2016届高考数学（理）（人教A版）总复习课时演练 专题04 数列的综合应用

第六章 专题四

1．(2014·福州一中月考)一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于( )

A．0 π

C.6

π

B.12 πD.4

解析：选A 设三角形的三内角分别为A，B，C，对应的边分别π

为a，b，c.令A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则B＝3，a2＋c2－b21π

b＝ac，∴cosB＝2ac＝2，可推出a＝c＝b.故A＝B＝C＝3，

2

公差为0.

2．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：

p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；

?an?

p3：数列?n?是递增数列；

??

p4：数列{an＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为( ) A．p1，p2 C．p2，p3

B．p3，p4 D．p1，p4

解析：选D 设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并an非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但n＝1

1

＋n是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4nd＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．选D.

3．(2014·温州模拟)已知三个不全相等的实数a，b，c成等比数列，则可能成等差数列的是( )

A．a，b，c B．a2，b2，c2 C．a3，b3，c3 D.a，b，c

解析：选B 特值法求解，取a＝1，b＝－1，c＝1，则a2，b2，c2为1,1,1，是等差数列，故选B.

4．(2014·海口质检)各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1且a4＋a51

a2，2a3，a1成等差数列，则＝( )

a3＋a4

1－5

A.2 5－1

C.2

5＋1B.2 5＋15－1D.2或2

解析：选B 据已知得a3＝a1＋a2所以a1q2＝a1＋a1q，所以q2

1＋51±5

＝1＋q，解得q＝2，由于等比数列各项为正数，故q＝2，a4＋a51＋5因此＝q＝2.故选B.

a3＋a4

5．已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－a26＋2a10＝0，首项1

为8的等比数列{bn}的前n项和为Sn，若b6＝a6，则S6＝( )

A．16 63

C.8

31

B.8 63D.16 2

解析：选C 由2a2－a26＋2a10＝0，∴4a6＝a6.

∵a6≠0，∴a6＝4.∴b6＝4.

1b65

又∵{bn}的首项b1＝8，∴q＝b＝32.∴q＝2.

11

8－4×263∴S6＝＝8.故选C.

1－2

6．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来??按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )

A．211－47 C．213－68

B．212－57 D．214－80

解析：选B 由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an＝

10

4?1－2?n－1

4×2，bn＝n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋－

1－2

10×?1＋10?12

＝2－57. 2

故选B.

π

7．(2014·襄阳五中月考)已知等差数列{an}中，a7＝4，则 tan(a6＋a7＋a8)等于________．

3π

解析：－1 由等差中项性质得a6＋a7＋a8＝3a7＝4，故

3π

tan(a6＋a7＋a8)＝tan4＝－1.

8．(2014·广元适应性统考)有四个自然数从小到大排成一列，前三个数成等差数列，公差为2，后三个数成等比数列，则这四个数的和为________．

?a＋2?2解析：14或21 依题意，设这四个数依次为a－2、a、a＋2、a

2

?a＋2?4**

(其中a≥2，a∈N)．由a≥2，a∈N，且a＝a＋a＋4∈N，得

a是4的不小于2的正约数，因此a＝2或a＝4.当a＝2时，这四个数依次为0、2、4、8，此时这四个数的和等于14；当a＝4时，这四个数依次为2、4、6、9，此时这四个数的和等于21.

?a b?

?＝ad－bc，若数列{an}9．(2014·衡水中学月考)定义运算：?

?c d?

?a1 1??3 3?

2?＝1且??＝12(n∈N*)，则a3＝________，数满足?

?an an1?

?2 1?

＋

列{an}的通项公式为an＝________.

解析：10,4n－2 由题意得a1－1＝1,3an＋1－3an＝12，即a1＝2，an＋1－an＝4.

∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列． ∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.

10．(2014·苏州中学调研)数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，?)，则log4S10＝________.

解析：9 ∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．两式相减得an＋1－an

an＋1

＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an，即a＝4.

n

∴{an}从第2项起是公比为4的等比数列．

当n＝1时，a2＝3S1＝3， ∴当n≥2时，an＝3×4n－2， S10＝a1＋a2＋?＋a10

＝1＋3＋3×4＋3×42＋?＋3×48 ＝1＋3(1＋4＋?＋48) 1－49

＝1＋3×＝1＋49－1＝49.

1－4∴log4S10＝log449＝9.

11．(2013·湖北高考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

解：(1)设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.

??S2－S4＝S3－S2，由题意得?

?a2＋a3＋a4＝－18，?

232

??－a1q－a1q＝a1q，即? 2

??a1q?1＋q＋q?＝－18，

??a1＝3，解得?

?q＝－2.?

故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1. 3·[1－?－2?n](2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.

1－?－2?若存在n，使得Sn≥2 013， 则1－(－2)n≥2 013， 即(－2)n≤－2 012.

当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立； 当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012， 即2n≥2 012，解得n≥11.

综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．

12．在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2

1

－x＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－2x＋1上，其中Tn

2

是数列{bn}的前n项和．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn}是等比数列； (3)若cn＝an·bn，求证：cn＋1

(1)解：由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1， ∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.

1

(2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－2x＋1上， 1

∴Tn＝－2bn＋1，①

1

∴Tn－1＝－2bn－1＋1(n≥2)，② 11

①－②得bn＝－2bn＋2bn－1(n≥2)，

3111

∴2bn＝2bn－1，∴bn＝3bn－1.令n＝1，得b1＝－2b1＋1，

221

∴b1＝3，∴数列{bn}是一个以3为首项，以3为公比的等比数列． 2?1?n－12

??＝n. (3)证明：由(2)可知bn＝3·33

??

2

∴cn＝an·bn＝(n＋1)·3n，

2∴cn＋1－cn＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·3n 3＝3

n＋1[(n＋2)－3(n＋1)]＝

2

2

(－2n－1)<0，

3n＋1

2

∴cn＋1

13．(2014·南昌模拟)下表是一个由正数组成的数表，数表中各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等．已知a1,1＝1，a2,3＝6，a3,2＝8.

a1,1 a2,1 a3,1 a4,1 ?

(1)求数列{an,2}的通项公式；

a1，n(2)设bn＝＋(－1)na1，n，n＝1,2,3，?，求数列{bn}的前n项

an，2

和Sn.

解：(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d，第一列依次组成的等比数列的公比是q(q>0)，

则a2,3＝qa1,3＝q(1＋2d)?q(1＋2d)＝6， a3,2＝q2a1,2＝q2(1＋d)?q2(1＋d)＝8，

解得d＝1，q＝2，所以a1,2＝2?an,2＝2×2n－1＝2n. n

(2)由(1)知a1，n＝n，所以bn＝2n＋(－1)nn，

a1,2 a2,2 a3,2 a4,2 ? a1,3 a2,3 a3,3 a4,3 ? a1,4 a2,4 a3,4 a4,4 ? ? ? ? ? ? 3n??12

?Sn＝2＋22＋23＋?＋2n?＋[－1＋2－3＋? ??＋(－1)nn]，

123n记Tn＝2＋22＋23＋?＋2n， ① 1123n则2Tn＝22＋23＋24＋?＋n＋1， ②

2n＋211111n

①－②得2Tn＝2＋22＋23＋?＋2n－n＋1＝1－n＋1，

22n＋2

所以Tn＝2－2n，

n＋2n

所以当n为偶数时，Sn＝2＋2－2n； n＋1n＋2

当n为奇数时，Sn＝－2＋2－2n. 14．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.

(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式；

(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？

解：(1)由题知，当1≤n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，

故an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.

当n≥8时，数列{an}从a7开始构成首项为a7＝2×7＋2

5

＝16，公比为1＋25%＝4的等比数列，

?5?n－7

则此时an＝16×?4?，

??

?2n＋2，1≤n≤7，

故an＝??5?n7

?，n≥8.

?16×??4?

－

(2)设Sn为数列{an}的前n项和，

n?n－1?

当1≤n≤7时，Sn＝4n＋2×2＝n2＋3n， 5

当n≥8时，由S7＝70，得Sn＝70＋16×4×

?5?n－7

＝80×?4?－10，

??

?5?n－71－?4???

5 1－4

故该生产线前n年每年的平均维护费用为

Sn?5?n－7＝80×?4?－10n??

，n≥8n

?

??

n＋3，1≤n≤7

?Sn?

当1≤n≤7时，?n?为递增数列，

??

Sn＋1Sn当n≥8时，因为－＝

n＋1n

?5?n－7?n?

?－1?＋1080×?4?·???4?

?5?n－6

80×?4?－10

??

n＋1

－

?5?n－7

80×?4?－10

??

n

＝

n?n＋1?

>0，

Sn＋1Sn?Sn?所以>n，故?n?也为递增数列．

??n＋1

5

80×4－10

S7S8又7＝10<12，8＝＝11.25<12. 8S99＝

?5?2

80×?4?－10

??

9

≈12.78>12，

故第9年年初需更新生产线．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/26ux.html