math1-代数-二项式定理

有关质数 二项式定理 整除规则的归纳。

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二项式定义 Binomial definition

只有2项的多项式，或者说2个单项式的和，就是二项式。可见二项式是仅次于单项式的最简单的多项式。

举例：a+b y+1 3w+6z

需要牢记的有关二项式的公式：

和的平方公式 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (1)

差的平方公式 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 (2)

平方和的另外一种表示 (1)+(2) 得到： a^2+b^2=[(a+b)^2+(a-b)^2]/2

平方差的因式分解 (a+b)(a-b)=a^2-b^2

推广 (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)

和的立方公式 (a+b)^3 = a^3+3ab(a+b)+b^3

差的立方公式 (a-b)^3 = a^3-3ab(a-b)-b^3

立方和的因式分解 (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3

立方差的因式分解 (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3

直线方程 f(x)=kx+m (k,m都是常数，x是变量) 也是一个二项式，我们称它为线性的，因为x的幂次为1.

同理 复数 a+ib也是一个二项式，其中 i是-1的平方根，即满足 i*i=-1。

二项式定理 Binomial theorem

该定理描述了二项式x+y的n次幂【（x+y）^n】展开式是由（n+1）个形如ax^by^c的单项式的和。这就是著名的二项式定理，又称为牛顿二项式定理。

(x+y)^1 = x^1 + y^1

(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y+3xy^2+y^3

(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4

(x+y)^5 = x^4+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5

(x+y)^6=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6

(x+y)^7=x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7

…………

我国古代数学家杨辉的《详解九章算法》（1261年）记载，北宋数学家贾宪首创，上述展开式中的系数有规律，我们将系数拿出来，排成如下形式

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

有关质数 二项式定理 整除规则的归纳。

1 6 15 20 15 6 1

上述排列就是著名的杨辉三角，每个数都是上面2个数的和。记为Cn+1,k=Cn,k+Cn,k-1 Cn,k=n!/(k!(n-k)!)表示从n个数中取k个的组合数。

国外叫Pascal’s Triangle(帕斯卡三角形)，体现了二项式系数在三角形中的一种几何排列。 （x+y）^n次的二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，未知数x按降幂排列，y按升幂排列，总幂次为n，展开项数为n+1项。（有助于记忆二项展开式，为今后的微积分打基础）

二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用，是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具，对于微积分的充分发展更是必不可少的一步。

二项式展开的几何求证：

(X+Y)^n=(Cn,0)X^n+(Cn,1)X^(n-1)Y+(Cn,2)X^(n-2)Y^2+...+(Cn,k)X^(n-k)Y^k+...+(Cn,n)Y^n

其中 Cn,k=n!/(k!(n-k)!)为二项式系数，表示n取k

的组合数，这些系数组成杨辉三角形，或

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帕斯卡三角形（Pascal’s triangle）

证明方法：可以采用归纳法证明，先证明n=1时成立。再假定n=k时成立，推导出n=k+1时也成立。这里从略。

二项式定理特点：

1 对称性：即首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。Cn,m=Cn,n-m (n,m,n-m为下标)。 且Cn,m=Pn,m/Pm,m=n!(n-m)!/m!, m!为m的阶乘=m(m-1)…1

两头小，中间大。近乎正态分布。

2 增减性与最大值：当k<(n+1)/2, 即前半部分系数递增。由对称性得到：后半部分时，系数递减。并且在中间时，系数最大。当n为偶数时，第n/2+1项系数Cn,n/2是最大的。当n是奇数时，中间的两项系数最大，分别是Cn,(n-1)/2=Cn,(n+1)/2。

3 Cn,0+Cn,1+Cn,2+......+Cn,n=(1+1)^n=2^n 也就是说（a+b）^n展开式中各项系数之和为2^n 4 Cn,0+Cn,2+....=Cn,1+Cn,3+......=2^(n-1) 也就是说（a+b）^n展开式中，奇数项的系数之和等于偶数项的系数之和，且都等于2^(n-1)

阅读提高：以下是几种特殊情况，供大家自己推导。结果没有写出来。

1. 当y=1时，二项式展开为（x+1）^n

2. 当y=-x时，二项式展开为0^n=0，即组合数的奇数项的二项式系数之和 与 偶数项的二

项式系统之和 相等。

3. 当x=y=1时，二项式展开为2^n，即等于所有二项式系数的和。

4. 当n=1,2,3时，即可以推导出第一部分的常用公式。

题目1：

将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下所示的0-1三角数表，从上往下数，第一次全行的数都为1的是第1行，第二次全行的数都为1的是第3行，。。。，第n次全行的数都是1的是第 行，第61行中1的个数是

第1行 1 1

第2行 1 0 1

第3行 1 1 1 1

第4行 1 0 0 0 1

第5行 1 1 0 0 1 1

【答案】 2^n -1 , 32

【解答】

可以归纳推算，第1,3,7,15行的数都是1，所以，第2^n-1行的数都是1.

因为2^6-1=63, 也就是说第6次全行的数都是1，从而得到第63行共有64个1.

则第62行中必有32个1且奇数为1，偶数位为0，（10101010…0101），第61行中的数为（1100110011001100……0011）其中1的个数也为32个。

例题2

将杨辉三角中的每一个数Cn都换成r1，就得到一个如下图所示的分数三角形，成（n+1）Cr

n

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为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出

111 ，其中 x= rrr(n 1)Cn(n 1)CnnCn 1

令 an=111111 ... ，则liman 22n 3123060nCn 1(n 1)Cn

【答案】r+1， 1/2

【解答】因为

nCr

n-1 n x （n 1）!

r!n r 1!

n! （r+1)x（r 1）!n r 1!

r 1 (r 1)Cn

所以

1111 rrr 1r 1nCn(n 1)Cn(r 1)Cn(r 1)Cn 1 1

r 1r 1Cn C 1n r 1r 1(r 1)CnCn 1

rCn (n

1)Cn

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二项式定义 Binomial definition

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例题3

在2001,2002，。。。。。。，2010这10个数中，不能表示成两个平方数差的有 个

【解析】根据题意，要构成两个平方数的差可以有:a^2-b^2=(a+b)(a-b),两数的和与两数的差同奇或同偶，所以能构成两个数的平方数的差的数有两种：奇数或能被2整除但不能被4整除的数。所以不能表示成两个数的平方数的差的数有2002，2006，2010共3个；

例题4

今天是星期天，再过821天后是星期几，今天后的第100^100天是星期几？今天星期3，再过22001天是星 期几？

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例题5

91^92除以100的余数是。

例题6（高考题）

（（x^2-1/(2x)）^9展开式中x^9的系数是 。

Ref:

/wiki/Binomial_theorem

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2ire.html