18.（本小题满分14分）

已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足4(n?1)(Sn?1)?(n?2)2an(n?N?)． （1）求a1，a2的值； （2）求an； （3）设bn?CEF图3

Bn?13，数列?bn?的前n项和为Tn，求证：Tn?． an4

19.（本小题满分14分）

x2y2设双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（3，0），离心率e?3，

abA、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.

（1）求双曲线C的方程； （2）求直线AB方程；

（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

20．（本小题满分14分）

设函数f(x)?131?a2x?x?ax?a(a?0). 32（1）若函数f(x)在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围； （2）当a=1时，求函数f(x)在区间[t，t+3]上的最大值.

参考答案

一、选择题：本大题每小题5分，满分40分． 1 2 3 4 5 6 A 7 B 8 B C B D C A 二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． y2829． {xx?2}； 10． ； 11．x??1； 12．6；

43n?213．2?3n?1?n； 14．f(2n)?；

2三、解答题

15．解：（1）由题意可得f(分

ππ)?1，即sin(??)?1． ???????????2126?0???π，?ππ7ππππ， ????， ???． ?????????6666235分

（2）?a2?b2?c2?ab，

a2?b2?c21?cosC??， ????????????????????7分

2ab23． ????????????????8分 ?sinC?1?cos2C?2π由（1）知f(x)?sin(2x?)，

3Aπ?2． ?f(+)?sin(A?)?cosA?21222?A??0,??， ?sinA?1?cos2A?2， ???????????10分 2又?sinB?sin(π?(A?C))?sin(A?C)，

?sinB?sinAcosC?cosAsinC?16． （1）

a1=S1=a1+21-a1121232?6．?????12分 ????222243，又 ∵an>0，所以a1=3-1.

，所以，a1=-1?S2=a1?a2?a21??1， 所以 a2?5?3, 2a2a31??1 所以a3?7?5. 2a32n-1．

3-1成立．

S3=a1?a2?a3?（2）猜想an=2n+1-证明： 1o当n=1时，由（1）知a1=

2o假设n=k(k?N+)时，ak=2k+1-2k-1成立

ak+1=Sk?1?Sk?(ak?1a11??1)?(k??1) 2ak?12ak2k+1．

=ak+11+-2ak+12所以ak+1+22k+1ak+1-2=0

ak+1=2(k+1)+1-2(k+1)-1 所以当n=k+1时猜想也成立．

综上可知，猜想对一切

n?N+都成立．

17．解：（法一）（1）取CE中点为G，连接DG、FG，

?BF//CG 且BF?CG，

? 四边形BFGC为平行四边形，则BC//FG 且BC?FG． ? ????2分

?四边形ABCD为矩形， ?BC//AD且BC?AD，

?FG//AD且FG?AD，

?四边形AFGD为平行四边形，则AF//DG． ?DG?平面CDE，AF?平面CDE，

?AF//平面CDE． ????????????????????4分

（2）过点E作CB的平行线交BF的延长线

于P，连接FP，EP，AP，

DA?EP//BC//AD，

?A，P，E，D四点共面．

?四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，

?EP?CD，EP?CE，又?CD?CE?C，

?EP?平面CDE，?EP?DE，

又?平面ADE?平面BCEF?EP，

CEF

PB??DEC为平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的平面角．????????7分

?DC?CE?4，?cos?DEC?CE2． ?DE22． ????????9分 2DA即平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为（3）过点F作FH?AP于H，连接EH，

?根据（2）知A，P，E，D四点共面，EP//BC//AD， ?BC?BF，BC?AB，

CHE

又?AB?BF?B， ?BC?平面ABP， ?BC?FH，则FH?EP．

又?FH?AP， ?FH?平面ADE．

?直线EF与平面ADE所成角为?HEF． ???????????11分

?DC?CE?4，BC?BF?2，

?FH?FPsin450?2，EF?FP2?EP2?22，HE?6， ?cos?HEF?HE63． ??EF222即直线EF与平面ADE所成角的余弦值为3． ???????????14分 2（法二）（1）?四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形， zD?BC?CE，BC?CD， 又?平面ABCD?平面BCEF，且 平面ABCD?平面BCEF?BC，

A ?DC?平面BCEF．

以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴， CCD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．

根据题意我们可得以下点的坐标：

oEFyA(2,0,4)，B(2,0,0)，C(0,0,0)，D(0,0,4)，E(0,4,0)，F(2,2,0)， 则

????????AF?(0,2,?4)，CB?(2,0,0)． ??????2分

?????BC?CD，BC?CE， ?CB为平面CDE的一个法向量．

????????又?AF?CB?0?2?2?0?(?4)?0?0，

?AF//平面CDE． ??????????????????????4分

Bx??????????AD?n1?0,（2）设平面ADE的一个法向量为n1?(x1,y1,z1)，则???? ?????DE?n1?0.?????????AD?(?2,0,0)，DE?(0,4,?4)，

????2x1?0， 取z1?1，得n1?(0,1,1)． ???????????6分 ???4y1?4z1?0?????DC?平面BCEF，?平面BCEF一个法向量为CD?(0,0,4)，

设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为?，

??????CD?n142则cos?????． ?????24?2CD?n1因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为2． ???????9分 2??（3）根据（2）知平面ADE一个法向量为n1?(0,1,1)，

????????????????EF?n1?21?EF?(2,?2,0)， ?cos?EF,n1???????，???12分 ????2EF?n122?2??????3设直线EF与平面ADE所成角为?，则cos??sin?EF,n1??．

2因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为3． ?????????14分 2【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．

218． 解：（1）当n=1时，有4?(1?1)(a1+1）（=1+2）a1，解得a1=8．

当n=2时，有4?(2?1)(a1?a2?1)?(2?2)2a2，解得a2=27．?????2分

(n?2)2an（2）（法一）当n?2时，有4(Sn?1)?, ?????①

n?1(n?1)2an?1． ???????② 4(Sn?1?1)?nan(n?1)3(n?2)2an(n?1)2an?1①—②得：4an?，即：．????5分 =?an?1n3n?1nanan?1an?2a2==?…?=1．?(n?1)3n3(n?1)333

3???????????????8分 ? an=(n?1)(n?2)．

anan?1a2 (n?1)3n3另解：an??????a1??3an?1an?2a1n433???3?2?(n?1)3． 3(n?1)3 又?当n=1时，有a1=8， ?an=(n?1)3．??????????8分

（法二）根据a=8，a=27，猜想：a=(n?1)3． ????????????3分

12n用数学归纳法证明如下：

（Ⅰ）当n?1时，有a1?8?(1?1)，猜想成立． （Ⅱ）假设当n?k时，猜想也成立，即：ak=(k?1)3．

那么当n?k?1时，有4(k?1?1)(Sk?1?1)?(k?1?2)2ak?1，

3(k?1?2)2ak?1即：4(Sk?1?1)?，?????????①

k?1?1

(k?2)2ak又 4(Sk?1)?， ??????????②

k?1(k?3)2ak?1(k?2)2ak(k?3)2ak?1(k?2)2(k?1)3 ①-②得：4ak?1?， ?=?k?2k?1k?2k?1解，得ak+1?(k?2)3?(k?1?1)3． ?当n?k?1时，猜想也成立．

因此，由数学归纳法证得an=(n?1)3成立．???????????????8分

n?11111=???（3）?bn?， ???????????10分 2an(n?1)n(n?1)nn?111111 ?Tn=b1?b2?b3?…?bn?1?bn =2?2?2?…?2?234n(n?1)2 <11111???…?? 222?32?3(n?1)nn(n?1) = =

111111111?(?)?(?)?…?(?)?(?) 42334n?1nnn?11113???．???????????????14分 42n?14

?c?3?19．解：（1）依题意得?，解得a=1. （1分） c?e??3a?所以b2?c2?a2?3?1?2， （2分）

y2?1. （3分） 故双曲线C的方程为x?22?2x???1（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有??x2?2??两式相减得：(x1?x2)(x1?x2)?y12?12 . 2y2?121(y1?y2)(y1?y2) ， （4分） 2由题意得x1?x2，x1?x2?2，y1?y2?4， （5分） 所以

y1?y22(x1?x2)??1，即kAB?1. （6分）

x1?x2y1?y2故直线AB的方程为y?x?1. （7分） （3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P. 因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB垂直平分线CD上；又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M. （8分） 下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.

?y?x?1?由?2y2得：A（-1，0），B（3，4）. （9分）

?1?x??2由（1）得直线CD方程：y??x?3， （10分）

?y??x?3?由?2y2得：C（-3+25，6-25），D（-3-25，6+25）， （11分）

?1?x??2所以CD的中点M（-3，6）. （12分） 因为|MA|?4?36?210，|MB|?36?4?210，

|MC|?20?20?210，|MD|?20?20?210， （13分）

所以|MA|?|MB|?|MC|?|MD|，

即 A、B、C、D四点在以点M（-3，6）为圆心，210为半径的圆上. （14分） 20．解：（1）∵f(x)?131?a2x?x?ax?a(a?0) 32∴f?(x)?x2??1?a?x?a?(x?1)(x?a)， （1分） 令f?(x)?0，解得x1??1,x2?a?0 （2分） 当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f?(x) (??,?1) ?1 (?1,a) a (a,??) ? ↗ 0 极大值 — ↘ 0 极小值 ? ↗ f(x) 故函数f(x)的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a）；（4分） 因此f(x)在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数f(x)在

?f(?2)?0?区间(?2,0)内恰有两个零点，当且仅当?f(?1)?0， （5分）

?f(0)?0?11， 所以a的取值范围是（0，）. （6分） 331（2）当a=1时，f(x)?x3?x?1. 由（1）可知，函数f(x)的单调递增区间为（-∞，

31-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；f(x)极大值?f(?1)??. （7分）

3解得0?a?

①当t+3<-1，即t<-4时，

因为f(x)在区间[t，t+3]上单调递增，所以f(x)在区间[t，t+3]上的最大值为

11f(x)max?f(t?3)?(t?3)3?(t?3)?1?t3?3t2?8t?5； （9分）

33②当?1?t?3?2，即?4?t??1时，

因为f(x)在区间???,?1?上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且f(2)?f(?1)??1，所以f(x)在区间???,2?上的最大值为31f(2)?f(?1)??.

3 （10分） 由?1?t?3?2，即?4?t??1时，且-1?[t，t+3]，所以f(x)在[t,t?3]上的最大值为f(x)max?f(?1)??1； （11分） 31. 因为f(x)在区间（1，+∞）3③当t+3>2，即t>-1时，

由②得f(x)在区间???,2?上的最大值为f(2)?f(?1)??上单调递增，所以f(t?3)?f(2)，故f(x)在?t,t?3?上的最大值为

1f(x)max?f(t?3)?t3?3t2?8t?5. （13分）

3综上所述，当a=1时，

f(x)在[t，t+3]上的最大值f(x)max?132t?3t?8t?5(t??4或t??1)??3. （14分） ????1(?4?t??1)??3

①当t+3<-1，即t<-4时，

因为f(x)在区间[t，t+3]上单调递增，所以f(x)在区间[t，t+3]上的最大值为

11f(x)max?f(t?3)?(t?3)3?(t?3)?1?t3?3t2?8t?5； （9分）

33②当?1?t?3?2，即?4?t??1时，

因为f(x)在区间???,?1?上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且f(2)?f(?1)??1，所以f(x)在区间???,2?上的最大值为31f(2)?f(?1)??.

3 （10分） 由?1?t?3?2，即?4?t??1时，且-1?[t，t+3]，所以f(x)在[t,t?3]上的最大值为f(x)max?f(?1)??1； （11分） 31. 因为f(x)在区间（1，+∞）3③当t+3>2，即t>-1时，

由②得f(x)在区间???,2?上的最大值为f(2)?f(?1)??上单调递增，所以f(t?3)?f(2)，故f(x)在?t,t?3?上的最大值为

1f(x)max?f(t?3)?t3?3t2?8t?5. （13分）

3综上所述，当a=1时，

f(x)在[t，t+3]上的最大值f(x)max?132t?3t?8t?5(t??4或t??1)??3. （14分） ????1(?4?t??1)??3

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